Espacio anillado

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Hoja de anillos en matemáticas

En matemáticas, un espacio anillado es una familia de anillos (conmutativos) parametrizados por subconjuntos abiertos de un espacio topológico junto con homomorfismos de anillos que juegan roles de restricciones. Precisamente, se trata de un espacio topológico dotado de un haz de anillos denominado haz de estructura. Es una abstracción del concepto de los anillos de funciones continuas (de valor escalar) en subconjuntos abiertos.

Entre los espacios anillados, es especialmente importante y destacado un espacio localmente anillado: un espacio anillado en el que es válida la analogía entre el tallo en un punto y el anillo de gérmenes de funciones en un punto.

Los espacios anillados aparecen en el análisis, así como en la geometría algebraica compleja y la teoría de esquemas de la geometría algebraica.

Nota: en la definición de un espacio anillado, la mayoría de las exposiciones tienden a restringir los anillos para que sean conmutativos, incluidos Hartshorne y Wikipedia. "Éléments de géométrie algébrique", por otro lado, no impone el supuesto de conmutatividad, aunque el libro considera principalmente el caso conmutativo.

Definiciones

A espacio anillo $(X,{mathcal {O}}_{X})$ es un espacio topológico $X$ junto con una hoja de anillos ${mathcal {O}}_{X}$ on $X$ . El jersey ${mathcal {O}}_{X}$ se llama estructura jersey de $X$ .

A localmente anillo espacio es un espacio anillo $(X,{mathcal {O}}_{X})$ tal que todos los tallos de ${mathcal {O}}_{X}$ son anillos locales (es decir, tienen ideales maximales únicos). Note que es no requerido ${mathcal {O}}_{X}(U)$ ser un anillo local para cada conjunto abierto $U$ ; De hecho, esto casi nunca es el caso.

Ejemplos

Un espacio topológico arbitrario $X$ se puede considerar un espacio de anillo local tomando ${mathcal {O}}_{X}$ para ser la hoja de funciones continuas de valor real (o de valor complejo) en subconjuntos abiertos de $X$ . El tallo en un momento $x$ puede ser pensado como el conjunto de todos los gérmenes de funciones continuas en $x$ ; este es un anillo local con el ideal maximal único que consiste de aquellos gérmenes cuyo valor a $x$ es ${displaystyle 0}$ .

Si $X$ es un manifold con alguna estructura extra, también podemos tomar la hoja de funciones diferenciables, o complejo-analíticas. Ambos dan lugar a espacios con anillo local.

Si $X$ es una variedad algebraica que lleva la topología de Zariski, podemos definir un espacio localmente anillado tomando ${mathcal {O}}_{X}(U)$ ser el anillo de mapas racionales definidos en el conjunto Zariski-abierto $U$ que no sopla (become infinite) dentro $U$ . La importante generalización de este ejemplo es la del espectro de cualquier anillo comunicativo; estos espectros son también espacios de anillo local. Los esquemas son espacios de anillo local obtenidos mediante espectros "encolados" de anillos comunicativos.

Morfismos

Un morfismo de $(X,{mathcal {O}}_{X})$ a ${displaystyle (Y,{mathcal {O}}_{Y})}$ es un par ${displaystyle (f,varphi)}$ , donde $f:Xto Y$ es un mapa continuo entre los espacios topológicos subyacentes, y ${displaystyle varphi:{mathcal {O}}_{Y}to f_{*}{mathcal {O}}_{X}}$ es un morfismo de la estructura de hoja $Y$ to the direct image of the structure sheaf of $X$ . En otras palabras, un morfismo de $(X,{mathcal {O}}_{X})$ a ${displaystyle (Y,{mathcal {O}}_{Y})}$ se da por los siguientes datos:

un mapa continuo $f:Xto Y$
a family of ring homomorphisms ${displaystyle varphi _{V}:{mathcal {O}}_{Y}(V)to {mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ para cada conjunto abierto $V$ de $Y$ que se comunica con los mapas de restricción. Eso es, si ${displaystyle V_{1}subseteq V_{2}}$ son dos subconjuntos abiertos de $Y$ , entonces el siguiente diagrama debe conmutar (los mapas verticales son los homomorfismos de restricción):

Hay un requisito adicional para los morfismos entre espacios anillados localmente:

los homomorfismos del anillo inducidos por $varphi$ entre los tallos de $Y$ y los tallos de $X$ Debe ser homomorfismos localesPor cada uno $xin X$ el ideal máximo del anillo local (stalk) $f(x)in Y$ es mapeado en el ideal máximo del anillo local $xin X$ .

Se pueden componer dos morfismos para formar un nuevo morfismo, y obtenemos la categoría de espacios anillados y la categoría de espacios localmente anillados. Los isomorfismos en estas categorías se definen como de costumbre.

Espacios tangentes

Los espacios sonados localmente tienen la estructura suficiente para permitir la definición significativa de los espacios tangentes. Vamos $X$ ser localmente anillo espacio con hoja de estructura ${mathcal {O}}_{X}$ ; queremos definir el espacio tangente ${displaystyle T_{x}(X)}$ en el punto $xin X$ . Tome el anillo local (stalk) $R_{x}$ en el punto $x$ , con el máximo ideal ${mathfrak {m}}_{x}$ . Entonces... ${displaystyle k_{x}:=R_{x}/{mathfrak {m}}_{x}}$ es un campo y ${displaystyle {mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ es un espacio vectorial sobre ese campo (el espacio cotangente). El espacio tangente ${displaystyle T_{x}(X)}$ se define como la dualidad de este espacio vectorial.

La idea es la siguiente: un vector tangente $x$ debe decirle cómo "diferenciar" "funciones" en $x$ , es decir, los elementos de $R_{x}$ . Ahora es suficiente saber diferenciar funciones cuyo valor a $x$ es cero, ya que todas las demás funciones difieren de éstas sólo por una constante, y sabemos diferenciar las constantes. Así que sólo necesitamos considerar ${mathfrak {m}}_{x}$ . Además, si se dan dos funciones con valor cero a $x$ , entonces su producto tiene derivado 0 en $x$ , por la regla del producto. Así que sólo necesitamos saber cómo asignar "números" a los elementos de ${displaystyle {mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ , y esto es lo que hace el doble espacio.

O X {displaystyle {mathcal {O}}_{X}} -módulos

Dado un espacio llamado localmente $(X,{mathcal {O}}_{X})$ , ciertas cuchillas de módulos en $X$ ocurre en las aplicaciones, ${mathcal {O}}_{X}$ -módulos. Para definirlos, considere una hoja F of abelian groups on $X$ . Si F()U) es un módulo sobre el anillo ${mathcal {O}}_{X}(U)$ para cada conjunto abierto $U$ dentro $X$ , y los mapas de restricción son compatibles con la estructura del módulo, luego llamamos $F$ an ${mathcal {O}}_{X}$ - Bien. En este caso, el tallo de $F$ a $x$ será un módulo sobre el anillo local (stalk) $R_{x}$ , por cada $xin X$ .

Un morfismo entre dos ${mathcal {O}}_{X}$ -modules es un morfismo de cuchillas que es compatible con las estructuras del módulo dado. La categoría de ${mathcal {O}}_{X}$ -módulos sobre un espacio fijo de anillo local $(X,{mathcal {O}}_{X})$ es una categoría abeliana.

Una subcategoría importante de la categoría ${mathcal {O}}_{X}$ -módulos es la categoría de cuasi-coherente sheaves on $X$ . Una hoja de hoja ${mathcal {O}}_{X}$ -modules se llama cuasi-coherente si es, localmente, isomorfo al cokernel de un mapa entre libre ${mathcal {O}}_{X}$ -módulos. Una hoja coherente $F$ es una hoja cuasi-coherente que es, localmente, de tipo finito y para cada subconjunto abierto $U$ de $X$ el núcleo de cualquier morfismo de un libre ${mathcal {O}}_{U}$ -módulos de rango finito a $F_{U}$ es también de tipo finito.

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