Espacio Baire

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Concepto en topología

En matemáticas, un espacio topológico $X$ se dice que es un Espacio de carga si los sindicatos contables de conjuntos cerrados con interior vacío también tienen interior vacío. Según el teorema de la categoría Baire, espacios compactos Hausdorff y espacios métricos completos son ejemplos de espacios de Baire. El teorema de la categoría Baire combinado con las propiedades de los espacios de Baire tiene numerosas aplicaciones en topología, geometría, análisis, en particular análisis funcional. Para más motivaciones y aplicaciones, consulte el artículo Teorema de categoría Baire. El artículo actual se centra más en las caracterizaciones y propiedades básicas de los espacios de Baire per se.

Bourbaki presentó el término "espacio aéreo" en honor de René Baire, quien investigó el teorema de la categoría Baire en el contexto del espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ en su tesis de 1899.

Definición

La definición que sigue se basa en las nociones de conjunto exiguo (o de primera categoría) (es decir, un conjunto que es una unión contable de conjuntos cuyo cierre tiene un interior vacío) y conjunto no exiguo (o de segunda categoría) (es decir, un conjunto que no es escaso). Ver el artículo correspondiente para más detalles.

Un espacio topológico $X$ se llama Espacio de carga si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

Cada intersección contable de conjuntos abiertos densos es densa.
Cada unión contable de conjuntos cerrados con interior vacío tiene interior vacío.
Cada conjunto meagre tiene interior vacío.
Cada conjunto abierto no vacío no es de acuerdo.
Cada juego de cometas es denso.
Cada vez que una unión contable de conjuntos cerrados tiene un punto interior, al menos uno de los conjuntos cerrados tiene un punto interior.

La equivalencia entre estas definiciones se basa en las propiedades asociadas de subconjuntos complementarios de $X$ (es decir, de un conjunto $Asubset X$ y de su complemento $Xsetminus A$ ) como se indica en la tabla de abajo.

Propiedad de un conjunto	Bienes de complemento
abierto	cerrado
comedia	meagre
dense	tiene interior vacío
tiene interior denso	De ninguna manera

Teorema de la categoría de Baire

El teorema de la categoría de Baire da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire.

()BCT1) Cada espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. En particular, todo espacio topológico completamente metrotable es un espacio de Baire.
()BCT2) Cada espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire. En particular, cada espacio Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire.

BCT1 muestra que los siguientes son espacios de Baire:

El espacio $mathbb {R}$ de números reales.
El espacio de números irracionales, que es homeomorfo al Espacio de carga $omega^{omega}$ de la teoría de conjunto.
Cada espacio polaco.

BCT2 muestra que los siguientes son espacios de Baire:

Cada espacio Hausdorff compacto; por ejemplo, el conjunto Cantor (o espacio Cantor).
Cada doble, incluso si no es paracompacto (de ahí no metroble), como la larga línea.

Sin embargo, se debe tener en cuenta que hay muchos espacios que son espacios de Baire sin satisfacer las condiciones del teorema de la categoría de Baire, como se muestra en la sección Ejemplos a continuación.

Propiedades

Todo extranjero El espacio de cebo no es degradado. En términos de intersecciones contables de conjuntos abiertos densos, ser un espacio de Baire es equivalente a tales intersecciones siendo densas, mientras que ser un espacio no alto es equivalente a la condición más débil de que tales intersecciones no son vacías.
Cada subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.
Cada denso Gδ establecido en un espacio Baire es un espacio Baire. El resultado no necesita mantener si el G_δ set no es denso. Vea la sección Ejemplos.
Cada comeagre establecido en un espacio de Baire es un espacio de Baire.
Un subconjunto de un espacio de Baire viene de acuerdo si y sólo si contiene un G denso_δ Listo.
Un subespacio cerrado de un espacio de Baire no necesita ser Baire. Vea la sección Ejemplos.
Si un espacio contiene un subespacio denso que es Baire, también es un espacio de Baire.
Un espacio que es localmente Baire, en el sentido de que cada punto tiene un barrio que es un espacio de Baire, es un espacio de Baire.
Cada suma topológica de los espacios de Baire es Baire.
El producto de dos espacios de Baire no es necesariamente Baire.
Un producto arbitrario de espacios métricos completos es Baire.
Cada espacio sobrio localmente compacto es un espacio de Baire.
Cada espacio topológico finito es un espacio de Baire (porque un espacio finito tiene solamente muchos conjuntos abiertos finitos y la intersección de dos conjuntos densos abiertos es un conjunto denso abierto).
Un espacio vectorial topológico es un espacio de Baire si y sólo si no es un meagre, que sucede si y sólo si cada subconjunto absorbente equilibrado cerrado tiene interior no vacío.

Dada una secuencia de funciones continuas ${displaystyle f_{n}:Xto Y}$ con límite de punta ${displaystyle f:Xto Y.}$ Si $X$ es un espacio de Baire entonces los puntos donde $f$ no es continuo un mero set dentro $X$ y el conjunto de puntos donde $f$ es continuo es denso en $X.$ Un caso especial de esto es el principio de uniformidad.

Ejemplos

El espacio vacío es un espacio de Baire. Es el único espacio que es tanto Baire como meagre.
El espacio $mathbb {R}$ de números reales con la topología habitual es un espacio de Baire.
El espacio $mathbb {Q}$ de números racionales (con la topología inducida de $mathbb {R}$ ) no es un espacio de Baire, ya que es meragre.
El espacio de números irracionales (con la topología inducida de $mathbb {R}$ ) es un espacio de Baire, ya que es comeagre en ${displaystyle mathbb {R}.}$
El espacio ${displaystyle X=[0,1]cup ([2,3]cap mathbb {Q})}$ (con la topología inducida de $mathbb {R}$ ) es no meagre, pero no Baire. Hay varias maneras de ver que no es Baire: por ejemplo porque el subconjunto $[0,1]$ es comeagre pero no denso; o porque el subconjunto no vacío ${displaystyle [2,3]cap mathbb {Q} }$ está abierta y meagre.
Del mismo modo, el espacio ${displaystyle X={1}cup ([2,3]cap mathbb {Q})}$ no es Baire. No es importante desde entonces $1$ es un punto aislado.

Los siguientes son ejemplos de espacios de Baire para los que no se aplica el teorema de la categoría de Baire, porque estos espacios no son localmente compactos y no completamente metrizables:

La línea Sorgenfrey.
El avión Sorgenfrey.
El avión Niemytzki.
El subespacio $R^2$ que consiste en el medio plano abierto junto con los racionales en el $x$ -eje: ${displaystyle X=(mathbb {R} times (0,infty))cup (mathbb {Q} times {0}),}$ es un espacio de Baire, porque el medio plano abierto es denso en $X$ y completamente accesible, por lo tanto Baire. El espacio $X$ no es localmente compacto y no completamente metro. El set ${displaystyle mathbb {Q} times {0}}$ está cerrado $X$ , pero no es un espacio de Baire. Puesto que en un espacio métrico cerrado conjuntos son Gδ conjuntos, esto también muestra que en general G_δ se establece en un espacio de Baire no necesita ser Baire.

Las variedades algebraicas con la topología de Zariski son espacios de Baire. Un ejemplo es el espacio afinado ${mathbb {A}}^{n}$ consistente en el conjunto $mathbb {C} ^{n}$ de $n$ -tuples de números complejos, junto con la topología cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos desaparecidos de polinomios ${displaystyle fin mathbb {C} [x_{1},ldotsx_{n}].}$