Escala Bohlen-Pierce

La escala Bohlen-Pierce (escala BP) es una escala y afinación musical, descrita por primera vez en la década de 1970, que ofrece una alternativa a las escalas de repetición de octava típicas. en Western y otras músicas, específicamente la escala diatónica de temperamento igual.

El intervalo 3:1 (a menudo llamado por un nuevo nombre, tritave) sirve como la relación armónica fundamental, reemplazando la escala diatónica 2:1 (la octava) con una doceava perfecta (una octava más alta que una quinta perfecta). Para cualquier tono que sea parte de la escala BP, todos los tonos uno o más tritavos más altos o más bajos también forman parte del sistema y se consideran equivalentes.

La escala BP divide el tritavo en 13 pasos, ya sea de temperamento igual (la forma más popular) o en una versión justamente afinada. En comparación con las escalas de repetición de octava, los intervalos de la escala BP están más en consonancia con ciertos tipos de espectros acústicos.

La escala fue descrita de forma independiente por Heinz Bohlen, Kees van Prooijen y John R. Pierce. Pierce, quien, con Max Mathews y otros, publicó su descubrimiento en 1984, renombró la escala Pierce 3579b y su variante cromática como escala Bohlen-Pierce después de enterarse de Bohlen's publicación anterior. Bohlen había propuesto la misma escala basándose en la consideración de la influencia de los tonos combinados en la impresión Gestalt de intervalos y acordes.

Los intervalos entre las clases de lanzamiento de escala BP se basan en ratios de frecuencias de números enteros impares, en contraste con los intervalos en escalas diatónicas, que emplean tanto ratios extrañas como uniformes encontrados en la serie armónica. Específicamente, los pasos de la escala BP se basan en ratios de enteros cuyos factores son 3, 5 y 7. Así la escala contiene armonías consonantes basadas en los extraños matices armónicos 3:5:7:9Jugar(help·info)). El acorde formado por la relación 3:5:7 (Jugar(help·info)) sirve mucho el mismo papel que el acorde 4:5:6 (una tríada mayor Jugar(help·info)) lo hace en escalas diatónicas (3:5:7 = 1:1+2/3:2+1/3 4:5:6 = 2:2+1/2:3 = 1:1+1/4:1+1/2).

Acordes y modulación

El patrón de sensibilidad de entonación de 3:5:7 es similar al de 4:5:6 (solo el acorde mayor), más similar que el del acorde menor. Esta similitud sugiere que nuestros oídos también percibirán 3:5:7 como armónico.

El acorde 3:5:7 puede ser considerado como la tríada mayor de la escala BP. Es aproximado por un intervalo de 6 semitones BP de igual temperatura (jugar un semitone(help·info)) en la parte inferior y un intervalo de 4 semitones iguales en la parte superior (semitones: 0,6,10; Jugar(help·info)). Una triada menor es correspondiente a 6 semitonas en la parte superior y 4 semitonas en la parte inferior (0,4,10; Jugar(help·info)). 5:7:9 es la primera inversión de la triada mayor (0,4,7; Jugar(help·info)).

Un estudio de triadas cromáticas formadas por combinaciones arbitrarias de los 13 tonos de la escala cromática entre doce músicos y doce oyentes sin entrenamiento encontró 0,1,2 (semitones) para ser el acorde más disonante (Jugar(help·info)), pero 0,11,13 (Jugar(help·info)) fue considerado el más consonante por los sujetos entrenados (porque suena como una tríada mayor octavo-dropped) y 0,7,10 (Jugar(help·info)) fue juzgado la mayoría consonante por los sujetos no entrenados.

Cada tono de la escala Pierce 3579b está en una tríada mayor y menor excepto el tono II de la escala. Hay trece claves posibles. La modulación es posible cambiando una sola nota. Mover la nota II un semitono hacia arriba hace que la tónica suba a lo que era la nota III (semitono: 3), que por lo tanto puede considerarse la dominante. VIII (semitono: 10) puede considerarse la subdominante.

Timbre y tritava

3:1 sirve como la relación armónica fundamental, reemplazando la escala diatónica 2:1 (la octava). ()Jugar(help·info)) Este intervalo es un duodécimo perfecto en nomenclatura diatónica (perfecto quinto cuando se reduce por una octava), pero como esta terminología se basa en tamaños de paso y funciones no utilizados en la escala BP, a menudo se llama por un nuevo nombre, tritave ()Jugar(help·info)), en contextos BP, refiriéndose a su papel como pseudooctave, y utilizando el prefijo "tri-" (tres) para distinguirlo de la octava. En escalas convencionales, si un lanzamiento dado es parte del sistema, entonces todas las parcelas una o más octavas superiores o inferiores también son parte del sistema y, además, se consideran equivalentes. En la escala BP, si un lanzamiento dado está presente, entonces ninguno de las parcelas uno o más octavas superiores o inferiores están presentes, pero Todos parcelas uno o más tritaves superiores o inferiores son parte del sistema y se consideran equivalentes.

El uso de proporciones de enteros impares en la escala BP es apropiado para timbres que contienen solo armónicos impares. Debido a que el espectro del clarinete (en el registro chalumeau) consta principalmente de los armónicos impares, y el instrumento sobresalta en la duodécima (o tritava) en lugar de la octava como lo hacen la mayoría de los demás instrumentos de viento de madera, existe una afinidad natural entre ellos. y la escala Bohlen-Pierce. A principios de 2006, el fabricante de clarinetes Stephen Fox comenzó a ofrecer a la venta clarinetes soprano Bohlen-Pierce. Produjo el primer clarinete tenor BP (seis pasos por debajo del soprano) en 2010 y el primer clarinete epsilon (cuatro pasos por encima del soprano) en 2011. Un clarinete contra (un tritavo más bajo que el soprano) ahora (2020) es interpretado por Nora. Mueller, Lübeck, Alemania.

Solo sintonizando

Se puede construir una escala diatónica de Bohlen-Pierce con las siguientes proporciones justas (el gráfico muestra la escala "Lambda" (λ)):

Nota	Nombre	C		D		E		F		G		H		J		A		B		C
	Grado
	Ratio	1:1		25:21		9:7		7:5		5:3		9:5		15:7		7:3		25:9		3:1
	Cents	0		301.85		435.08		582.51		884.36		1017.60		1319.44		1466.87		1768.72		1901.96
	Midi	C		D		E		F		G		H		J		A		B		C
Paso	Nombre		T		s		S		T		s		T		S		T		s
	Ratio		25:21		27:25		49:45		25:21		27:25		25:21		49:45		25:21		27:25
	Cents		301.85		133.24		147.43		301.85		133.24		301.85		147.43		301.85		133.24

jugar sólo Bohlen-Pierce "Lambda" escala(help·info)contraste con la escala diatónica mayor(help·info)

Se puede construir una escala BP a partir de cuatro acordes 3:5:7 superpuestos, por ejemplo, V, II, VI y IV, aunque se pueden elegir diferentes acordes para producir una escala similar:

(5:3)(7:5)
V IX III
Silencio
III VII I
Silencio
VI I IV
Silencio
IV VIII II

Temperamento de Bohlen-Pierce

Bohlen originalmente expresó la escala BP tanto en entonación justa como en temperamento igual. La forma templada, que divide la tritave en trece pasos iguales, se ha convertido en la forma más popular. Cada paso es ¹³√3 = 3^{1⁄ 13} = 1,08818... por encima del siguiente, o 1200 log₂ (3^1⁄13) = 146,3… centavos por paso. La octava se divide en un número fraccionario de pasos. Se utilizan doce pasos por octava igualmente temperados en 12-tet. La escala Bohlen-Pierce podría describirse como 8,202087-tet, porque una octava completa (1200 centésimas), dividida entre 146,3... centésimas por paso, da 8,202087 pasos por octava.

Dividir la tritava en 13 pasos iguales suaviza, o reduce al unísono, los intervalos 245:243 (alrededor de 14 centavos, a veces llamado diesis menor de Bohlen-Pierce) y 3125:3087 (alrededor de 21 centavos, a veces llamada diesis mayor de Bohlen-Pierce) de la misma manera que dividir la octava en 12 pasos iguales reduce tanto 81:80 (coma sintónica) como 128:125 (límite de 5 límites) a un unísono. Un temperamento lineal de 7 límites modera estos dos intervalos; el temperamento Bohlen-Pierce resultante ya no tiene nada que ver con las equivalencias de tritavas o escalas no octavas, más allá del hecho de que está bien adaptado para usarlas. Una afinación de 41 pasos iguales a la octava (1200⁄41 = 29,27 centavos por paso) sería bastante lógico para este temperamento. En una afinación de este tipo, una doceava parte perfecta temperada (1902,4 centésimas, aproximadamente media centésima más que una doceava parte) se divide en 65 pasos iguales, lo que resulta en una aparente paradoja: tomar cada quinto grado de esta escala basada en octavas produce una excelente aproximación. a la escala BP no basada en octava igualmente temperada. Además, un intervalo de cinco de estos pasos genera MOSes (momentos de simetría) (basados en octavas) con 8, 9 o 17 notas, y la escala de 8 notas (que comprende los grados 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 y 35 de la escala de 41 iguales) podría considerarse la versión equivalente en octava de la escala Bohlen-Pierce.

Intervalos y diagramas de escala

Las siguientes son las trece notas en la escala (centavos redondeados al número entero más cercano):

Justamente afinado

Igualdad de temperamento

jugar igual templado Bohlen-Pierce escala(help·info)

Música y composición

¿Cómo suena estéticamente la música que usa una escala Bohlen-Pierce? Dave Benson sugiere que es útil usar solo sonidos con armónicos impares, incluidos clarinetes o tonos sintetizados, pero argumenta que debido a que "algunos de los intervalos suenan un poco como intervalos en la escala de doce tonos [la más familiar], pero mal fuera de tono", el oyente promedio sentirá continuamente "que algo "no está del todo bien", debido al condicionamiento social.

Mathews y Pierce concluyen que se pueden componer melodías claras y memorables en la escala BP, que "el contrapunto suena bien" y que "los pasajes de acordes suenan como armonía", lo que presumiblemente significa progresión, "pero sin gran tensión ni sentido de resolución". En su estudio de juicio de consonancia de 1989, ambos intervalos de los cinco acordes calificados como más consonantes por músicos capacitados son aproximadamente intervalos diatónicos, lo que sugiere que su entrenamiento influyó en su selección y que una experiencia similar con la escala BP influiría de manera similar en sus elecciones.

Las composiciones que utilizan la escala Bohlen-Pierce incluyen "Purity", el primer movimiento de Curtis Roads' Clang-Tint. Otros compositores informáticos que usaron la escala BP incluyen a Jon Appleton, Richard Boulanger (Solemn Song for Evening (1990)), Georg Hajdu, Juan Reyes' ppP (1999-2000), "A Wild and Reckless Place" de Ami Radunskaya; (1990), Charles Carpenter (Frog à la Pêche (1994) y Splat) y Elaine Walker (Stick Men (1991), Love Song y Greater Good (2011)).

David Lieberman, profesor asociado de arquitectura en la Universidad de Toronto, dirigió el desarrollo de un 'Stredici', un instrumento de cuerda afinado en la escala Bohlen-Pierce. El instrumento de cinco metros de largo se utilizó en conciertos en Boston en 2012.

Simposio

El primer simposio Bohlen-Pierce tuvo lugar en Boston del 7 al 9 de marzo de 2010, producido por el compositor Georg Hajdu (Hochschule für Musik und Theatre Hamburg) y la Boston Microtonal Society. Los coorganizadores fueron el Instituto Goethe de Boston, el Colegio de Música de Berklee, la Universidad del Noreste y el Conservatorio de Música de Nueva Inglaterra. Los participantes del simposio, que incluyeron a Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow, Curtis Roads, David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich, Ron Sword, Julia Werntz, Larry Polansky, Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker, Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund, Kevin Foster, presentaron 20 artículos sobre la historia y las propiedades de la escala Bohlen-Pierce, interpretaron más de 40 composiciones en el sistema novedoso e introdujeron varios instrumentos musicales nuevos. Los artistas incluyeron a los músicos alemanes Nora-Louise Müller y Ákos Hoffman en los clarinetes Bohlen-Pierce y Arturo Grolimund en la flauta de pan Bohlen-Pierce, así como el conjunto canadiense tranSpectra y la banda xenarmónica estadounidense ZIA, dirigida por Elaine Walker.

Otras afinaciones o escalas inusuales

Otros afinamientos no octava investigados por Bohlen incluyen doce pasos en el tritave, llamado A12 por Enrique Moreno y basado en el acorde 4:7:10 Jugar(help·info), siete pasos en la octava (7-tet) o 11 pasos similares en la tritave, y ocho pasos en la octava, basado en 5:7:9 Jugar(help·info) y de los cuales sólo se utilizaría la versión justa. Además, el pentave puede dividirse en ocho pasos que aproximan acordes de la forma 5:9:13:17:21:25. La escala Bohlen 833 céntimos se basa en la secuencia Fibonacci, aunque fue creada a partir de tonos combinados, y contiene una compleja red de relaciones armónicas debido a la inclusión de armónicas acuciantes de intervalos apilados del 833 %. Por ejemplo, "el paso 10 resulta ser idéntico con la octava (1200 centavos) al tono base, al mismo tiempo con la relación de oro al paso 3".

Se pueden especificar escalas alternativas indicando el tamaño de los pasos de temperamento igual, por ejemplo, Wendy Carlos' Escala alfa de 78 centavos y escala beta de 63,8 centavos, y escala de 88 centavos de Gary Morrison (13,64 pasos por octava o 14 por octava estirada de 1232 centavos). Esto le da a la escala alfa 15,39 pasos por octava ya la escala beta 18,75 pasos por octava.

Expansiones

División igual de 39 tonos de la tritava

Paul Erlich propuso dividir cada paso de Bohlen-Pierce en tercios para que la tritava se divida en 39 pasos iguales en lugar de 13 pasos iguales. La escala, que se puede ver como tres escalas Bohlen-Pierce escalonadas uniformemente, proporciona armónicos impares adicionales. La escala de 13 pasos alcanza los armónicos impares 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7 y 15:7; mientras que la escala de 39 pasos incluye todos esos y muchos más (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 y 35:13), aunque todavía faltan casi todos los armónicos pares (incluidos 2:1; 3:2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8 y 15:8). El tamaño de esta escala es de unos 25 pasos iguales en una proporción ligeramente superior a una octava, por lo que cada uno de los 39 pasos iguales es ligeramente inferior a la mitad de uno de los 12 pasos iguales de la escala estándar.

División igual de 65 tonos de la tritava

Dividir cada paso de la escala Bohlen-Pierce en quintas (de modo que la tritava se divida en 65 pasos) da como resultado una octava muy precisa (41 pasos) y una quinta justa (24 pasos), así como aproximaciones para otras intervalos La escala es prácticamente idéntica a la división igual de octava de 41 tonos, excepto que cada paso es ligeramente más pequeño (menos de una centésima de centavo por paso).