Esfera

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objeto geométrico que es la superficie de una bola

Una esfera (del griego antiguo σφαῖρα (sphaîra) 'globo, bola') es un objeto geométrico que es un análogo tridimensional a uno de dos círculo dimensional. Una esfera es el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia $r$ de un punto dado en un espacio tridimensional. Ese punto dado es el centro de la esfera, y $r$ es el radio de la esfera. Las primeras menciones conocidas de esferas aparecen en el trabajo de los antiguos matemáticos griegos.

La esfera es un objeto fundamental en muchos campos de las matemáticas. Las esferas y las formas casi esféricas también aparecen en la naturaleza y la industria. Las burbujas, como las pompas de jabón, adoptan una forma esférica en equilibrio. La Tierra a menudo se aproxima como una esfera en geografía, y la esfera celeste es un concepto importante en astronomía. Los artículos manufacturados, incluidos los recipientes a presión y la mayoría de los espejos y lentes curvos, se basan en esferas. Las esferas ruedan suavemente en cualquier dirección, por lo que la mayoría de las pelotas que se usan en deportes y juguetes son esféricas, al igual que los cojinetes de bolas.

Terminología básica

Dos radios ortogonales de una esfera

Como se mencionó anteriormente, ri> es el radio de la esfera; cualquier línea desde el centro hasta un punto en la esfera también se llama radio.

Si se extiende un radio a través del centro hacia el lado opuesto de la esfera, se crea un diámetro. Al igual que el radio, la longitud de un diámetro también se denomina diámetro y se denota $d$ . Los diámetros son los segmentos de línea más largos que se pueden dibujar entre dos puntos de la esfera: su longitud es el doble del radio, $d = 2 r$ . Dos puntos de la esfera conectados por un diámetro son puntos antípodas entre sí.

Una esfera unitaria es una esfera con radio unitario ( $r = 1$ ). Por conveniencia, a menudo se considera que las esferas tienen su centro en el origen del sistema de coordenadas, y las esferas en este artículo tienen su centro en el origen a menos que se mencione un centro.

Un gran círculo en la esfera tiene el mismo centro y radio que la esfera, y la divide en dos hemisferios iguales.

Aunque la Tierra no es perfectamente esférica, los términos tomados de la geografía son convenientes para aplicar a la esfera. Si un punto particular de una esfera se designa (arbitrariamente) como su polo norte, su punto antípoda se denomina polo sur. El gran círculo equidistante a cada uno es entonces el ecuador. Los grandes círculos que pasan por los polos se denominan líneas de longitud o meridianos. Una línea que conecta los dos polos puede llamarse eje de rotación. Los pequeños círculos en la esfera que son paralelos al ecuador son líneas de latitud. En geometría no relacionada con los cuerpos astronómicos, la terminología geocéntrica debe usarse solo para ilustración y señalarse como tal, a menos que no haya posibilidad de malentendidos.

Los matemáticos consideran que una esfera es una superficie cerrada bidimensional incrustada en un espacio euclidiano tridimensional. Hacen una distinción entre una esfera y una bola, que es una variedad tridimensional con un límite que incluye el volumen contenido por la esfera. Una bola abierta excluye a la propia esfera, mientras que una bola cerrada incluye a la esfera: una bola cerrada es la unión de la bola abierta y la esfera, y una esfera es el límite de una bola (cerrada o abierta). La distinción entre bola y esfera no siempre se ha mantenido y, especialmente, las referencias matemáticas más antiguas hablan de una esfera como un sólido. La distinción entre "círculo" y "disco" en el plano es similar.

Las esferas pequeñas a veces se denominan esférulas, p. en esferas marcianas.

Ecuaciones

En geometría analítica, una esfera con centro $(x 0, y 0, z 0)$ y radio $r$ es el lugar geométrico de todos los puntos $(x, y, z)$ tales que

{displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}

Dado que se puede expresar como un polinomio cuadrático, una esfera es una superficie cuadrática, un tipo de superficie algebraica.

Sean $a, b, c, d, e$ números reales con $a \neq 0$ y poner

{displaystyle x_{0}={frac {-b}{a}},quad y_{0}={frac {-c}{a}},quad z_{0}={frac {-d}{a}},quad rho ={frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}

Entonces la ecuación

{displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}

no tiene puntos reales como soluciones si $<math alttext="{displaystyle rho *** *** .0{displaystyle rho = 0} <img alt="rho$ y se llama la ecuación de un esfera imaginaria. Si $rho =0$ , la única solución ${displaystyle f(x,y,z)=0}$ es el punto $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ y la ecuación se dice que es la ecuación de esfera de referencia. Por último, en el caso $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">*** *** ■0{displaystyle rho >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bd697f113e3e1bd7c76f2f441fd102eca99cab" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.463ex; height:2.676ex;"/>$ , ${displaystyle f(x,y,z)=0}$ es una ecuación de una esfera cuyo centro es $P_{0}$ y cuyo radio es ${displaystyle {sqrt {rho }}}$ .

Si $a$ en la ecuación anterior es cero, entonces $f (x, y, z) = 0$ es la ecuación de un plano. Por lo tanto, se puede pensar en un plano como una esfera de radio infinito cuyo centro es un punto en el infinito.

Paramétrico

Una ecuación paramétrica para la esfera con radio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ y centro $(x_{0},y_{0},z_{0})$ se puede parametrizar utilizando funciones trigonométricas.

{displaystyle {begin{aligned}x&=x_{0}+rsin theta ;cos varphi \y&=y_{0}+rsin theta ;sin varphi \z&=z_{0}+rcos theta ,end{aligned}}}

Los símbolos utilizados aquí son los mismos que los utilizados en coordenadas esféricas. $r$ es constante, mientras $Silencio$ de 0 a 0 $π$ y $varphi$ de 0 a 2 $π$ .

Propiedades

Volumen cerrado

Cilindro circunscrito

En tres dimensiones, el volumen dentro de una esfera (es decir, el volumen de una pelota, pero clásicamente llamado volumen de una esfera) es

{displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}={frac {pi }{6}} d^{3}approx 0.5236cdot d^{3}}

donde $r$ es el radio y $d$ es el diámetro de la esfera. Arquímedes primero derivó esta fórmula mostrando que el volumen dentro de una esfera es el doble del volumen entre la esfera y el cilindro circunscrito de esa esfera (que tiene la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera). Esto se puede probar inscribiendo un cono al revés en una semiesfera, observando que el área de la sección transversal del cono más el área de la sección transversal de la esfera es igual al área de la sección transversal del cilindro circunscrito., y aplicando el principio de Cavalieri. Esta fórmula también se puede derivar usando cálculo integral, es decir, integración de discos para sumar los volúmenes de un número infinito de discos circulares de un grosor infinitesimalmente pequeño apilados uno al lado del otro y centrados a lo largo del $x$ -eje desde $x = - r$ a $x = r$ , asumiendo la esfera de radio $r$ está centrado en el origen.

Proof of sphere volume, using calculus
At any given $x$ , el volumen incremental ( $δV$ ) iguala el producto de la zona transversal del disco en $x$ y su espesor ( $δx$ ): ${displaystyle delta Vapprox pi y^{2}cdot delta x.}$ El volumen total es la suma de todos los volúmenes incrementales: ${displaystyle Vapprox sum pi y^{2}cdot delta x.}$ En el límite como $δx$ enfoques cero, esta ecuación se convierte en: ${displaystyle V=int _{-r}^{r}pi y^{2}dx.}$ At any given $x$ , un triángulo de ángulo derecho conecta $x$ , $Sí.$ y $r$ al origen; por lo tanto, la aplicación del teorema pitagórico produce: ${displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}$ Usando esta sustitución da ${displaystyle V=int _{-r}^{r}pi left(r^{2}-x^{2}right)dx,}$ que se puede evaluar para dar el resultado ${displaystyle V=pi left[r^{2}x-{frac {x^{3}}{3}}right]_{-r}^{r}=pi left(r^{3}-{frac {r^{3}}{3}}right)-pi left(-r^{3}+{frac {r^{3}}{3}}right)={frac {4}{3}}pi r^{3}.}$ Una fórmula alternativa se encuentra usando coordenadas esféricas, con elemento de volumen ${displaystyle dV=r^{2}sin theta ,dr,dtheta ,dvarphi }$ Así que... ${displaystyle V=int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta ,dvarphi =2pi int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta =4pi int _{0}^{r}r'^{2},dr' ={frac {4}{3}}pi r^{3}.}$

Proof of sphere volume, using calculus

At any given $x$ , el volumen incremental ( $δV$ ) iguala el producto de la zona transversal del disco en $x$ y su espesor ( $δx$ ):

{displaystyle delta Vapprox pi y^{2}cdot delta x.}

El volumen total es la suma de todos los volúmenes incrementales:

{displaystyle Vapprox sum pi y^{2}cdot delta x.}

En el límite como $δx$ enfoques cero, esta ecuación se convierte en:

{displaystyle V=int _{-r}^{r}pi y^{2}dx.}

At any given $x$ , un triángulo de ángulo derecho conecta $x$ , $Sí.$ y $r$ al origen; por lo tanto, la aplicación del teorema pitagórico produce:

{displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}

Usando esta sustitución da

{displaystyle V=int _{-r}^{r}pi left(r^{2}-x^{2}right)dx,}

que se puede evaluar para dar el resultado

{displaystyle V=pi left[r^{2}x-{frac {x^{3}}{3}}right]_{-r}^{r}=pi left(r^{3}-{frac {r^{3}}{3}}right)-pi left(-r^{3}+{frac {r^{3}}{3}}right)={frac {4}{3}}pi r^{3}.}

Una fórmula alternativa se encuentra usando coordenadas esféricas, con elemento de volumen

{displaystyle dV=r^{2}sin theta ,dr,dtheta ,dvarphi }

Así que...

{displaystyle V=int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta ,dvarphi =2pi int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta =4pi int _{0}^{r}r'^{2},dr' ={frac {4}{3}}pi r^{3}.}

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen dentro de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar al 52,4 % del volumen del cubo, ya que $V = π / 6 d 3$ , donde $d$ es el diámetro de la esfera y también la longitud de un lado del cubo y $π$ /6 ≈ 0,5236. Por ejemplo, una esfera con un diámetro de 1 m tiene el 52,4 % del volumen de un cubo con una longitud de arista de 1 m, o aproximadamente 0,524 m³.

Superficie

El área de la superficie de una esfera de radio $r$ es:

A=4pi r^{2}.

Arquímedes primero derivó esta fórmula del hecho de que la proyección a la superficie lateral de un cilindro circunscrito conserva el área. Otro enfoque para obtener la fórmula proviene del hecho de que es igual a la derivada de la fórmula para el volumen con respecto a $r$ porque el El volumen total dentro de una esfera de radio $r$ se puede considerar como la suma del área de superficie de un número infinito de capas esféricas de grosor infinitesimal apilados concéntricamente uno dentro del otro desde el radio 0 hasta el radio $r$ . Con un grosor infinitesimal, la discrepancia entre el área de la superficie interna y externa de cualquier capa dada es infinitesimal, y el volumen elemental en el radio $r$ es simplemente el producto del área de la superficie en el radio $r$ y el grosor infinitesimal.

Proof of surface area, using calculus
En cualquier radio dado $r$ , el volumen incremental ( $δV$ ) iguala el producto de la superficie en radio $r$ () $A () r)$ ) y el espesor de una cáscara ( $δr$ ): $delta Vapprox A(r)cdot delta r.$ El volumen total es la suma de todos los volúmenes de shell: $Vapprox sum A(r)cdot delta r.$ En el límite como $δr$ enfoques cero esta ecuación se convierte en: $V=int _{0}^{r}A(r),dr.$ Substituto $V$ : ${displaystyle {frac {4}{3}}pi r^{3}=int _{0}^{r}A(r),dr.}$ Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto a $r$ rendimientos $A$ como función de $r$ : ${displaystyle 4pi r^{2}=A(r).}$ Esto generalmente se abrevia como: $A=4pi r^{2},$ Donde $r$ ahora se considera el radio fijo de la esfera. Alternativamente, el elemento de área en la esfera se da en coordenadas esféricas por $dA = r 2 pecado θ dθ dφ$ . En coordenadas cartesianas, el elemento de área es ${displaystyle dS={frac {r}{sqrt {r^{2}-{displaystyle sum _{ineq k}x_{i}^{2}}}}}prod _{ineq k}dx_{i},;forall k.}$ El área total se puede obtener por integración: $A=int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }r^{2}sin theta ,dtheta ,dvarphi =4pi r^{2}.$

Proof of surface area, using calculus

En cualquier radio dado $r$ , el volumen incremental ( $δV$ ) iguala el producto de la superficie en radio $r$ () $A () r)$ ) y el espesor de una cáscara ( $δr$ ):

delta Vapprox A(r)cdot delta r.

El volumen total es la suma de todos los volúmenes de shell:

Vapprox sum A(r)cdot delta r.

En el límite como $δr$ enfoques cero esta ecuación se convierte en:

V=int _{0}^{r}A(r),dr.

Substituto $V$ :

{displaystyle {frac {4}{3}}pi r^{3}=int _{0}^{r}A(r),dr.}

Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto a $r$ rendimientos $A$ como función de $r$ :

{displaystyle 4pi r^{2}=A(r).}

Esto generalmente se abrevia como:

A=4pi r^{2},

Donde $r$ ahora se considera el radio fijo de la esfera.

Alternativamente, el elemento de área en la esfera se da en coordenadas esféricas por $dA = r 2 pecado θ dθ dφ$ . En coordenadas cartesianas, el elemento de área es

{displaystyle dS={frac {r}{sqrt {r^{2}-{displaystyle sum _{ineq k}x_{i}^{2}}}}}prod _{ineq k}dx_{i},;forall k.}

El área total se puede obtener por integración:

A=int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }r^{2}sin theta ,dtheta ,dvarphi =4pi r^{2}.

La esfera tiene el área superficial más pequeña de todas las superficies que encierran un volumen dado y encierra el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área superficial dada. Por lo tanto, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, las burbujas y las pequeñas gotas de agua son aproximadamente esféricas porque la tensión superficial minimiza localmente el área superficial.

El área de superficie relativa a la masa de una pelota se denomina área de superficie específica y se puede expresar a partir de las ecuaciones anteriores como

{displaystyle mathrm {SSA} ={frac {A}{Vrho }}={frac {3}{rrho }},}

donde $ρ$ es la densidad (la relación entre masa y volumen).

Otras propiedades geométricas

Se puede construir una esfera como la superficie formada al girar un círculo alrededor de cualquiera de sus diámetros; esta es esencialmente la definición tradicional de una esfera tal como se da en los Elementos de Euclides. Dado que un círculo es un tipo especial de elipse, una esfera es un tipo especial de elipsoide de revolución. Reemplazando el círculo con una elipse girada sobre su eje mayor, la forma se convierte en un esferoide alargado; girado sobre el eje menor, un esferoide achatado.

Una esfera está determinada únicamente por cuatro puntos que no son coplanares. De manera más general, una esfera está determinada de manera única por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinan un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada únicamente por (es decir, pasa a través de) un círculo y un punto que no está en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas, se puede ver que dos esferas se cortan en un círculo y el plano que contiene ese círculo se llama el plano radical de las esferas que se cortan. Aunque el plano radical es un plano real, la circunferencia puede ser imaginaria (las esferas no tienen ningún punto real en común) o estar formada por un solo punto (las esferas son tangentes en ese punto).

El ángulo entre dos esferas en un punto real de intersección es el ángulo diedro determinado por los planos tangentes a las esferas en ese punto. Dos esferas se cortan en el mismo ángulo en todos los puntos de su círculo de intersección. Se cortan en ángulo recto (son ortogonales) si y solo si el cuadrado de la distancia entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios.

Lápiz de esferas

Si $f (x, y, z) = 0$ y $g (x, y, z) = 0$ son las ecuaciones de dos esferas distintas, entonces

{displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}

es también la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros $s$ y $t$ . El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se llama un lápiz de esferas determinado por las dos esferas originales. En esta definición, se permite que una esfera sea un plano (radio infinito, centro en el infinito) y si ambas esferas originales son planas, entonces todas las esferas del lápiz son planas, de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en el lápiz.

Once propiedades de la esfera

Un vector normal a una esfera, un plano normal y su sección normal. La curvatura de la curva de intersección es la curvatura seccional. Para la esfera cada sección normal a través de un punto dado será un círculo del mismo radio: el radio de la esfera. Esto significa que cada punto en la esfera será un punto umbilical.

En su libro Geometry and the Imagination, David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la esfera y discuten si estas propiedades determinan de manera única la esfera. Varias propiedades se cumplen para el plano, que se puede considerar como una esfera con radio infinito. Estas propiedades son:

Los puntos en la esfera son toda la misma distancia desde un punto fijo. Además, la relación de la distancia de sus puntos de dos puntos fijos es constante.
La primera parte es la definición habitual de la esfera y la determina únicamente. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un resultado similar de Apolonio de Perga para el círculo. Esta segunda parte también tiene para el avión.
Los contornos y secciones planas de la esfera son círculos.
Esta propiedad define la esfera de manera única.
La esfera tiene anchura constante y circunferencia constante.
El ancho de una superficie es la distancia entre pares de planos paralelos tangentes. Numerosas otras superficies convexas cerradas tienen un ancho constante, por ejemplo el cuerpo Meissner. La circunferencia de la superficie es la circunferencia del límite de su proyección ortogonal en un plano. Cada una de estas propiedades implica la otra.
Todos los puntos de una esfera son umbilicales.
En cualquier punto sobre una superficie una dirección normal está en ángulos rectos a la superficie porque en la esfera estas son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene lo normal con la superficie formará una curva que se llama una sección normal, y la curvatura de esta curva es la curvatura normal. Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximos y mínimos de éstos se llaman las curvaturas principales. Cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales. En un umbilic todas las curvaturas de sección son iguales; en particular las curvaturas principales son iguales. Los puntos umbilicales pueden ser considerados como los puntos en los que la superficie está estrechamente aproximada por una esfera.
Para la esfera las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, así que cada punto es un umbilic. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.
La esfera no tiene una superficie de centros.
Para una sección normal dada existe un círculo de curvatura que iguala la curvatura seccional, es tangente a la superficie, y las líneas centrales de las cuales se encuentran en la línea normal. Por ejemplo, los dos centros correspondientes a las curvaturas seccionales máximas y mínimas se denominan los coordinadores, y el conjunto de todos estos centros forma la superficie focal.
Para la mayoría de superficies la superficie focal forma dos hojas que son cada una una superficie y se reúnen en puntos umbilicales. Varios casos son especiales:
* Para superficies de canal una hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie
* Para conos, cilindros, tori y ciclides ambas hojas forman curvas.
* Para la esfera el centro de cada círculo osculante está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un solo punto. Esta propiedad es única en la esfera.
Toda la geodésica de la esfera son curvas cerradas.
La geodésica son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son una generalización del concepto de una línea recta en el plano. Para la esfera la geodésica son grandes círculos. Muchas otras superficies comparten esta propiedad.
De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es la que tiene la superficie más pequeña; de todos los sólidos que tienen una superficie dada, la esfera es la que tiene el mayor volumen.
Se deriva de la desigualdad isoperimétrica. Estas propiedades definen la esfera de manera única y se pueden ver en las burbujas de jabón: una burbuja de jabón encerrará un volumen fijo, y la tensión superficial minimiza su superficie para ese volumen. Por lo tanto, una burbuja de jabón flotante libre aproxima una esfera (aunque fuerzas externas como la gravedad distorsionarán ligeramente la forma de la burbuja). También se puede ver en planetas y estrellas donde la gravedad minimiza la superficie para grandes cuerpos celestes.
La esfera tiene la curvatura media más pequeña entre todos los sólidos convexos con una superficie dada.
La curvatura media es el promedio de las dos curvaturas principales, que es constante porque las dos curvaturas principales son constantes en todos los puntos de la esfera.
La esfera tiene una curvatura media constante.
La esfera es la única superficie incrustada que carece de límites o singularidades con constante curvatura media positiva. Otras superficies inmersas como superficies mínimas tienen una curvatura media constante.
La esfera tiene constante curvatura Gausiana positiva.
La curvatura gausiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar midiendo longitud y ángulos y es independiente de cómo la superficie está incrustada en el espacio. Por lo tanto, doblar una superficie no alterará la curvatura gausiana, y otras superficies con constante curvatura Gausiana positiva pueden obtenerse cortando una pequeña abertura en la esfera y doblandola. Todas estas otras superficies tendrían límites, y la esfera es la única superficie que carece de un límite con constante y positiva curvatura gausiana. El seudoesferio es un ejemplo de una superficie con constante curvatura gaisiana negativa.
La esfera se transforma en sí misma por una familia de tres parámetros de movimientos rígidos.
Rotar alrededor de cualquier eje una esfera de unidad en el origen mapeará la esfera sobre sí misma. Cualquier rotación sobre una línea a través del origen se puede expresar como una combinación de rotaciones alrededor del eje de tres coordenadas (ver ángulos de Euler). Por lo tanto, existe una familia de rotación de tres parámetros de tal manera que cada rotación transforma la esfera en sí misma; esta familia es el grupo de rotación SO(3). El plano es la única otra superficie con una familia de transformaciones de tres parámetros (traducciones a lo largo de la $x$ - y $Sí.$ -axes y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con familias de dos parámetros de movimientos rígidos y las superficies de la revolución y los helicoides son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Tratamiento por área de matemáticas

Geometría esférica

Gran círculo en una esfera

Los elementos básicos de la geometría del plano euclidiano son los puntos y las líneas. En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. El análogo de la "línea" es la geodésica, que es un gran círculo; la característica definitoria de un gran círculo es que el plano que contiene todos sus puntos también pasa por el centro de la esfera. Medir por longitud de arco muestra que el camino más corto entre dos puntos que se encuentran en la esfera es el segmento más corto del gran círculo que incluye los puntos.

Muchos teoremas de la geometría clásica también son válidos para la geometría esférica, pero no todos lo son porque la esfera no cumple algunos de los postulados de la geometría clásica, incluido el postulado de las paralelas. En trigonometría esférica, los ángulos se definen entre grandes círculos. La trigonometría esférica difiere de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico siempre supera los 180 grados. Además, dos triángulos esféricos semejantes cualesquiera son congruentes.

Cualquier par de puntos en una esfera que se encuentran en línea recta a través del centro de la esfera (es decir, el diámetro) se denominan puntos antípodas: en la esfera, la distancia entre ellos es exactamente la mitad de la longitud de la circunferencia.. Cualquier otro (es decir, no antípoda) par de puntos distintos en una esfera

miente en un gran círculo único,
segmentarlo en un arco menor (es decir, más corto) y un arco mayor (es decir, más largo)
que el arco menor sea la longitud distancia más corta entre ellos en la esfera.

La geometría esférica es una forma de geometría elíptica que, junto con la geometría hiperbólica, constituye la geometría no euclidiana.

Geometría diferencial

La esfera es una superficie lisa con curvatura gaussiana constante en cada punto igual a $1/ r 2$ . Según el Teorema Egregium de Gauss, esta curvatura es independiente de la incrustación de la esfera en el espacio tridimensional. También siguiendo a Gauss, una esfera no se puede mapear a un plano mientras se mantienen áreas y ángulos. Por lo tanto, cualquier proyección cartográfica introduce algún tipo de distorsión.

Una esfera de radio $r$ elemento de área ${displaystyle dA=r^{2}sin theta ,dtheta ,dvarphi }$ . Esto se puede encontrar desde el elemento de volumen en coordenadas esféricas con $r$ mantenido constante.

Una esfera de cualquier radio con centro en cero es una superficie integral de la siguiente forma diferencial:

{displaystyle x,dx+y,dy+z,dz=0.}

Esta ecuación refleja que el vector de posición y el plano tangente en un punto siempre son ortogonales entre sí. Además, el vector normal que mira hacia afuera es igual al vector de posición escalado por $1/r$ .

En la geometría de Riemann, la conjetura del área de relleno establece que el hemisferio es el relleno isométrico óptimo (área mínima) del círculo de Riemann.

Topología

En topología, una $n$ -esfera se define como un espacio homeomorfo al límite de un (n + 1)- bola; por lo tanto, es homeomorfo a la $n$ -euclidiana, pero tal vez carece de su métrica.

Una esfera 0 es un par de puntos con la topología discreta.
Una esfera de 1 es un círculo (hasta el homeomorfismo); por lo tanto, por ejemplo, (la imagen de) cualquier nudo es una esfera de 1.
Una esfera de 2 grados es una esfera ordinaria (hasta el homeomorfismo); por lo tanto, por ejemplo, cualquier esferoide es una esfera de 2 grados.

La esfera $n$ se denomina $S n$ . Es un ejemplo de una variedad topológica compacta sin límite. Una esfera no necesita ser lisa; si es suave, no es necesario que sea difeomorfo a la esfera euclidiana (una esfera exótica).

La esfera es la imagen inversa de un conjunto de un punto bajo la función continua $|| x ||$ , por lo que está cerrado; $S n$ también está acotado, por lo que es compacto según el teorema de Heine-Borel.

Sorprendentemente, es posible dar la vuelta a una esfera ordinaria en un espacio tridimensional con posibles autointersecciones pero sin crear ningún pliegue, en un proceso llamado eversión de esfera.

El cociente de las antípodas de la esfera es la superficie denominada plano proyectivo real, que también se puede considerar como el hemisferio norte con los puntos de las antípodas del ecuador identificados.

Curvas en una esfera

Sección plano de una esfera: 1 círculo

Intersección coaxial de una esfera y un cilindro: 2 círculos

Círculos

Los círculos en la esfera están, como los círculos en el plano, formados por todos los puntos a cierta distancia de un punto fijo en la esfera. La intersección de una esfera y un plano es un círculo, un punto o vacío. Los círculos máximos son la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de una esfera: los demás se denominan círculos pequeños.

Superficies más complicadas también pueden intersecar una esfera en círculos: la intersección de una esfera con una superficie de revolución cuyo eje contiene el centro de la esfera (son coaxiales) consiste en círculos y/o puntos si no está vacío. Por ejemplo, el diagrama de la derecha muestra la intersección de una esfera y un cilindro, que consta de dos círculos. Si el radio del cilindro fuera el de la esfera, la intersección sería un solo círculo. Si el radio del cilindro fuera mayor que el de la esfera, la intersección estaría vacía.

Loxódromo

Loxodrome

En navegación, una línea loxodrómica o loxódromo es un arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo. Las loxódromos son lo mismo que las líneas rectas en la proyección de Mercator. Una línea loxodrómica no es una espiral esférica. Excepto en algunos casos simples, la fórmula de una línea loxodrómica es complicada.

Curvas de Clelia

espiral esférica con

{displaystyle c=8}

Una curva Clelia es una curva en una esfera para la cual la longitud $varphi$ y la colatitud $theta$ satisfacer la ecuación

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">φ φ =cSilencio Silencio ,c■0{displaystyle varphi =c;thetaquad c]0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2234630beaa722f2a2e70a3cf6cfa33a7ea116" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.985ex; height:2.676ex;"/>

Casos especiales son: curva de Viviani ( ${displaystyle c=1}$ ) y espirales esféricas ( $2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■2{displaystyle c]2}2" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23589bfa9e6bcefa64f663a435c2338fee9eca15" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;"/>$ Como la espiral de Seiffert. Clelia curva aproxima el camino de los satélites en órbita polar.

Cónicas esféricas

El análogo de una sección cónica en la esfera es una cónica esférica, una curva cuártica que se puede definir de varias formas equivalentes, que incluyen:

como la intersección de una esfera con un cono cuadrático cuyo vértice es el centro de la esfera;
como la intersección de una esfera con un cilindro elíptico o hiperbólico cuyo eje pasa por el centro de la esfera;
como el locus de puntos cuya suma o diferencia de distancias de gran círculo de un par de foci es una constante.

Muchos teoremas relacionados con las secciones cónicas planas también se aplican a las cónicas esféricas.

Intersección de una esfera con una superficie más general

Cilindro de intersección general

Si una esfera se cruza con otra superficie, puede haber curvas esféricas más complicadas.

Ejemplo: esfera – cilindro

La intersección de la esfera con ecuación ${displaystyle ;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2};}$ y el cilindro con ecuación ${displaystyle ;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},;y_{0}neq 0;}$ no es sólo uno o dos círculos. Es la solución del sistema no lineal de ecuaciones

{displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}

{displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0.}

(ver curva implícita y el diagrama)

Generalizaciones

Elipsoides

Un elipsoide es una esfera que se ha estirado o comprimido en una o más direcciones. Más exactamente, es la imagen de una esfera bajo una transformación afín. Un elipsoide guarda la misma relación con la esfera que una elipse con un círculo.

Dimensionalidad

Las esferas se pueden generalizar a espacios de cualquier número de dimensiones. Para cualquier número natural $n$ , un $n$ -esfera, a menudo denominada $S n$ , es el conjunto de puntos en ( $n + 1$ ) espacio euclidiano dimensional que se encuentran a una distancia fija $r$ de un punto central de ese espacio, donde $r$ es, como antes, un número real positivo. En particular:

$S 0$ : una esfera 0 consta de dos puntos discretos, $- r$ y $r$
$S 1$ : una esfera de 1 es un círculo de radio r
$S 2$ : una esfera de 2 grados es una esfera ordinaria
$S 3$ : una esfera de 3 esferas es una esfera en el espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Esferas para $n > 2$ a veces se denominan hiperesferas.

La $n$ -esfera de radio unitario centrada en el origen se denota $S n$ y se refiere a menudo como "el" $n$ -esfera. La esfera ordinaria es una esfera bidimensional, porque es una superficie bidimensional que está incrustada en un espacio tridimensional.

Espacios métricos

Más generalmente, en un espacio métrico $(E, d)$ , la esfera de centro $x$ y radio $r > 0$ es el conjunto de puntos $y$ tales que $d (x, y) = r$ .

Si el centro es un punto distinguido que se considera el origen de $E$ , como en un espacio normado, no se menciona en la definición y notación. Lo mismo ocurre con el radio si se toma igual a uno, como en el caso de una esfera unitaria.

A diferencia de una pelota, incluso una esfera grande puede ser un conjunto vacío. Por ejemplo, en $Z n$ con métrica euclidiana, una esfera de radio $r$ no está vacío solo si $r 2$ puede escribirse como la suma de $n$ cuadrados de números enteros.

Un octaedro es una esfera en geometría de taxi y un cubo es una esfera en geometría usando la distancia de Chebyshev.

Historia

La geometría de la esfera fue estudiada por los griegos. Los elementos de Euclides define la esfera en el libro XI, analiza varias propiedades de la esfera en el libro XII y muestra cómo inscribir los cinco poliedros regulares dentro de una esfera en el libro XIII. Euclides no incluye el área y el volumen de una esfera, solo un teorema de que el volumen de una esfera varía como la tercera potencia de su diámetro, probablemente debido a Eudoxo de Cnido. Las fórmulas de volumen y área se determinaron por primera vez en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes mediante el método de agotamiento. Zenodoro fue el primero en afirmar que, para una superficie dada, la esfera es el sólido de máximo volumen.

Arquímedes escribió sobre el problema de dividir una esfera en segmentos cuyos volúmenes están en una proporción dada, pero no lo resolvió. Dionisodoro dio una solución por medio de la parábola y la hipérbola. Un problema similar, construir un segmento igual en volumen a un segmento dado y en superficie a otro segmento, fue resuelto más tarde por al-Quhi.

Galería

$An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nm) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nm, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.[20]$
Una imagen de una de las esferas humanas más precisas, ya que refracta la imagen de Einstein en el fondo. Esta esfera fue un giroscopio de cuarzo fusionado para el experimento Gravity Probe B, y difiere en forma de una esfera perfecta por no más de 40 átomos (menos de 10nm) de espesor. Se anunció el 1 de julio de 2008 que científicos australianos habían creado esferas aún más casi perfectas, exactas a 0.3nm, como parte de una caza internacional para encontrar un nuevo kilogramo estándar global.
Deck of playing cards illustrating engineering instruments, England, 1702. Rey de espadas: Spheres

Regiones

Hemisferio
Capa esférica
Lúmina esférica
Spherical polygon
Sector esférico
Spherical segment
Spherical wedge
Zona esférica

Notas y referencias

Notas

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