Esferoide

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Superficie formada por girar una elipse

Esferas con ejes verticales de rotación
oblación		prolate

Un esferoide, también conocido como elipsoide de revolución o elipsoide de rotación, es una superficie cuádrica obtenida al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes principales; en otras palabras, un elipsoide con dos semidiámetros iguales. Un esferoide tiene simetría circular.

Si se gira la elipse sobre su eje mayor, el resultado es un esferoide alargado, alargado como una pelota de rugby. El fútbol americano es similar pero tiene un extremo más puntiagudo que un esferoide. Si la elipse se gira sobre su eje menor, el resultado es un esferoide achatado, aplanado como una lenteja o un M&M simple. Si la elipse generadora es un círculo, el resultado es una esfera.

Debido a los efectos combinados de la gravedad y la rotación, la figura de la Tierra (y de todos los planetas) no es exactamente una esfera, sino que está ligeramente achatada en la dirección de su eje de rotación. Por esa razón, en cartografía y geodesia, la Tierra suele aproximarse mediante un esferoide achatado, conocido como elipsoide de referencia, en lugar de una esfera. El modelo actual del Sistema Geodésico Mundial utiliza un esferoide cuyo radio es de 6.378,137 km (3.963,191 mi) en el ecuador y de 6.356,752 km (3.949,903 mi) en los polos.

La palabra esferoide originalmente significaba "un cuerpo aproximadamente esférico", admitiendo irregularidades incluso más allá de la forma elipsoidal bi- o tri-axial; así es como se usa el término en algunos artículos antiguos sobre geodesia (por ejemplo, refiriéndose a expansiones armónicas esféricas truncadas del modelo geopotencial de gravedad de la Tierra).

Ecuación

La asignación de semi-axes en un espheroid. Es oblata si

c . a

(izquierda) y prolate si

c ■ a

(derecho).

La ecuación de un elipsoide triaxial centrado en el origen con semiejes $a$ , $b$ y $c$ alineados a lo largo de los ejes de coordenadas es

{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}+{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}

La ecuación de un esferoide con $z$ como eje de simetría se obtiene estableciendo $a = b$ :

{frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.

El semieje $a$ es el radio ecuatorial del esferoide, y $c$ es la distancia del centro al polo a lo largo del eje de simetría. Hay dos casos posibles:

$c . a$ : espheroid oblate
$c ■ a$ : espheroide prolato

El caso de $a = c$ se reduce a una esfera.

Propiedades

Área

Un esferoide achatado con $c < a$ tiene área de superficie

{displaystyle S_{text{oblate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {1-e^{2}}{e}}operatorname {arctanh} eright)=2pi a^{2}+pi {frac {c^{2}}{e}}ln left({frac {1+e}{1-e}}right)qquad {mbox{where}}quad e^{2}=1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}.}

El esferoide achatado se genera mediante la rotación sobre el eje $z$ de una elipse con semieje mayor $a$ y eje semi-menor $c$ , por lo tanto, $e$ puede identificarse como la excentricidad. (Ver elipse.)

Un esferoide alargado con $c > a$ tiene área de superficie

{displaystyle S_{text{prolate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {c}{ae}}arcsin ,eright)qquad {mbox{where}}quad e^{2}=1-{frac {a^{2}}{c^{2}}}.}

El esferoide alargado se genera mediante la rotación sobre el eje $z$ de una elipse con semieje mayor $c$ y eje semi-menor $a$ ; por lo tanto, $e$ puede identificarse nuevamente como la excentricidad. (Ver elipse.)

Estas fórmulas son idénticas en el sentido de que la fórmula para $S oblate$ se puede usar para calcular el área de superficie de un esferoide alargado y viceversa. Sin embargo, $e$ se vuelve imaginario y ya no se puede identificar directamente con la excentricidad. Ambos resultados pueden expresarse en muchas otras formas utilizando identidades matemáticas estándar y relaciones entre parámetros de la elipse.

Volumen

El volumen dentro de un esferoide (de cualquier tipo) es

{displaystyle {tfrac {4}{3}}pi a^{2}capprox 4.19a^{2}c.}

Si $A = 2 a$ es el diámetro ecuatorial, y $C = 2 c$ es el diámetro polar, el volumen es

{displaystyle {tfrac {pi }{6}}A^{2}Capprox 0.523A^{2}C.}

Curvatura

Se parametriza un esferoide como

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}(betalambda)=(acos beta cos lambdaacos beta sin lambdacsin beta),}

donde $β$ es la latitud reducida o latitud paramétrica, $λ$ es la longitud, y $- π / 2 < β < + π / 2$ y $-π < λ < +π$ . Entonces, la curvatura gaussiana del esferoide es

{displaystyle K(betalambda)={frac {c^{2}}{left(a^{2}+left(c^{2}-a^{2}right)cos ^{2}beta right)^{2}}},}

y su curvatura media es

{displaystyle H(betalambda)={frac {cleft(2a^{2}+left(c^{2}-a^{2}right)cos ^{2}beta right)}{2aleft(a^{2}+left(c^{2}-a^{2}right)cos ^{2}beta right)^{frac {3}{2}}}}.}

Estas dos curvaturas son siempre positivas, de modo que todos los puntos de un esferoide son elípticos.

Relación de aspecto

La relación de aspecto de un esferoide achatado/elipse, $c : a$ , es la relación entre el polo y el longitudes ecuatoriales, mientras que el aplanamiento (también llamado achatamiento) $f$ , es la relación entre la diferencia de longitud ecuatorial-polar y la longitud ecuatorial:

{displaystyle f={frac {a-c}{a}}=1-{frac {c}{a}}.}

La primera excentricidad (por lo general, simplemente excentricidad, como se indicó anteriormente) se usa a menudo en lugar de aplanar. Se define por:

{displaystyle e={sqrt {1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}

Las relaciones entre excentricidad y aplanamiento son:

{displaystyle {begin{aligned}e&={sqrt {2f-f^{2}}}\f&=1-{sqrt {1-e^{2}}}end{aligned}}}

Todos los elipsoides geodésicos modernos están definidos por el semieje mayor más el semieje menor (que da la relación de aspecto), el aplanamiento o la primera excentricidad. Si bien estas definiciones son matemáticamente intercambiables, los cálculos del mundo real deben perder algo de precisión. Para evitar confusiones, una definición elipsoidal considera que sus propios valores son exactos en la forma que da.

Aplicaciones

Las formas más comunes para la distribución de densidad de protones y neutrones en un núcleo atómico son esférica, alargada y achatada esferoidal, donde se supone que el eje polar es el eje de espín (o la dirección del vector de momento angular de espín). Las formas nucleares deformadas se producen como resultado de la competencia entre la repulsión electromagnética entre los protones, la tensión superficial y los efectos de capa cuántica.

Esferoides oblatos

El planeta Júpiter es un esferoide oblato con un aplanamiento de 0.06487

El esferoide achatado tiene la forma aproximada de los planetas en rotación y otros cuerpos celestes, incluidos la Tierra, Saturno, Júpiter y la estrella Altair, que gira rápidamente. Saturno es el planeta más achatado del Sistema Solar, con un achatamiento de 0,09796. Ver aplanamiento planetario y abultamiento ecuatorial para más detalles.

El científico ilustrado Isaac Newton, basándose en los experimentos de péndulo de Jean Richer y las teorías de Christiaan Huygens para su interpretación, razonó que Júpiter y la Tierra son esferoides achatados debido a su fuerza centrífuga. Los diversos sistemas cartográficos y geodésicos de la Tierra se basan en elipsoides de referencia, todos los cuales son achatados.

Esferoides alargados

Una bola de rugby.

El esferoide alargado es la forma aproximada de la pelota en varios deportes, como la pelota de rugby.

Varias lunas del Sistema Solar se aproximan a la forma de esferoides alargados, aunque en realidad son elipsoides triaxiales. Algunos ejemplos son los satélites de Saturno, Mimas, Enceladus y Tethys y Uranus' Satélite Miranda.

A diferencia de ser distorsionados en esferoides achatados a través de una rotación rápida, los objetos celestes se distorsionan ligeramente en esferoides alargados a través de las fuerzas de marea cuando orbitan un cuerpo masivo en una órbita cercana. El ejemplo más extremo es la luna Io de Júpiter, que se vuelve un poco más o menos alargada en su órbita debido a una ligera excentricidad, provocando un intenso vulcanismo. El eje mayor del esferoide alargado no pasa a través de los polos del satélite en este caso, sino a través de los dos puntos en su ecuador que miran directamente hacia y desde el primario.

El término también se usa para describir la forma de algunas nebulosas como la Nebulosa del Cangrejo. Las zonas de Fresnel, utilizadas para analizar la propagación de ondas y la interferencia en el espacio, son una serie de esferoides alargados concéntricos con ejes principales alineados a lo largo de la línea de visión directa entre un transmisor y un receptor.

Los núcleos atómicos de los elementos actínidos y lantánidos tienen forma de esferoides alargados. En anatomía, los órganos casi esferoides, como los testículos, se pueden medir por sus ejes largo y corto.

Muchos submarinos tienen una forma que puede describirse como esferoide alargado.

Propiedades dinámicas

Para un esferoide con densidad uniforme, el momento de inercia es el de un elipsoide con un eje de simetría adicional. Dada una descripción de un esferoide que tiene un eje mayor $c$ y ejes menores $a = b$ , los momentos de inercia a lo largo de estos ejes principales son $C$ , $A$ y $B$ . Sin embargo, en un esferoide los ejes menores son simétricos. Por lo tanto, nuestros términos inerciales a lo largo de los ejes principales son:

{displaystyle {begin{aligned}A=B&={tfrac {1}{5}}Mleft(a^{2}+c^{2}right),\C&={tfrac {1}{5}}Mleft(a^{2}+b^{2}right)={tfrac {2}{5}}Mleft(a^{2}right),end{aligned}}}

donde $M$ es la masa del cuerpo definida como

{displaystyle M={tfrac {4}{3}}pi a^{2}crho.}

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