Erlang (unidad)

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Medición de carga en telecomunicaciones

El erlang (símbolo E) es una unidad adimensional que se utiliza en telefonía como medida de carga ofrecida o carga transportada en elementos proveedores de servicios como circuitos telefónicos o equipos de conmutación telefónica. Un circuito de un solo cable tiene la capacidad de ser utilizado durante 60 minutos en una hora. La plena utilización de esa capacidad, 60 minutos de tráfico, constituye 1 erlang.

El tráfico realizado en erlangs es la cantidad promedio de llamadas simultáneas medidas durante un período determinado (a menudo una hora), mientras que el tráfico ofrecido es el tráfico que se transmitiría si todos los intentos de llamada tuvieran éxito. La cantidad de tráfico ofrecido que se transporta en la práctica dependerá de lo que suceda con las llamadas no respondidas cuando todos los servidores estén ocupados.

El CCITT nombró erlang a la unidad internacional de tráfico telefónico en 1946 en honor a Agner Krarup Erlang. En el análisis de Erlang sobre el uso eficiente de la línea telefónica, derivó las fórmulas para dos casos importantes, Erlang-B y Erlang-C, que se convirtieron en resultados fundamentales en la ingeniería de teletráfico y la teoría de las colas. Sus resultados, que todavía se utilizan hoy en día, relacionan la calidad del servicio con la cantidad de servidores disponibles. Ambas fórmulas toman la carga ofrecida como una de sus entradas principales (en erlangs), que a menudo se expresa como la tasa de llegada de llamadas multiplicada por la duración promedio de la llamada.

Una suposición distintiva detrás de la fórmula Erlang B es que no hay cola, por lo que si todos los elementos del servicio ya están en uso, una nueva llamada entrante se bloqueará y posteriormente se perderá. La fórmula da la probabilidad de que esto ocurra. Por el contrario, la fórmula de Erlang C ofrece la posibilidad de una cola ilimitada y da la probabilidad de que una nueva llamada deba esperar en la cola debido a que todos los servidores están en uso. Las fórmulas de Erlang se aplican ampliamente, pero pueden fallar cuando la congestión es especialmente alta, lo que hace que el tráfico fallido vuelva a intentarlo repetidamente. Una forma de contabilizar los reintentos cuando no hay una cola disponible es el método Extended Erlang B.

Medidas de tráfico de un circuito telefónico

Cuando se utiliza para representar el tráfico cursado, un valor (que puede ser un número no entero, como 43,5) seguido de "erlangs" representa la cantidad media de llamadas simultáneas cursadas por los circuitos (u otros elementos de prestación de servicios), cuando ese promedio se calcula durante un período de tiempo razonable. El período durante el cual se calcula el promedio suele ser de una hora, pero se pueden usar períodos más cortos (por ejemplo, 15 minutos) cuando se sabe que hay picos cortos de demanda y se desea una medición del tráfico que no enmascare estos picos. Un erlang de tráfico transportado se refiere a un solo recurso que está en uso continuo, o dos canales, cada uno de los cuales está en uso el cincuenta por ciento del tiempo, y así sucesivamente. Por ejemplo, si una oficina tiene dos operadores telefónicos que están ocupados todo el tiempo, eso representaría dos erlangs (2 E) de tráfico; o se dice que un canal de radio que está ocupado continuamente durante el período de interés (por ejemplo, una hora) tiene una carga de 1 erlang.

Cuando se utiliza para describir el tráfico ofrecido, un valor seguido de "erlangs" representa la cantidad promedio de llamadas simultáneas que se habrían realizado si hubiera una cantidad ilimitada de circuitos (es decir, si el los intentos de llamada que se hicieron cuando todos los circuitos estaban en uso no habían sido rechazados). La relación entre el tráfico ofrecido y el tráfico cursado depende del diseño del sistema y del comportamiento del usuario. Tres modelos comunes son (a) las personas que llaman cuyos intentos de llamada son rechazados desaparecen y nunca regresan, (b) las personas que llaman cuyos intentos de llamada son rechazados intentan nuevamente dentro de un espacio de tiempo bastante corto, y (c) el sistema permite a los usuarios espere en la cola hasta que un circuito esté disponible.

Una tercera medida del tráfico es el tráfico instantáneo, expresado como una cierta cantidad de erlangs, es decir, la cantidad exacta de llamadas que se realizan en un momento dado. En este caso el número es un número entero. Los dispositivos de registro del nivel de tráfico, como los registradores de pluma móvil, trazan el tráfico instantáneo.

Análisis de Erlang

Los conceptos y las matemáticas presentados por Agner Krarup Erlang tienen una amplia aplicabilidad más allá de la telefonía. Se aplican siempre que los usuarios lleguen más o menos al azar para recibir un servicio exclusivo de cualquiera de un grupo de elementos proveedores de servicios sin reserva previa, por ejemplo, cuando los elementos proveedores de servicios sean ventanillas de venta de boletos, baños en un avión, o habitaciones de moteles. (Los modelos de Erlang no se aplican cuando los elementos que brindan el servicio se comparten entre varios usuarios simultáneos o cuando diferentes usuarios consumen diferentes cantidades de servicio, por ejemplo, en circuitos que transportan tráfico de datos).

El objetivo de la teoría del tráfico de Erlang es determinar exactamente cuántos elementos de prestación de servicios se deben proporcionar para satisfacer a los usuarios, sin desperdiciar un aprovisionamiento excesivo. Para ello, se establece un objetivo de grado de servicio (GoS) o calidad de servicio (QoS). Por ejemplo, en un sistema donde no hay colas, el GoS puede ser que no se bloquee (es decir, se rechace) más de 1 de cada 100 llamadas debido a que todos los circuitos están en uso (un GoS de 0,01), lo que se convierte en la probabilidad objetivo de bloqueo de llamadas, P_b, cuando se usa la fórmula Erlang B.

Hay varias fórmulas resultantes, incluidas Erlang B, Erlang C y la fórmula Engset relacionada, basadas en diferentes modelos de comportamiento del usuario y funcionamiento del sistema. Cada uno de estos puede derivarse por medio de un caso especial de procesos de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento-muerte. El método Extended Erlang B más reciente proporciona una solución de tráfico adicional que se basa en los resultados de Erlang.

Cálculo del tráfico ofrecido

El tráfico ofrecido (en erlangs) está relacionado con la tasa de llegada de llamadas, λ y el tiempo promedio de retención de llamadas (el promedio hora de una llamada telefónica), h, por:

E=lambda h

siempre que h y λ se expresen utilizando las mismas unidades de tiempo (segundos y llamadas por segundo, o minutos y llamadas por minuto).

La medición práctica del tráfico generalmente se basa en observaciones continuas durante varios días o semanas, durante las cuales el tráfico instantáneo se registra a intervalos breves y regulares (por ejemplo, cada pocos segundos). Estas medidas luego se utilizan para calcular un solo resultado, más comúnmente el tráfico de la hora pico (en erlangs). Este es el número promedio de llamadas simultáneas durante un período determinado de una hora del día, donde ese período se selecciona para dar el resultado más alto. (Este resultado se denomina tráfico de hora pico consistente en el tiempo). Una alternativa es calcular un valor de tráfico de hora pico por separado para cada día (que puede corresponder a horas ligeramente diferentes cada día) y tomar el promedio de estos valores. Por lo general, esto da un valor ligeramente más alto que el valor de la hora pico consistente en el tiempo.

Cuando el tráfico transportado en hora pico existente, E_c, se mide en un sistema ya sobrecargado, con un nivel significativo de bloqueo, es necesario tener en cuenta de las llamadas bloqueadas en la estimación del tráfico ofrecido en hora pico E_o (que es el valor de tráfico que se utilizará en las fórmulas de Erlang). El tráfico ofrecido se puede estimar por E_o = E_c/(1 − P_b). Para este propósito, cuando el sistema incluya un medio para contar las llamadas bloqueadas y las llamadas exitosas, P_b se puede estimar directamente a partir de la proporción de llamadas que están bloqueadas. En su defecto, P_b se puede estimar usando E_c en lugar de E_o en la fórmula de Erlang y la estimación resultante de P_b se puede usar en E_o = E_c/(1 − P_b) para proporcionar una primera estimación de E_o.

Otro método para estimar E_o en un sistema sobrecargado es medir la tasa de llegada de llamadas en horas pico, λ (contando las llamadas exitosas y llamadas bloqueadas), y el tiempo promedio de retención de llamadas (para llamadas exitosas), h, y luego estime E_o usando la fórmula E = λh.

Para una situación en la que el tráfico que se manejará es tráfico completamente nuevo, la única opción es tratar de modelar el comportamiento esperado del usuario. Por ejemplo, se podría estimar la población de usuarios activos, N, el nivel esperado de uso, U (número de llamadas/transacciones por usuario por día), el factor de concentración de horas pico, C (proporción de actividad diaria que caerá en la hora pico), y tiempo promedio de espera/tiempo de servicio, h (expresado en minutos). Una proyección del tráfico ofrecido en horas pico sería entonces E_o = NUC/60h erlangs. (La división por 60 traduce la tasa de llegada de llamadas/transacciones en horas pico a un valor por minuto, para que coincida con las unidades en las que se expresa h).

Fórmula Erlang B

La fórmula Erlang B (o Erlang-B con guión), también conocida como la fórmula de pérdida Erlang, es una fórmula para la probabilidad de bloqueo que describe la probabilidad de pérdida de llamadas para un grupo de recursos paralelos idénticos (líneas telefónicas, circuitos, canales de tráfico o equivalentes), a veces denominada cola M/M/c/c. Se utiliza, por ejemplo, para dimensionar los enlaces de una red telefónica. La fórmula fue derivada por Agner Krarup Erlang y no se limita a las redes telefónicas, ya que describe una probabilidad en un sistema de colas (aunque es un caso especial con una cantidad de servidores pero sin espacio en la cola para que las llamadas entrantes esperen un servidor libre). Por lo tanto, la fórmula también se usa en ciertos sistemas de inventario con pérdida de ventas.

La fórmula se aplica con la condición de que una llamada fallida, porque la línea está ocupada, no se ponga en cola ni se vuelva a intentar, sino que desaparezca para siempre. Se supone que los intentos de llamada llegan siguiendo un proceso de Poisson, por lo que los instantes de llegada de la llamada son independientes. Además, se supone que las longitudes de los mensajes (tiempos de espera) se distribuyen exponencialmente (sistema markoviano), aunque resulta que la fórmula se aplica bajo distribuciones generales de tiempo de espera.

La fórmula de Erlang B asume una población infinita de fuentes (como suscriptores telefónicos), que ofrecen conjuntamente tráfico a N servidores (como líneas telefónicas). La tasa que expresa la frecuencia con la que llegan nuevas llamadas, λ, (tasa de natalidad, intensidad de tráfico, etc.) es constante, y no depende del número de fuentes activas. Se supone que el número total de fuentes es infinito. La fórmula de Erlang B calcula la probabilidad de bloqueo de un sistema de pérdida sin búfer, donde una solicitud que no se atiende de inmediato se aborta, lo que hace que ninguna solicitud se ponga en cola. El bloqueo se produce cuando llega una nueva solicitud en un momento en que todos los servidores disponibles están ocupados. La fórmula también supone que el tráfico bloqueado se borra y no vuelve.

La fórmula proporciona el GoS (grado de servicio), que es la probabilidad P_b de que una nueva llamada que llega al grupo de recursos sea rechazada porque todos los recursos (servidores, líneas, circuitos) están ocupados: B(E, m) donde E es el tráfico total ofrecido en erlang, ofrecido a m recursos paralelos idénticos (servidores, canales de comunicación, carriles de tráfico).

P_{b}=B(E,m)={frac {{frac {E^{m}}{m!}}}{sum _{{i=0}}^{m}{frac {E^{i}}{i!}}}}

donde:

$P_{b}$ es la probabilidad de bloqueo
m es el número de recursos paralelos idénticos como servidores, líneas telefónicas, etc.
E = λh es la carga normalizada del ingreso (tratamiento apagado declarado en erlang).

Nota: erlang es una unidad de carga adimensional calculada como la tasa media de llegada, λ, multiplicada por el tiempo medio de retención de llamadas, h. Consulte la ley de Little para probar que la unidad erlang tiene que ser adimensional para que la ley de Little sea dimensionalmente sana.

Esto se puede expresar recursivamente de la siguiente manera, en una forma que se utiliza para simplificar el cálculo de tablas de la fórmula Erlang B:

B(E,0)=1.,

B(E,j)={frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}} forall {j}=1,2,ldotsm.

Normalmente, en lugar de B(E, m) la inversa 1/B( E, m) se calcula en computación numérica para garantizar la estabilidad numérica:

{frac {1}{B(E,0)}}=1

{frac {1}{B(E,j)}}=1+{frac {j}{E}}{frac {1}{B(E,j-1)}} forall {j}=1,2,ldotsm.

Función ErlangB ()E As Doble, m As Integer) As Doble Dim InvB As Doble Dim j As Integer InvB = 1.0 Para j = 1 A m InvB = 1.0 + InvB * j / E  Siguiente j ErlangB = 1.0 / InvBFinal Función

o una versión de Python

def erlang_b()E, m): inv_b = 1.0 para j dentro rango()1,m+1): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E retorno 1.0 / inv_b

La fórmula de Erlang B es decreciente y convexa en m. Requiere que las llegadas de llamadas se puedan modelar mediante un proceso de Poisson, que no siempre es una buena coincidencia, pero es válido para cualquier distribución estadística de tiempos de espera de llamadas con una media finita. Se aplica a los sistemas de transmisión de tráfico que no amortiguan el tráfico. Ejemplos más modernos en comparación con POTS donde Erlang B todavía es aplicable, son la conmutación de ráfagas ópticas (OBS) y varios enfoques actuales para la conmutación de paquetes ópticos (OPS). Erlang B se desarrolló como una herramienta de dimensionamiento de troncales para redes telefónicas con tiempos de espera en el rango de minutos, pero al ser una ecuación matemática, se aplica en cualquier escala de tiempo.

Erlang B extendida

(feminine)

Extended Erlang B difiere de las suposiciones clásicas de Erlang-B permitiendo que una proporción de los calladores bloqueados vuelva a intentarlo, causando un aumento en el tráfico ofrecido desde el nivel de base inicial. Es un cálculo iterativo en lugar de una fórmula y añade un parámetro extra, el factor de memoria $R_{f}$ , que define los intentos de revocación.

Los pasos del proceso son los siguientes. Empieza en iteración $k=0$ con un nivel inicial de referencia conocido de tráfico $E_{0}$ , que se ajusta sucesivamente para calcular una secuencia de nuevos valores de tráfico ofrecidos ${displaystyle E_{k+1}}$ , cada uno de los cuales representa las memorias derivadas del tráfico ofrecido anteriormente calculado $E_{k}$ .

1. Calcule la probabilidad de que una persona que llama sea bloqueada en su primer intento

{displaystyle P_{b}=B(E_{k},m),}

como arriba para Erlang B.

2. Calcular el número probable de llamadas bloqueadas

{displaystyle B_{e}=E_{k}P_{b},}

3. Calcular el número de memorias, $R$ , asumiendo un factor de recuerdo fijo, $R_{f}$ ,

R=B_{e}R_{f},

4. Calcular el nuevo tráfico ofrecido

{displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R,}

Donde $E_{0}$ es el nivel inicial (baseline) de tráfico.

5. Volver al paso 1, sustitución ${displaystyle E_{k+1}}$ para $E_{k}$ , e iterate hasta un valor estable $E$ se obtiene.

Una vez un valor satisfactorio $E$ ha sido encontrado, la probabilidad de bloqueo $P_{b}$ y el factor de revocación se puede utilizar para calcular la probabilidad de que todos los intentos de un callador se pierdan, no sólo su primera llamada, sino también cualquier otra repetición posterior.

Fórmula Erlang C

El fórmula Erlang C expresa la probabilidad de que un cliente que llega necesite colarse (en lugar de ser servido inmediatamente). Al igual que la fórmula Erlang B, Erlang C asume una población infinita de fuentes, que ofrecen conjuntamente el tráfico de $E$ erlangs to $m$ servidores. Sin embargo, si todos los servidores están ocupados cuando una solicitud llega de una fuente, la solicitud es solicitada. Un número ilimitado de solicitudes pueden realizarse simultáneamente en la cola. Esta fórmula calcula la probabilidad de apagar el tráfico ofrecido, asumiendo que las llamadas bloqueadas permanezcan en el sistema hasta que puedan ser manejadas. Esta fórmula se utiliza para determinar el número de agentes o representantes de servicio al cliente necesarios para el personal de un centro de llamadas, para una probabilidad deseada especificada de apagado. Sin embargo, la fórmula Erlang C supone que los calladores nunca cuelgan mientras están en cola, lo que hace que la fórmula predice que más agentes deben ser utilizados que realmente se necesitan para mantener un nivel de servicio deseado.

{displaystyle P_{w}={{{frac {E^{m}}{m!}}{frac {m}{m-E}}} over left(sum limits _{i=0}^{m-1}{frac {E^{i}}{i!}}right)+{frac {E^{m}}{m!}}{frac {m}{m-E}}},}

donde:

$E$ es el tráfico total ofrecido en unidades de erlangs
$m$ es el número de servidores
$P_{w}$ es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar el servicio.

Se supone que las llegadas de llamadas se pueden modelar mediante un proceso de Poisson y que los tiempos de espera de las llamadas se describen mediante una distribución exponencial.

En Excel, puede escribir la fórmula de Erlang C como =POISSON.DIST(m,E,FALSE)/(POISSON.DIST(m,E,FALSE)+(1-E/m)*POISSON.DIST(m-1,E,VERDADERO)).

Limitaciones de la fórmula de Erlang

Cuando Erlang desarrolló las ecuaciones de tráfico Erlang-B y Erlang-C, se desarrollaron sobre un conjunto de suposiciones. Estas suposiciones son precisas en la mayoría de las condiciones; sin embargo, en el caso de una congestión de tráfico extremadamente alta, las ecuaciones de Erlang no logran predecir con precisión el número correcto de circuitos requeridos debido al tráfico entrante. Esto se denomina un sistema de pérdidas elevadas, en el que la congestión genera más congestión en las horas punta. En tales casos, primero es necesario que muchos circuitos adicionales estén disponibles para poder aliviar la gran pérdida. Una vez que se haya tomado esta medida, la congestión volverá a niveles razonables y las ecuaciones de Erlang se pueden usar para determinar exactamente cuántos circuitos se requieren realmente.

Un ejemplo de una instancia que haría que se desarrollara un sistema de pérdidas elevadas sería si un anuncio televisivo anunciara un número de teléfono particular para llamar en un momento específico. En este caso, un gran número de personas llamarían simultáneamente al número proporcionado. Si el proveedor de servicios no hubiera atendido este repentino pico de demanda, se desarrollará una congestión de tráfico extrema y no se podrán utilizar las ecuaciones de Erlang.

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