Escalado (geometría)
En geometría afín, el escalado uniforme (o escalado isotrópico) es una transformación lineal que amplía (aumenta) o reduce (disminuye) objetos mediante un factor de escala. que es igual en todas direcciones. El resultado del escalado uniforme es similar (en sentido geométrico) al original. Normalmente se permite un factor de escala de 1, de modo que las formas congruentes también se clasifican como similares. La escala uniforme ocurre, por ejemplo, al ampliar o reducir una fotografía, o al crear un modelo a escala de un edificio, automóvil, avión, etc.
Más general es el escalado con un factor de escala separado para cada dirección del eje. El escalado no uniforme (escalado anisotrópico) se obtiene cuando al menos uno de los factores de escala es diferente de los demás; un caso especial es el escalado direccional o el estiramiento (en una dirección). El escalado no uniforme cambia la forma del objeto; p.ej. un cuadrado puede convertirse en un rectángulo o en un paralelogramo si los lados del cuadrado no son paralelos a los ejes de escala (los ángulos entre líneas paralelas a los ejes se conservan, pero no todos los ángulos). Ocurre, por ejemplo, cuando se ve un cartel lejano desde un ángulo oblicuo, o cuando la sombra de un objeto plano cae sobre una superficie que no es paralela a él.
Cuando el factor de escala es mayor que 1, la escala (uniforme o no uniforme) a veces también se denomina dilatación o ampliación. Cuando el factor de escala es un número positivo menor que 1, la escala a veces también se denomina contracción o reducción.
En el sentido más general, una escala incluye el caso en el que las direcciones de la escala no son perpendiculares. También incluye el caso en el que uno o más factores de escala son iguales a cero (proyección), y el caso de uno o más factores de escala negativos (una escala direccional de -1 equivale a una reflexión).
El escalado es una transformación lineal y un caso especial de transformación homotética (escalado alrededor de un punto). En la mayoría de los casos, las transformaciones homotéticas son transformaciones no lineales.
Escala uniforme
Un factor de escala suele ser un decimal que escala o multiplica una cantidad. En la ecuación y = Cx, C es el factor de escala para x. C es también el coeficiente de x y puede denominarse constante de proporcionalidad de y a x. Por ejemplo, duplicar las distancias corresponde a un factor de escala de dos para la distancia, mientras que cortar un pastel por la mitad da como resultado piezas con un factor de escala para el volumen de la mitad. La ecuación básica para ello es imagen sobre preimagen.
En el campo de las mediciones, el factor de escala de un instrumento a veces se denomina sensibilidad. La relación entre dos longitudes correspondientes cualesquiera en dos figuras geométricas similares también se llama escala.
Representación matricial
Una escala se puede representar mediante una matriz de escala. Para escalar un objeto mediante un vector v = (vx, vy, vz), cada punto p = (px, py, pz) debería multiplicarse por esta matriz de escala: