Ernst Zermelo

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (, alemán: [tsɛɐ̯ˈmeːlo]; 27 de julio de 1871 - 21 de mayo de 1953) fue un lógico y matemático alemán, cuyo trabajo tiene importantes implicaciones para los fundamentos de las matemáticas. Es conocido por su papel en el desarrollo de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y su demostración del teorema del buen orden. Además, su trabajo de 1929 sobre la clasificación de jugadores de ajedrez es la primera descripción de un modelo para la comparación por parejas que continúa teniendo un profundo impacto en varios campos aplicados que utilizan este método.

Vida

Ernst Zermelo en Friburgo (1953)

Ernst Zermelo se graduó en el Luisenstädtisches Gymnasium de Berlín (ahora Heinrich-Schliemann-Oberschule [de]) en 1889. Luego estudió matemáticas, física y filosofía en la Universidad de Berlín, la Universidad de Halle y la Universidad de Friburgo. Terminó su doctorado en 1894 en la Universidad de Berlín, otorgado por una disertación sobre el cálculo de variaciones (Untersuchungen zur Variationsrechnung). Zermelo permaneció en la Universidad de Berlín, donde fue nombrado asistente de Planck, bajo cuya dirección comenzó a estudiar hidrodinámica. En 1897, Zermelo fue a la Universidad de Göttingen, en ese momento el principal centro de investigación matemática del mundo, donde completó su tesis de habilitación en 1899.

En 1910, Zermelo dejó Göttingen al ser designado para ocupar la cátedra de matemáticas en la Universidad de Zúrich, a la que renunció en 1916. Fue designado para una cátedra honoraria en la Universidad de Friburgo en 1926, a la que renunció en 1935 porque desaprobaba el régimen de Adolf Hitler. Al final de la Segunda Guerra Mundial ya petición suya, Zermelo fue reintegrado a su cargo honorario en Friburgo.

Ernst Zermelo tombstone in Friedhof Günterstal, in Günterstal district of Freiburg im Breisgau

Investigación en teoría de conjuntos

En 1900, en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert desafió a la comunidad matemática con sus famosos problemas de Hilbert, una lista de 23 preguntas fundamentales sin resolver que los matemáticos deberían abordar durante el próximo siglo. El primero de ellos, un problema de teoría de conjuntos, fue la hipótesis del continuo introducida por Cantor en 1878, y en el curso de su exposición Hilbert mencionó también la necesidad de demostrar el teorema del buen orden.

Zermelo comenzó a trabajar en los problemas de la teoría de conjuntos bajo la influencia de Hilbert y en 1902 publicó su primer trabajo sobre la adición de cardinales transfinitos. En ese momento también había descubierto la llamada paradoja de Russell. En 1904 logró dar el primer paso sugerido por Hilbert hacia la hipótesis del continuo cuando demostró el teorema del buen orden (todo conjunto puede estar bien ordenado). Este resultado le dio fama a Zermelo, quien fue nombrado profesor en Göttingen, en 1905. Su demostración del teorema del buen orden, basada en el axioma del conjunto de potencias y el axioma de elección, no fue aceptada por todos los matemáticos, principalmente porque el axioma de elección fue un paradigma de las matemáticas no constructivas. En 1908, Zermelo logró producir una prueba mejorada haciendo uso de la noción de Dedekind de la 'cadena'. de un conjunto, que se hizo más ampliamente aceptado; esto se debió principalmente a que ese mismo año también ofreció una axiomatización de la teoría de conjuntos.

Zermelo comenzó a axiomatizar la teoría de conjuntos en 1905; en 1908, publicó sus resultados a pesar de no poder probar la consistencia de su sistema axiomático. Consulte el artículo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo para obtener un resumen de este documento, junto con los axiomas originales, con la numeración original.

En 1922, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem mejoraron de forma independiente el sistema de axiomas de Zermelo. El sistema de 8 axiomas resultante, ahora llamado axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF), es ahora el sistema más comúnmente utilizado para la teoría axiomática de conjuntos.

Problema de navegación de Zermelo

Propuesto en 1931, el problema de navegación de Zermelo es un problema clásico de control óptimo. El problema trata de una embarcación que navega sobre una masa de agua, con origen en un punto O y destino en un punto D. La embarcación es capaz de alcanzar cierta velocidad máxima, y queremos derivar el mejor control posible para llegar a D en el menor tiempo posible. tiempo.

Sin tener en cuenta las fuerzas externas como la corriente y el viento, el control óptimo es que el barco siempre se dirija hacia D. Entonces, su ruta es un segmento de línea de O a D, que es trivialmente óptimo. Teniendo en cuenta la corriente y el viento, si la fuerza combinada aplicada a la embarcación no es cero, el control de ausencia de corriente y viento no proporciona la ruta óptima.

Publicaciones

• Zermelo, Ernst (2013), Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Fraser, Craig G.; Kanamori, Akihiro (eds.), Ernst Zermelo - obras recogidas. Vol. Yo. Teoría de conjunto, miscellanea, Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, vol. 21, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-79384-7, ISBN 978-3-540-79383-0, MR 2640544
• Zermelo, Ernst (2013), Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Kanamori, Akihiro (eds.), Ernst Zermelo - obras recogidas. Vol. II. Cálculo de variaciones, matemáticas aplicadas y física, Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, vol. 23, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-70856-8, ISBN 978-3-540-70855-1, MR 3137671
• Jean van Heijenoort, 1967. De Frege a Gödel: Un libro fuente en la lógica matemática, 1879-1931. Harvard Univ. Press.
  • 1904. "Proofía de que cada conjunto puede ser bien ordenado", 139−41.
  • 1908. "Una nueva prueba de la posibilidad de un buen orden", 183–98.
  • 1908. "Investigaciones en los fundamentos de la teoría de conjuntos I", 199-215.
• 1913. "Sobre una aplicación de la teoría de conjunto a la teoría del juego del ajedrez" en Rasmusen E., ed., 2001. Lecturas en Juegos e InformaciónWiley-Blackwell: 79-82.
• 1930. "Sobre los números de límites y dominios de conjuntos: nuevas investigaciones en las bases de la teoría de conjuntos" en Ewald, William B., ed., 1996. De Kant a Hilbert: Un Libro Fuente en las Fundaciones de Matemáticas2 vols. Oxford University Press: 1219–33.

Obras de otros:

• El eje de la elección de Zermelo, sus orígenes, desarrollo, influencia, Gregory H. Moore, siendo Volumen 8 de Estudios en la Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas, Springer Verlag, Nueva York, 1982.