Esfera de Bloch

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Representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles

En mecánica cuántica y computación, el Esfera plana es una representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles (qubit), nombrado por el físico Felix Bloch.

Matemáticamente cada sistema mecánico cuántico se asocia con un complejo separado Hilbert espacio ${displaystyle H}$ . Un estado puro de un sistema cuántico está representado por un vector no cero ${displaystyle psi }$ dentro ${displaystyle H}$ . Como vectores ${displaystyle psi }$ y ${displaystyle lambda psi }$ (con ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ ) representan el mismo estado, el nivel del sistema cuántico corresponde a la dimensión del espacio Hilbert y los estados puros pueden ser representados como clases de equivalencia, o, Rayos en un espacio proyector Hilbert ${displaystyle mathbf {P} (H_{n})=mathbb {C} mathbf {P} ^{n-1}}$ . Para un espacio bidimensional de Hilbert, el espacio de todos estos estados es la compleja línea proyectiva ${displaystyle mathbb {C} mathbf {P} ^{1}.}$ Esta es la esfera Bloch, que se puede mapear a la esfera Riemann.

La esfera Bloch es una unidad de 2 esferas, con puntos antipodal correspondientes a un par de vectores estatales mutuamente ortogonales. Los polos norte y sur de la esfera Bloch son elegidos típicamente para corresponder a los vectores de base estándar ${displaystyle |0rangle }$ y ${displaystyle |1rangle }$ , respectivamente, que a su vez podría corresponder, por ejemplo, a los estados de spin-up y spin-down de un electron. Esta elección es arbitraria, sin embargo. Los puntos sobre la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos interiores corresponden a los estados mixtos. La esfera Bloch puede ser generalizada a una n- sistema cuántico de nivel, pero luego la visualización es menos útil.

La métrica natural en la esfera Bloch es la métrica Fubini-Study. El mapeo de la unidad 3-sfera en el espacio estatal bidimensional ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ a la esfera Bloch es la fibra Hopf, con cada rayo de la cartografía de las espinas a un punto en la esfera Bloch.

Definición

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro ${displaystyle |psi rangle }$ de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores de base ${displaystyle |0rangle }$ y ${displaystyle |1rangle }$ , donde el coeficiente de (o contribución de) cada uno de los dos vectores base es un número complejo. Esto significa que el estado es descrito por cuatro números reales. Sin embargo, sólo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores base tiene cualquier significado físico (la fase del sistema cuántico no es directamente mensurable), por lo que hay redundancia en esta descripción. Podemos tomar el coeficiente de ${displaystyle |0rangle }$ ser real y no negativo. Esto permite que el estado sea descrito por sólo tres números reales, dando lugar a las tres dimensiones de la esfera Bloch.

También sabemos de la mecánica cuántica que la probabilidad total del sistema tiene que ser una:

{displaystyle langle psi |psi rangle =1}

, o equivalente

{displaystyle {big |}|psi rangle {big |}^{2}=1}

Dada esta limitación, podemos escribir ${displaystyle |psi rangle }$ utilizando la siguiente representación:

{displaystyle |psi rangle =cos left(theta /2right)|0rangle ,+,e^{iphi }sin left(theta /2right)|1rangle =cos left(theta /2right)|0rangle ,+,(cos phi +isin phi),sin left(theta /2right)|1rangle }

, donde

{displaystyle 0leq theta leq pi }

<math alttext="{displaystyle 0leq phi 0\leq \leq φ φ c)2π π {displaystyle 0leqphi } <img alt="{displaystyle 0leq phi

La representación es siempre única, porque, aunque el valor de ${displaystyle phi }$ no es único cuando ${displaystyle |psi rangle }$ es uno de los estados (ver notación de Bra-ket) ${displaystyle |0rangle }$ o ${displaystyle |1rangle }$ , el punto representado por ${displaystyle theta }$ y ${displaystyle phi }$ es único.

Los parámetros ${displaystyle theta ,}$ y ${displaystyle phi ,}$ , reinterpretado en coordenadas esféricas como respectivamente la colatitud con respecto a z-eje y la longitud con respecto a x-eje, especificar un punto

{displaystyle {vec {a}}=(sin theta cos phi;sin theta sin phi;cos theta)=(u,v,w)}

en la esfera de la unidad ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ .

Para estados mixtos, se considera el operador de densidad. Cualquier operador de densidad bidimensional $***$ se puede ampliar utilizando la identidad $I$ y el Hermitian, matrices Pauli sin trazas ${displaystyle {vec {sigma }}}$ ,

{displaystyle {begin{aligned}rho &={frac {1}{2}}left(I+{vec {a}}cdot {vec {sigma }}right)\&={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}+{frac {a_{x}}{2}}{begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}}+{frac {a_{y}}{2}}{begin{pmatrix}0&-i\i&0end{pmatrix}}+{frac {a_{z}}{2}}{begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}\&={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}end{pmatrix}}end{aligned}}}

Donde ${displaystyle {vec {a}}in mathbb {R} ^{3}}$ se llama Bloch vector.

Es este vector que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. Específicamente, como característica básica del vector Pauli, los eigenvalues de $***$ son ${displaystyle {frac {1}{2}}left(1pm |{vec {a}}|right)}$ . Los operadores de densidad deben ser positivos-semidefinitos, por lo que sigue que ${displaystyle left|{vec {a}}right|leq 1}$ .

Para estados puros, entonces se tiene

{displaystyle operatorname {tr} left(rho ^{2}right)={frac {1}{2}}left(1+left|{vec {a}}right|^{2}right)=1quad Leftrightarrow quad left|{vec {a}}right|=1~,}

en la conducta con lo anterior.

Como consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

Representación U, v, w

El vector Bloch ${displaystyle {vec {a}}=(u,v,w)}$ puede ser representado en la siguiente base, con referencia al operador de densidad ${displaystyle rho }$ :

{displaystyle u=rho _{10}+rho _{01}=2operatorname {Re} (rho _{01})}

{displaystyle v=i(rho _{01}-rho _{10})=2operatorname {Im} (rho _{10})}

{displaystyle w=rho _{00}-rho _{11}}

Donde

{displaystyle rho ={begin{pmatrix}rho _{00}&rho _{01}\rho _{10}&rho _{11}end{pmatrix}}={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1+w&u-iv\u+iv&1-wend{pmatrix}}.}

Esta base se utiliza a menudo en la teoría del láser, donde ${displaystyle w}$ se conoce como la inversión de población. En esta base, los números ${displaystyle u,v,w}$ son las expectativas de las tres matrices Pauli ${displaystyle X,Y,Z}$ , permitiendo identificar las tres coordenadas con ejes x y z.

Estados puros

Considere un sistema mecánico cuántico de nivel n. Este sistema se describe mediante un espacio de Hilbert n-dimensional H_n. El espacio de estados puro es por definición el conjunto de rayos de H_n.

Teorema. Sea U(n) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n. Entonces el espacio de estados puro de H_n se puede identificar con el espacio lateral compacto

{displaystyle operatorname {U} (n)/(operatorname {U} (n-1)times operatorname {U} (1)).}

Para probar este hecho, note que hay una acción de grupo natural de U(n) en el conjunto de estados de H_n. Esta acción es continua y transitiva en los estados puros. Para cualquier estado ${displaystyle |psi rangle }$ , el grupo isotropía de ${displaystyle |psi rangle }$ , (definido como el conjunto de elementos ${displaystyle g}$ of U(n. ${displaystyle g|psi rangle =|psi rangle }$ ) es isomorfa al grupo de productos

{displaystyle operatorname {U} (n-1)times operatorname {U} (1).}

En términos de álgebra lineal, esto puede ser justificado como sigue. Cualquier ${displaystyle g}$ of U(nQue sale ${displaystyle |psi rangle }$ invariante debe haber ${displaystyle |psi rangle }$ como un eigenvector. Dado que el eigenvalue correspondiente debe ser un complejo número de módulo 1, esto da el factor U(1) del grupo isotropía. La otra parte del grupo isotropía es parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal ${displaystyle |psi rangle }$ , que es isomorfa a U(n - 1). De esto la afirmación del teorema se deriva de hechos básicos sobre las acciones de grupos transitivos de grupos compactos.

El hecho importante a tener en cuenta arriba es que el grupo unitario actúa transitivamente en estados puros.

Ahora la dimensión (real) de U(n) es n². Esto es fácil de ver desde el mapa exponencial

{displaystyle Amapsto e^{iA}}

es un homeomorfismo local del espacio de matrices complejas autoadjuntas a U(n). El espacio de matrices complejas autoadjuntas tiene dimensión real n².

Corolario. La dimensión real del espacio de estados puro de H_n es 2n − 2.

De hecho,

{displaystyle n^{2}-left((n-1)^{2}+1right)=2n-2.quad }

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico de m qubit. El espacio de Hilbert correspondiente tiene dimensión 2^m.

Corolario. La dimensión real del espacio de estados puro de un registro cuántico m-qubit es 2^m+1 − 2.

Trazado de estados puros de dos espinores mediante proyección estereográfica

Matemáticamente la esfera Bloch para un estado de dos columnas se puede mapear a una esfera Riemann ${displaystyle mathbb {C} mathbf {P} ^{1}}$ Es decir, el espacio proyector Hilbert ${displaystyle mathbf {P} (H_{2})}$ con el complejo 2-dimensional Hilbert espacio ${displaystyle H_{2}}$ un espacio de representación de SO(3). Dado un estado puro

{displaystyle alpha left|uparrow rightrangle +beta left|downarrow rightrangle =left|nearrow rightrangle }

Donde ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle beta }$ son números complejos que se normalizan de modo que

{displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=alpha ^{*}alpha +beta ^{*}beta =1}

y tal que ${displaystyle langle downarrow |uparrow rangle =0}$ y ${displaystyle langle downarrow |downarrow rangle =langle uparrow |uparrow rangle =1}$ , i.e., tal que ${displaystyle left|uparrow rightrangle }$ y ${displaystyle left|downarrow rightrangle }$ formar una base y tener representaciones diametralmente opuestas en la esfera Bloch, entonces dejar

{displaystyle u={beta over alpha }={alpha ^{*}beta over alpha ^{*}alpha }={alpha ^{*}beta over |alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}

sea su proporción.

Si la esfera Bloch se piensa que está incrustada en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ con su centro en el origen y con el radio uno, luego el avión z = 0 (que intersecte la esfera Bloch en un gran círculo; el Ecuador de la esfera, como era) puede ser considerado como un diagrama de Argand. Punto de trama u en este plano - para que en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ tiene coordenadas ${displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$ .

Dibuja una línea recta a través u y a través del punto en la esfera que representa ${displaystyle left|downarrow rightrangle }$ . (Let (0,0,1) represent ${displaystyle left|uparrow rightrangle }$ y (0,0−1) representan ${displaystyle left|downarrow rightrangle }$ ) Esta línea intersecte la esfera en otro punto además ${displaystyle left|downarrow rightrangle }$ . (La única excepción es cuando ${displaystyle u=infty }$ , es decir, cuando ${displaystyle alpha =0}$ y ${displaystyle beta neq 0}$ ) Llama a este punto P. Punto u en el avión z = 0 es la proyección estereográfica del punto P en la esfera Bloch. El vector con cola en el origen y punta en P es la dirección en el espacio 3-D correspondiente a la espina dorsal ${displaystyle left|nearrow rightrangle }$ . Las coordenadas de P son

{displaystyle P_{x}={2u_{x} over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}

{displaystyle P_{y}={2u_{y} over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}

{displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}

Operadoras de densidad

(feminine)

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas de mecánica cuántica deben describirse en términos de operadores de densidad. La esfera de Bloch parametriza no sólo estados puros sino también estados mixtos para sistemas de 2 niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de 2 niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

{displaystyle left(sum p_{i}x_{i},sum p_{i}y_{i},sum p_{i}z_{i}right),}

Donde ${displaystyle p_{i}}$ es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y ${displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$ son las coordenadas de los estados individuales (en superficie de esfera Bloch). El conjunto de todos los puntos en y dentro de la esfera Bloch es conocido como Bola rubia.

Para estados de dimensiones superiores hay dificultad en extender esto a estados mixtos. La descripción topológica es complicada por el hecho de que el grupo unitario no actúa transitivamente en los operadores de densidad. Por otra parte, las órbitas son muy diversas de la siguiente manera:

Theorem. Suppose A es un operador de densidad en un n nivel sistema mecánico cuántico cuyos eigenvalues distintos son μ₁, μ_k con multiplicidades n₁,... n_k. Luego el grupo de operadores unitarios V tales que V A V* A es isomorfo (como grupo Lie) a

{displaystyle operatorname {U} (n_{1})times cdots times operatorname {U} (n_{k}).}

En particular, la órbita de A es isomorfa a

{displaystyle operatorname {U} (n)/left(operatorname {U} (n_{1})times cdots times operatorname {U} (n_{k})right).}

Es posible generalizar la construcción de la bola Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de tal "cuerpo Bloch" Es más complicado que el de una pelota.

Rotaciones

Una ventaja útil de la representación de la esfera Bloch es que la evolución del estado qubit es descriptible por rotaciones de la esfera Bloch. La explicación más concisa para por qué este es el caso es que el álgebra de Lie para el grupo de matrices unitarias y hermitianas ${displaystyle SU(2)}$ es isomorfo al álgebra de Lie del grupo de rotaciones tridimensionales ${displaystyle SO(3)}$ .

Operadores de rotación sobre la base de Bloch

Las rotaciones de la esfera de Bloch alrededor de los ejes cartesianos en la base de Bloch están dadas por

{displaystyle {begin{aligned}R_{x}(theta)&=e^{(-itheta X/2)}=cos(theta /2)I-isin(theta /2)X={begin{bmatrix}cos theta /2&-isin theta /2\-isin theta /2&cos theta /2end{bmatrix}}\R_{y}(theta)&=e^{(-itheta Y/2)}=cos(theta /2)I-isin(theta /2)Y={begin{bmatrix}cos theta /2&-sin theta /2\sin theta /2&cos theta /2end{bmatrix}}\R_{z}(theta)&=e^{(-itheta Z/2)}=cos(theta /2)I-isin(theta /2)Z={begin{bmatrix}e^{-itheta /2}&0\0&e^{itheta /2}end{bmatrix}}end{aligned}}}

Rotaciones sobre un eje general

Si ${displaystyle {hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$ es un vector de unidad real en tres dimensiones, la rotación de la esfera Bloch sobre este eje es dada por:

{displaystyle R_{hat {n}}(theta)=exp left(-itheta {hat {n}}cdot {frac {1}{2}}{vec {sigma }}right)}

Una cosa interesante a tener en cuenta es que esta expresión es idéntica al reetiquetar la fórmula extendida de Euler para cuaterniones.

{displaystyle mathbf {q} =e^{{frac {1}{2}}theta (u_{x}mathbf {i} +u_{y}mathbf {j} +u_{z}mathbf {k})}=cos {frac {theta }{2}}+(u_{x}mathbf {i} +u_{y}mathbf {j} +u_{z}mathbf {k})sin {frac {theta }{2}}}

Derivación del generador de rotación de Bloch

Ballentine presenta una derivación intuitiva para la transformación unitaria infinitesimal. Esto es importante para comprender por qué las rotaciones de las esferas de Bloch son exponenciales de combinaciones lineales de matrices de Pauli. Por lo tanto, aquí se ofrece un breve tratamiento sobre esto. Puede encontrar una descripción más completa en un contexto de mecánica cuántica aquí.

Considere una familia de operadores unitarios ${displaystyle U}$ representando una rotación sobre un eje. Puesto que la rotación tiene un grado de libertad, el operador actúa en un campo de escalares ${displaystyle S}$ tal que:

{displaystyle U(0)=I}

{displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}

Donde ${displaystyle 0,s_{1},s_{2},in S}$

Definimos el unitario infinitesimal como la expansión de Taylor truncada de segundo orden.

{displaystyle U(s)=I+{frac {dU}{ds}}{Bigg |}_{s=0}s+Oleft(s^{2}right)}

Por la condición unitaria:

{displaystyle U^{dagger }U=I}

Por lo tanto

{displaystyle U^{dagger }U=I+sleft({frac {dU}{ds}}{Bigg |}_{s=0}+{frac {dU^{dagger }}{ds}}{Bigg |}_{s=0}right)+Oleft(s^{2}right)=I}

Para que esta igualdad sea verdadera (suponiendo ${displaystyle Oleft(s^{2}right)}$ es insignificante) que necesitamos

{displaystyle {frac {dU}{ds}}{Bigg |}_{s=0}+{frac {dU^{dagger }}{ds}}{Bigg |}_{s=0}=0}

Esto da como resultado una solución de la forma:

{displaystyle {frac {dU}{ds}}{Bigg |}_{s=0}=iK}

Donde ${displaystyle K}$ es cualquier transformación hermitiana, y se llama generador de la familia unitaria.

Por lo tanto:

{displaystyle U(s)=e^{iKs}}

Desde las matrices Pauli ${displaystyle (sigma _{x},sigma _{y},sigma _{z})}$ son matrices hermitianas unitarias y tienen eigenvectores correspondientes a la base Bloch, ${displaystyle ({hat {x}},{hat {y}},{hat {z}})}$ , podemos ver naturalmente cómo una rotación de la esfera Bloch sobre un eje arbitrario ${displaystyle {hat {n}}}$ se describe por

{displaystyle R_{hat {n}}(theta)=exp(-itheta {hat {n}}cdot {vec {sigma }}/2)}

Con el generador de rotación dado por ${displaystyle K={hat {n}}cdot {vec {sigma }}/2}$

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