Escalar (matemáticas)

Un escalar es un elemento de un campo que se utiliza para definir un espacio vectorial. En álgebra lineal, los números reales o generalmente elementos de un campo se llaman escalares y se relacionan con vectores en un espacio vectorial asociado mediante la operación de multiplicación escalar (definida en el espacio vectorial), en la que un vector puede multiplicarse por un escalar de la forma definida para producir otro vector. En términos generales, un espacio vectorial se puede definir utilizando cualquier campo en lugar de números reales (como los números complejos). Entonces los escalares de ese espacio vectorial serán elementos del campo asociado (como los números complejos).

Una operación de producto escalar (que no debe confundirse con la multiplicación escalar) se puede definir en un espacio vectorial, lo que permite multiplicar dos vectores de la manera definida para producir un escalar. Un espacio vectorial equipado con un producto escalar se llama espacio de producto interno.

Una cantidad descrita por múltiples escalares, que tienen dirección y magnitud, se llama vector. El término escalar también se usa a veces de manera informal para referirse a un vector, matriz, tensor u otro elemento, generalmente "compuesto" valor que en realidad se reduce a un solo componente. Así, por ejemplo, a menudo se dice que el producto de una matriz 1 × n y una matriz n × 1, que formalmente es una matriz 1 × 1, es un < b>escalar. El componente real de un cuaternión también se llama parte escalar.

El término matriz escalar se utiliza para denotar una matriz de la forma kI donde k es un escalar y I es la matriz identidad.

Etimología

La palabra escalar deriva de la palabra latina scalaris, una forma adjetival de scala (latín para "escalera" ), de donde también proviene la palabra inglesa scale. El primer uso registrado de la palabra "escalar" en matemáticas ocurre en Arte analítico de François Viète (In artem anallyticem isagoge) (1591):

Las magnitudes que ascienden o descienden proporcionalmente de acuerdo con su naturaleza de un tipo a otro pueden llamarse términos escalar.

(Latin: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares.)

Según una cita del Oxford English Dictionary, el primer uso registrado del término "escalar" en inglés apareció con W. R. Hamilton en 1846, refiriéndose a la parte real de un cuaternión:

La parte real algebraica puede recibir, según la pregunta en la que ocurre, todos los valores contenidos en la única escala de progresión de números de infinidad negativa a positivo; lo llamaremos por lo tanto la parte escalar.

Definiciones y propiedades

Escalares de espacios vectoriales

Un espacio vectorial se define como un conjunto de vectores (grupo abeliano aditivo), un conjunto de escalares (campo), y una operación de multiplicación escalar que toma un escalar k y un vector v para formar otro vector kv. Por ejemplo, en un espacio de coordenadas, la multiplicación del escalar ${\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dotsv_{n}}$ rendimientos ${\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dotskv_{n}}$. En un espacio de función (linear), kf es la función x ↦ k()f()x).

Los escalares se pueden tomar de cualquier campo, incluidos los números racionales, algebraicos, reales y complejos, así como de campos finitos.

Escalares como componentes vectoriales

Según un teorema fundamental de álgebra lineal, cada espacio vectorial tiene una base. Sigue que cada espacio vectorial sobre un campo K es isomorfo al espacio vectorial correspondiente donde cada coordinación consta de elementos K (por ejemplo, coordenadas (a₁, a₂,... a_nDonde a_i ▪ K y n es la dimensión del espacio vectorial en consideración.). Por ejemplo, cada espacio vectorial real de la dimensión n es isomorfo para el n-dimensional espacio real Rⁿ.

Escalares en espacios vectoriales normados

Alternativamente, un espacio vectorial V puede equiparse con una función normal que asigna a cada vector v en V un escalar ||< b>v||. Por definición, multiplicar v por un escalar k también multiplica su norma por |k|. Si ||v|| se interpreta como la longitud de v, esta operación se puede describir como escalar la longitud de v en k. Un espacio vectorial equipado con una norma se llama espacio vectorial normado (o espacio lineal normado).

La norma generalmente se define como un elemento del campo escalar V'K, lo que restringe este último a campos que apoyan la noción de signo. Además, si V tiene dimensión 2 o más, K debe cerrarse bajo raíz cuadrada, así como las cuatro operaciones aritméticas; por lo tanto, los números racionales Q están excluidos, pero el campo extraño es aceptable. Por esta razón, no todo espacio producto escalar es un espacio vectorial normado.

Escalares en módulos

Cuando el requisito de que el conjunto de escalares forme un campo se relaja de modo que sólo necesita formar un anillo (de modo que, por ejemplo, no es necesario definir la división de escalares, o los escalares no necesitan ser conmutativos), el La estructura algebraica más general resultante se llama módulo.

En este caso los "escalares" Pueden ser objetos complicados. Por ejemplo, si R es un anillo, los vectores del espacio producto Rⁿ se pueden convertir en un módulo con las matrices n×n con entradas de R como escalares. Otro ejemplo proviene de la teoría de variedades, donde el espacio de secciones del paquete tangente forma un módulo sobre el álgebra de funciones reales en la variedad.

Transformación de escala

La multiplicación escalar de espacios vectoriales y módulos es un caso especial de escalado, una especie de transformación lineal.