Escuela italiana de geometría algebraica

En relación con la historia de las matemáticas, la escuela italiana de geometría algebraica se refiere a los matemáticos y su trabajo en geometría biracional, particularmente en superficies algebraicas, centrado alrededor de Roma aproximadamente entre 1885 y 1935. Hubo Entre 30 y 40 matemáticos destacados que hicieron importantes contribuciones, aproximadamente la mitad de ellos eran italianos. El liderazgo recayó en el grupo de Roma formado por Guido Castelnuovo, Federigo Enriques y Francesco Severi, quienes participaron en algunos de los descubrimientos más profundos, además de marcar el estilo.

Superficies algebraicas

El énfasis en las superficies algebraicas (variedades algebraicas de dimensión dos) surgió de una teoría geométrica esencialmente completa de curvas algebraicas (dimensión 1). La posición alrededor de 1870 era que la teoría de la curva había incorporado con la teoría de Brill-Noether el teorema de Riemann-Roch en todos sus refinamientos (a través de la geometría detallada del divisor theta).

La clasificación de superficies algebraicas fue un intento audaz y exitoso de repetir la división de curvas algebraicas por su género g. La división de las curvas corresponde a una clasificación aproximada en tres tipos: g = 0 (línea proyectiva); g = 1 (curva elíptica); y g > 1 (Superficies de Riemann con diferenciales holomorfos independientes). En el caso de las superficies, la clasificación de Enriques se dividía en cinco grandes clases similares, tres de ellas análogas a los casos de curvas y dos más (fibraciones elípticas y superficies K3, como ahora se llamarían) correspondientes al caso de variedades abelianas bidimensionales en el nivel 'medio' territorio. Se trataba de un conjunto de ideas esencialmente sólidas y revolucionarias, recuperadas en un lenguaje complejo y moderno por Kunihiko Kodaira en la década de 1950, y refinadas para incluir fenómenos mod p por Zariski, la escuela Shafarevich y otros alrededor de 1960. También se resolvió la forma del teorema de Riemann-Roch sobre una superficie.

Cuestiones fundamentales

Algunas pruebas producidas por la escuela no se consideran satisfactorias debido a dificultades fundamentales. Estos incluyeron el uso frecuente de modelos biracionales en la dimensión tres de superficies que pueden tener modelos no singulares solo cuando están incrustadas en un espacio proyectivo de dimensiones superiores. Para evitar estos problemas, se desarrolló una teoría sofisticada sobre el manejo de un sistema lineal de divisores (de hecho, una teoría del haz de líneas para secciones hiperplanas de supuestas incrustaciones en el espacio proyectivo). Se encontraron muchas técnicas modernas, en forma embrionaria, y en algunos casos la articulación de estas ideas excedió el lenguaje técnico disponible.

Los geómetras

Según Guerraggio & Nastasi (página 9, 2005), Luigi Cremona es "considerado el fundador de la escuela italiana de geometría algebraica". Posteriormente explican que en Turín la colaboración de Enrico D'Ovidio y Corrado Segre "llevaría, ya sea por sus propios esfuerzos o por el de sus alumnos, a la plena madurez la geometría algebraica italiana". H.F. Baker, antiguo alumno de Segre, escribió que Corrado Segre "probablemente puede decirse que es el padre de esa maravillosa escuela italiana que tanto ha logrado en la teoría biracional de los loci algebraicos". Sobre este tema, Brigaglia & Ciliberto (2004) dice que "Segre había dirigido y mantenido la escuela de geometría que Luigi Cremona había establecido en 1860". La referencia al Proyecto Genealogía de las Matemáticas muestra que, en términos de doctorados italianos, la verdadera productividad de la escuela comenzó con Guido Castelnuovo y Federigo Enriques. En Estados Unidos, Oscar Zariski inspiró a muchos doctores.

El cuadro de honor de la escuela incluye a los siguientes italianos: Giacomo Albanese, Eugenio Bertini, Luigi Campedelli, Oscar Chisini, Michele De Franchis, Pasquale del Pezzo, Beniamino Segre, Francesco Severi, Guido Zappa (con contribuciones también de Gino Fano, Carlo Rosati, Giuseppe Torelli, Giuseppe Veronese).

En otros lugares participaron H. F. Baker y Patrick du Val (Reino Unido), Arthur Byron Coble (EE. UU.), Georges Humbert y Charles Émile Picard (Francia), Lucien Godeaux (Bélgica), Hermann Schubert y Max Noether, y más tarde Erich Kähler (Alemania), H. G. Zeuthen (Dinamarca).

Todas estas figuras estaban involucradas en la geometría algebraica, en lugar de la búsqueda de la geometría proyectiva como geometría sintética, que durante el período en discusión era un tema enorme (en términos de volumen), pero secundario (cuando se juzga por su importancia como investigación).

Advenimiento de la topología

En 1950 Henry Forder mencionó la escuela italiana en relación con las curvas algebraicas.

El desarrollo ulterior de la teoría de las curvas planas sólo es fructífero cuando se conecta con la teoría de las superficies Riemann y las funciones abelianas. Este ha sido un estudio favorito durante los últimos cincuenta años, de los geométricos italianos, y también han hecho contribuciones de gran belleza a una teoría similar de las superficies y de “Varieties” de dimensiones superiores. En este caso, una combinación de la teoría de las integrales en las variedades, y de su topología, produce resultados decisivos. La teoría de las curvas y superficies está conectada con el álgebra moderna y la topología...

La nueva geometría algebraica que sucedería a la escuela italiana se distinguió por el uso intensivo de la topología algebraica. El fundador de esa tendencia fue Henri Poincaré; Durante la década de 1930 fue desarrollado por Lefschetz, Hodge y Todd. La síntesis moderna reunió su trabajo, el de la escuela de Cartan y el de W.L. Chow y Kunihiko Kodaira, con el material tradicional.

Colapso de la escuela

En los primeros años de la escuela italiana bajo Castelnuovo, los estándares de rigor eran tan altos como la mayoría de las áreas de las matemáticas. Bajo Enriques gradualmente se volvió aceptable el uso de argumentos algo más informales en lugar de pruebas completamente rigurosas, como el "principio de continuidad" decir que lo que es verdadero hasta el límite es verdadero en el límite, afirmación que no tenía ni una prueba rigurosa ni siquiera una afirmación precisa. Al principio esto no importó demasiado, ya que la intuición de Enriques era tan buena que esencialmente todos los resultados que afirmaba eran correctos, y el uso de este estilo de argumentación más informal le permitió producir resultados espectaculares sobre superficies algebraicas. Desafortunadamente, aproximadamente a partir de 1930, bajo el liderazgo de Severi, los estándares de precisión disminuyeron aún más, hasta el punto de que algunos de los resultados declarados no sólo no se demostraron de manera inadecuada, sino que eran incorrectos. Por ejemplo, en 1934 Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racional de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo, y en 1946 Severi publicó un artículo afirmando para demostrar que una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo 52 nodos, pero el sextic de Barth tiene 65 nodos. Severi no aceptó que sus argumentos fueran inadecuados, lo que dio lugar a enconadas disputas sobre el estado de algunos resultados.

Aproximadamente en 1950 tenía Se volvió demasiado difícil decir cuáles de los resultados afirmados eran correctos, y la escuela intuitiva informal de geometría algebraica colapsó debido a sus fundamentos inadecuados. Aproximadamente entre 1950 y 1980 se hicieron esfuerzos considerables para rescatar todo lo posible y convertirlo al riguroso estilo algebraico de geometría algebraica establecido por Weil y Zariski. En particular, en la década de 1960, Kodaira y Shafarevich y sus estudiantes reescribieron la clasificación de Enriques de superficies algebraicas en un estilo más riguroso, y también la extendieron a todas las superficies compactas y complejas, mientras que en la década de 1970, Fulton y MacPherson pusieron los cálculos clásicos de la teoría de intersecciones en niveles rigurosos. cimientos.