Ergodicidad

En matemáticas, la ergodicidad expresa la idea de que un punto de un sistema en movimiento, ya sea un sistema dinámico o un proceso estocástico, visitará eventualmente todas las partes del espacio en el que se mueve el sistema, en un sentido uniforme y aleatorio. Esto implica que el comportamiento promedio del sistema puede deducirse de la trayectoria de un punto "típico". De manera equivalente, una colección suficientemente grande de muestras aleatorias de un proceso puede representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso. La ergodicidad es una propiedad del sistema; es una afirmación de que el sistema no puede reducirse o factorizarse en componentes más pequeños. La teoría ergódica es el estudio de los sistemas que poseen ergodicidad.

Los sistemas ergódicos se dan en una amplia gama de sistemas en física y geometría. Esto puede entenderse, en líneas generales, como resultado de un fenómeno común: el movimiento de las partículas, es decir, las geodésicas en una variedad hiperbólica, son divergentes; cuando esa variedad es compacta, es decir, de tamaño finito, esas órbitas regresan a la misma área general, y finalmente llenan todo el espacio.

Los sistemas ergódicos captan las nociones cotidianas y de sentido común de aleatoriedad, de modo que el humo puede llenar toda una habitación llena de humo, o que un bloque de metal puede llegar a tener la misma temperatura en todas partes, o que al lanzar una moneda al aire puede salir cara o cruz la mitad de las veces. Un concepto más fuerte que la ergodicidad es el de mezcla, que pretende describir matemáticamente las nociones de sentido común de mezcla, como mezclar bebidas o mezclar ingredientes para cocinar.

La formulación matemática adecuada de la ergodicidad se basa en las definiciones formales de la teoría de la medida y de los sistemas dinámicos, y más concretamente en la noción de un sistema dinámico que preserva la medida. Los orígenes de la ergodicidad se encuentran en la física estadística, donde Ludwig Boltzmann formuló la hipótesis ergódica.

La ergodicidad se da en muchos ámbitos de la física y las matemáticas. Todos estos ámbitos están unificados por una descripción matemática común, la del sistema dinámico que preserva la medida. De manera equivalente, la ergodicidad puede entenderse en términos de procesos estocásticos. Son uno y lo mismo, a pesar de que se utilicen notaciones y lenguajes radicalmente diferentes.

La definición matemática de ergodicidad pretende captar ideas ordinarias de cada día sobre el azar. Esto incluye ideas sobre sistemas que se mueven de tal manera que (aún) llenan todo el espacio, como la difusión y el movimiento marroniano, así como nociones de mezcla de sentido común, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, mezcla de procesos industriales, humo en una habitación llena de humo, el polvo en los anillos de Saturno y así sucesivamente. Para proporcionar un pie matemático sólido, las descripciones de los sistemas ergonódicos comienzan con la definición de un sistema dinámico de observación de medidas. Esto está escrito como ${\displaystyle (X,{\mathcal {A},\muT). }$

El set ${\displaystyle X}$ se entiende que es el espacio total a llenar: el tazón de mezcla, la habitación llena de humo, etc. La medida ${\displaystyle \mu }$ se entiende para definir el volumen natural del espacio ${\displaystyle X}$ y de sus subespacios. La colección de subespacios es denotada por ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, y el tamaño de cualquier subconjunto dado ${\displaystyle A\subset X}$ es ${\displaystyle \mu (A)}$; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginar ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser el conjunto de poder ${\displaystyle X}$; esto no funciona bien, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (famosamente, la paradoja Banach-Tarski). Así, convencionalmente, ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ consiste en los subconjuntos mensurables: los subconjuntos que tienen un volumen. Siempre se toma como un conjunto Borel: la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones, uniones y conjuntos de conjuntos abiertos; siempre se pueden tomar para ser mensurables.

La evolución del tiempo del sistema es descrita por un mapa ${\displaystyle T:X\to X}$. Dado un subconjunto ${\displaystyle A\subset X}$, su mapa ${\displaystyle T(A)}$ será en general una versión deformada ${\displaystyle A}$ – es aplastado o estirado, doblado o cortado en pedazos. Los ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de herradura, ambos inspirados en la elaboración del pan. El set ${\displaystyle T(A)}$ debe tener el mismo volumen ${\displaystyle A}$; el despilfarro / estiramiento no altera el volumen del espacio, sólo su distribución. Tal sistema es "measure-preserving" (area-preserving, volume-preserving).

Una dificultad formal surge cuando se trata de reconciliar el volumen de conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo un mapa. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden mapear hasta el mismo punto de su alcance; es decir, puede haber ${\displaystyle x\neq y}$ con ${\displaystyle T(x)=T(y)}$. Peor, un solo punto ${\displaystyle x\in X}$ no tiene tamaño. Estas dificultades se pueden evitar trabajando con el mapa inverso ${\displaystyle ¿Qué?$; mapa de cualquier subconjunto dado ${\displaystyle A\subset X}$ a las partes que fueron montadas para hacerlo: estas partes son ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}$. Tiene la propiedad importante de no perder el rastro de donde vinieron las cosas. Más fuertemente, tiene la propiedad importante que cualquiera (preservación de medidas) mapa ${\displaystyle {\Mathcal {\fnK} {\fnMithcal}} {\fnh} {\fnK}} {\fn}}$ es el inverso de algún mapa ${\displaystyle X\to X}$. La definición adecuada de un mapa reservador de volumen es para el cual ${\displaystyle \mu (A)=\mu {\mhord {\left(T^{-1}(A)\right)}}}$ porque ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ describe todas las piezas que ${\displaystyle A}$ vino de.

Uno ahora está interesado en estudiar la evolución del tiempo del sistema. Si un conjunto ${\displaystyle A\in {\fn}$ eventualmente viene a llenar todo ${\displaystyle X}$ durante un largo período de tiempo (es decir, si ${\displaystyle T^{n}(A)}$ de todos los ${\displaystyle X}$ para grandes ${\displaystyle n}$Se dice que el sistema es ergonódico. Si cada juego ${\displaystyle A}$ se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador, situado en contraste con un sistema disipante, donde algunos subconjuntos ${\displaystyle A}$ vagabunda, nunca para ser devuelto. Un ejemplo sería el agua corriendo cuesta abajo: una vez que se agota, nunca volverá a subir. Sin embargo, el lago que se forma en la parte inferior de este río puede ser bien mezclado. El teorema de descomposición ergonódica establece que cada sistema ergodic puede dividirse en dos partes: la parte conservadora, y la parte disipante.

La mezcla es una declaración más fuerte que la ergodicidad. Mezcla pide que esta propiedad ergondica se mantenga entre los dos conjuntos ${\displaystyle A,B}$, y no sólo entre un conjunto ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle X}$. Es decir, dados dos conjuntos ${\displaystyle A,B\in {\cH00}$, se dice que un sistema se mezcla (topológicamente) si hay un entero ${\displaystyle N}$ tal que, para todos ${\displaystyle A,B}$ y ${\displaystyle n confiadoN}$, uno tiene eso ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. Aquí, ${\displaystyle \cap }$ denotes set intersection and ${\displaystyle \varnothing }$ es el set vacío. Otras nociones de mezcla incluyen mezcla fuerte y débil, que describen la noción de que las sustancias mixtas se mezclan en todas partes, en igual proporción. Esto puede ser no-trivial, como experiencia práctica de tratar de mezclar las sustancias pegajosas y gooey muestra.

La discusión anterior apela a un sentido físico de volumen. El volumen no tiene que ser literalmente una porción de espacio 3D; puede ser un volumen abstracto. Este es generalmente el caso en los sistemas estadísticos, donde el volumen (la medida) está dado por la probabilidad. El volumen total corresponde a la probabilidad uno. Esta correspondencia funciona porque los axiomas de la teoría de la probabilidad son idénticos a los de la teoría de la medida; estos son los axiomas de Kolmogorov.

La idea de un volumen puede ser muy abstracta. Considere, por ejemplo, el conjunto de todos los posibles clips de monedas: el conjunto de infinitas secuencias de cabezas y colas. Asignando el volumen de 1 a este espacio, está claro que la mitad de estas secuencias comienzan con cabezas, y la mitad comienzan con colas. Uno puede rebanar este volumen de otras maneras: uno puede decir "No me importa lo primero ${\displaystyle n-1}$ monedas, pero quiero la ${\displaystyle n}$"de ellos ser cabezas, y luego no me importa lo que venga después de eso". Esto puede ser escrito como el conjunto ${\displaystyle (*,\cdots*,h,*,\cdots)}$ Donde ${\displaystyle *}$ es "no importa" y ${\displaystyle h}$ es "cabezas". El volumen de este espacio es otra vez la mitad.

Lo anterior es suficiente para construir un sistema dinámico de observación de medidas, en su totalidad. Los conjuntos de ${\displaystyle h}$ o ${\displaystyle t}$ en el ${\displaystyle n}$El lugar se llama juego de cilindros. El conjunto de todas las intersecciones posibles, sindicatos y complementos de los conjuntos de cilindros forman el conjunto Borel ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ definido arriba. En términos formales, el cilindro establece la base para una topología en el espacio ${\displaystyle X}$ de todas las posibles monedas de longitud infinita. La medida ${\displaystyle \mu }$ tiene todas las propiedades de sentido común que uno podría esperar: la medida de un cilindro con ${\displaystyle h}$ en el ${\displaystyle m}$'la posición, y ${\displaystyle t}$ en el ${\displaystyle k}$'la posición es obviamente 1/4, y así sucesivamente. Estas propiedades de sentido común persisten para el ajuste y la unión de conjuntos: todo excepto para ${\displaystyle h}$ y ${\displaystyle t}$ en lugares ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle k}$ obviamente tiene el volumen de 3/4. Todos juntos, estos forman los axiomas de una medida sigma-additiva; sistemas dinámicos conservadores de medidas siempre utilizan medidas sigma-additivas. Para volteretas de monedas, esta medida se llama la medida Bernoulli.

Para el proceso de cambio de monedas, el operador de tiempo-evolución ${\displaystyle T}$ es el operador de cambio que dice "hacia atrás el primer clip de monedas, y mantener el resto". Formalmente, si ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots)}$ es una secuencia de clips de monedas, entonces ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots)=(x_{2},x_{3},\cdots)}$. La medida es obviamente invariable: mientras estemos hablando de un conjunto ${\displaystyle A\in {\fn}$ donde la primera moneda-flip ${\displaystyle x_{1}=*$ es el valor "no importa" y luego el volumen ${\displaystyle \mu (A)}$ no cambia: ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A)}$. Para evitar hablar de la primera moneda-flip, es más fácil definir ${\displaystyle T^{-1}$ como insertar un valor "no importa" en la primera posición: ${\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots)=(*,x_{1},x_{2},\cdots)}$. Con esta definición, uno obviamente tiene eso ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}=\mu (A)}$ sin limitaciones ${\displaystyle A}$. Este es otro ejemplo de por qué ${\displaystyle T^{-1}$ se utiliza en las definiciones formales.

El desarrollo anterior toma un proceso aleatorio, el proceso de Bernoulli, y lo convierte en un sistema dinámico de observación de medidas ${\displaystyle (X,{\mathcal {A},\muT). }$ La misma conversión (equivalencia, isomorfismo) se puede aplicar a cualquier proceso estocástico. Así, una definición informal de ergodicidad es que una secuencia es ergodica si visita todo ${\displaystyle X}$; tales secuencias son "típicas" para el proceso. Otro es que sus propiedades estadísticas pueden deducirse de una muestra única, lo suficientemente larga y aleatoria del proceso (por ejemplo, muestreando uniformemente todo ${\displaystyle X}$), o que cualquier colección de muestras aleatorias de un proceso debe representar las propiedades estadísticas promedios de todo el proceso (es decir, muestras extraídas uniformemente de un proceso ${\displaystyle X}$ son representantes de ${\displaystyle X}$ como un todo.) En el ejemplo actual, una secuencia de volteretas de monedas, donde la mitad son cabezas, y la mitad son colas, es una secuencia "típica".

Hay varios puntos importantes sobre el proceso de Bernoulli. Si uno escribe 0 para colas y 1 para cabezas, uno obtiene el conjunto de todas las cadenas infinitas de dígitos binarios. Estos corresponden a la expansión base-dos de números reales. Explícitamente, dada una secuencia ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots)}$, el número real correspondiente es

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}{\infty {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\cH}}}} {\cH}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

La afirmación de que el proceso de Bernoulli es ergodic equivale a la afirmación de que los números reales se distribuyen uniformemente. El conjunto de todas estas cuerdas se puede escribir de diversas maneras: ${\displaystyle \{h,t\}{\infty }=\{h,t\}{\omega }=\{0,1\}{\omega }=2^{\omega ♪=2^{\mathbb .$ Este conjunto es el conjunto Cantor, a veces llamado espacio Cantor para evitar confusión con la función Cantor

${\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}{\infty }{\frac {x_{n}{3^ {n}}}$

Al final, todo es "lo mismo".

El conjunto de Cantor desempeña un papel fundamental en muchas ramas de las matemáticas. En las matemáticas recreativas, sustenta los fractales de duplicación de período; en el análisis, aparece en una amplia variedad de teoremas. Uno de los más importantes para los procesos estocásticos es la descomposición de Wold, que establece que cualquier proceso estacionario puede descomponerse en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de promedio móvil.

El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que todo proceso estocástico estacionario es equivalente a un esquema de Bernoulli (un proceso de Bernoulli con un dado de juego de N lados (y posiblemente injusto)). Otros resultados incluyen que todo sistema ergódico no disipativo es equivalente al odómetro de Markov, a veces llamado una "máquina de sumar" porque parece una suma de escuela primaria, es decir, tomar una secuencia de dígitos de base N, sumar uno y propagar los bits de acarreo. La prueba de equivalencia es muy abstracta; comprender el resultado no lo es: al sumar uno en cada paso de tiempo, se visita cada estado posible del odómetro, hasta que se da vuelta y comienza de nuevo. Del mismo modo, los sistemas ergódicos visitan cada estado, de manera uniforme, pasando al siguiente, hasta que todos han sido visitados.

Los sistemas que generan secuencias (infinitas) de N letras se estudian mediante dinámica simbólica. Entre los casos especiales importantes se incluyen los subdesplazamientos de tipo finito y los sistemas sóficos.

Se cree comúnmente que el término ergódico deriva de las palabras griegas ἔργον (ergon: "trabajo") y ὁδός (hodos: "camino", "vía"), elegidas por Ludwig Boltzmann mientras trabajaba en un problema de mecánica estadística. Al mismo tiempo, también se afirma que es una derivación de ergomonode, acuñado por Boltzmann en un artículo relativamente oscuro de 1884. La etimología parece ser controvertida también de otras maneras.

La idea de ergodicidad nació en el campo de la termodinámica, donde era necesario relacionar los estados individuales de las moléculas de un gas con la temperatura de un gas en su conjunto y su evolución temporal. Para ello, era necesario establecer qué significa exactamente que los gases se mezclen bien entre sí, de modo que el equilibrio termodinámico pudiera definirse con rigor matemático. Una vez que la teoría estuvo bien desarrollada en física, se formalizó y amplió rápidamente, de modo que la teoría ergódica ha sido durante mucho tiempo un área independiente de las matemáticas en sí misma. Como parte de esa progresión, coexisten más de una definición ligeramente diferente de ergodicidad y multitud de interpretaciones del concepto en diferentes campos.

Por ejemplo, en física clásica el término implica que un sistema satisface la hipótesis ergódica de la termodinámica, siendo el espacio de estados relevante el espacio de posición y el espacio de momento.

En la teoría de sistemas dinámicos, el espacio de estados se considera generalmente como un espacio de fases más general. Por otra parte, en la teoría de la codificación, el espacio de estados suele ser discreto tanto en el tiempo como en el estado, con una estructura concomitante menor. En todos esos campos, las ideas de promedio temporal y promedio de conjunto también pueden conllevar un bagaje adicional, como es el caso de las muchas posibles funciones de partición termodinámicamente relevantes que se utilizan para definir promedios de conjunto en física. Como tal, la formalización teórica de la medida del concepto también sirve como una disciplina unificadora. En 1913, Michel Plancherel demostró la estricta imposibilidad de la ergodicidad para un sistema puramente mecánico.

A continuación se presenta una revisión de la ergodicidad en física y en geometría. En todos los casos, la noción de ergodicidad es exactamente la misma que para los sistemas dinámicos; no hay diferencias, excepto en la perspectiva, la notación, el estilo de pensamiento y las revistas donde se publican los resultados.

Los sistemas físicos se pueden dividir en tres categorías: mecánica clásica, que describe máquinas con un número finito de partes móviles, mecánica cuántica, que describe la estructura de los átomos, y mecánica estadística, que describe gases, líquidos y sólidos; esto incluye la física de la materia condensada. Estas se presentan a continuación.

Esta sección revisa la ergodicidad en la mecánica estadística. La definición abstracta de un volumen se requiere como el marco adecuado para las definiciones de ergodicidad en la física. Considere un contenedor de líquido, gas o plasma u otra colección de átomos o partículas. Cada partícula y cada una ${\displaystyle x_{i}}$ tiene una posición 3D, y una velocidad 3D, y por lo tanto se describe por seis números: un punto en el espacio seis-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}$ Si hay ${\displaystyle N}$ de estas partículas en el sistema, una descripción completa requiere ${\displaystyle 6N}$ números. Cualquier sistema es sólo un punto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}$ El sistema físico no es todo ${\displaystyle \mathbb {R} {6N}}$, por supuesto; si es una caja de ancho, altura y longitud ${\displaystyle W\times H\times L}$ entonces un punto está en ${\displaystyle \left(W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3}\right)} {N}$ Tampoco pueden ser infinitas las velocidades: son escaladas por alguna medida de probabilidad, por ejemplo la medida Boltzmann-Gibs para un gas. No obstante, ${\displaystyle N}$ cerca del número de Avogadro, este es obviamente un espacio muy grande. Este espacio se llama el conjunto canónico.

Se dice que un sistema físico es ergonódico si algún punto representativo del sistema eventualmente llega a visitar todo el volumen del sistema. Para el ejemplo anterior, esto implica que cualquier átomo dado no sólo visita cada parte de la caja ${\displaystyle W\times H\times L}$ con probabilidad uniforme, pero lo hace con toda velocidad posible, con probabilidad dada por la distribución Boltzmann para esa velocidad (así, uniforme con respecto a esa medida). La hipótesis ergodic indica que los sistemas físicos son ergodic. Múltiples escalas de tiempo están en funcionamiento: los gases y los líquidos parecen ser ergonódicos a corto plazo. La ergodicidad en un sólido se puede ver en términos de modos vibratorios o fonones, ya que obviamente los átomos en un sólido no intercambian lugares. Los vidrios presentan un reto a la hipótesis ergondica; se supone que las escalas de tiempo están en los millones de años, pero los resultados son contenciosos. Las gafas de giro presentan dificultades particulares.

Es difícil encontrar pruebas matemáticas formales de ergodicidad en física estadística; se supone que la mayoría de los sistemas de muchos cuerpos de alta dimensión son ergódicos, sin prueba matemática. Las excepciones incluyen el billar dinámico, que modela colisiones de átomos de tipo bola de billar en un gas ideal o plasma. El primer teorema de ergodicidad de esfera dura fue para el billar de Sinai, que considera dos bolas, una de ellas considerada estacionaria, en el origen. Cuando la segunda bola choca, se aleja; aplicando condiciones de contorno periódicas, vuelve a chocar de nuevo. Apelando a la homogeneidad, este retorno de la "segunda" bola puede en cambio considerarse "simplemente otro átomo" que ha llegado a su alcance y se está moviendo para colisionar con el átomo en el origen (que puede tomarse como simplemente "cualquier otro átomo"). Esta es una de las pocas pruebas formales que existen; no hay afirmaciones equivalentes, por ejemplo, para los átomos en un líquido que interactúan a través de fuerzas de van der Waals, incluso si fuera de sentido común creer que tales sistemas son ergódicos (y se mezclan). Sin embargo, se pueden hacer argumentos físicos más precisos.

El estudio formal de la ergodicidad puede abordarse examinando sistemas dinámicos bastante simples. Algunos de los principales se enumeran aquí.

La rotación irracional de un círculo es ergodic: la órbita de un punto es tal que eventualmente, cada otro punto en el círculo es visitado. Tales rotaciones son un caso especial del mapa de intercambio de intervalos. Las expansiones beta de un número son ergodic: las expansiones beta de un número real no se hacen en base-N, pero en base-${\displaystyle \beta }$ para algunos ${\displaystyle \beta.}$ La versión reflejada de la expansión beta es el mapa de tiendas; hay una variedad de otros mapas ergonódicos del intervalo de unidad. Moviéndose a dos dimensiones, los billares aritméticos con ángulos irracionales son ergonódicos. También se puede tomar un rectángulo plano, aplastarlo, cortarlo y reensamblarlo; este es el mapa del panadero mencionado anteriormente. Sus puntos pueden ser descritos por el conjunto de cuerdas biinfinitas en dos letras, es decir, extendiéndose a la izquierda y a la derecha; como tal, parece dos copias del proceso de Bernoulli. Si uno deforma lateralmente durante el escaneo, uno obtiene el mapa del gato de Arnold. En la mayoría de los aspectos, el mapa del gato es prototípico de cualquier otra transformación similar.

La ergodicidad es un fenómeno muy extendido en el estudio de las variedades simplécticas y las variedades riemannianas. Las variedades simplécticas proporcionan el marco generalizado para la mecánica clásica, donde el movimiento de un sistema mecánico se describe mediante una geodésica. Las variedades riemannianas son un caso especial: el fibrado cotangente de una variedad riemanniana es siempre una variedad simpléctica. En particular, las geodésicas de una variedad riemanniana se dan mediante la solución de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi.

El flujo geodésico de un toro plano que sigue cualquier dirección irracional es ergódico; informalmente esto significa que al dibujar una línea recta en un cuadrado que comienza en cualquier punto y forma un ángulo irracional con respecto a los lados, si cada vez que se encuentra un lado se comienza de nuevo en el lado opuesto con el mismo ángulo, la línea eventualmente se encontrará con cada subconjunto de medida positiva. De manera más general, en cualquier superficie plana hay muchas direcciones ergódicas para el flujo geodésico.

Para superficies no planas, se tiene que el flujo geodésico de cualquier superficie de Riemann compacta con curvatura negativa es ergódico. Una superficie es "compacta" en el sentido de que tiene un área superficial finita. El flujo geodésico es una generalización de la idea de moverse en una "línea recta" sobre una superficie curva: tales líneas rectas son geodésicas. Uno de los primeros casos estudiados es el billar de Hadamard, que describe geodésicas sobre la superficie de Bolza, topológicamente equivalente a una rosquilla con dos agujeros. La ergodicidad se puede demostrar informalmente, si uno tiene un marcador y algún ejemplo razonable de una rosquilla con dos agujeros: comenzando en cualquier lugar, en cualquier dirección, uno intenta dibujar una línea recta; las reglas son útiles para esto. No se necesita mucho tiempo para descubrir que uno no está regresando al punto de partida. (Por supuesto, un dibujo torcido también puede explicar esto; por eso tenemos pruebas).

Estos resultados se extienden a dimensiones superiores. El flujo geodésico para los manifolds compactos de Riemann es ergodic. Un ejemplo clásico para esto es el flujo de Anosov, que es el flujo de horociclo en un manifold hiperbólico. Esto se puede ver como una especie de fibra de Hopf. Estos flujos ocurren comúnmente en la mecánica clásica, que es el estudio en la física de la maquinaria de movimiento finito-dimensional, por ejemplo el péndulo doble y tan-forth. La mecánica clásica está construida sobre manifolds simplécticos. Los flujos sobre estos sistemas pueden ser deconstruidos en manifolds estables e inestables; como regla general, cuando esto es posible, los resultados de movimiento caótico. Que esto es genérico se puede ver notando que el paquete cotangente de un manifold Riemanniano es (siempre) un manifold simpléctico; el flujo geodésico es dado por una solución a las ecuaciones Hamilton-Jacobi para este múltiple. En términos de las coordenadas canónicas ${\displaystyle (q,p)}$ en el manifold cotangente, el Hamiltonian o energía es dada por

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$

con ${\displaystyle g^{ij}$ el tensor métrico y ${\displaystyle P_{i}$ el impulso. El parecido a la energía cinética ${\displaystyle E={\tfrac {2}mv^{2}$ de una partícula punto difícilmente es accidental; este es el punto completo de llamar tales cosas "energía". En este sentido, el comportamiento caótico con órbitas ergodicas es un fenómeno genérico más o menos en grandes extensiones de geometría.

Se han proporcionado resultados de ergodicidad en superficies de traslación, grupos hiperbólicos y geometría sistólica. Las técnicas incluyen el estudio de flujos ergódicos, la descomposición de Hopf y el teorema de Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. Una clase importante de sistemas son los sistemas Axiom A.

Se han obtenido varios resultados de clasificación y de "anticlasificación". El teorema de isomorfismo de Ornstein también se aplica aquí; nuevamente, establece que la mayoría de estos sistemas son isomorfos a algún esquema de Bernoulli. Esto vincula de manera bastante clara a estos sistemas con la definición de ergodicidad dada para un proceso estocástico, en la sección anterior. Los resultados de anticlasificación establecen que hay más de un número infinito numerable de sistemas dinámicos ergódicos no equivalentes que preservan la medida. Esto quizás no sea del todo una sorpresa, ya que se pueden usar puntos en el conjunto de Cantor para construir sistemas similares pero diferentes. Consulte el sistema dinámico que preserva la medida para obtener un breve resumen de algunos de los resultados de anticlasificación.

En todas las secciones anteriores se ha considerado la ergodictia, ya sea desde el punto de vista de un sistema dinámico medible o desde la noción dual de seguimiento del movimiento de las trayectorias de partículas individuales. Un concepto estrechamente relacionado se da en la mecánica ondulatoria (no lineal). En ella, la interacción resonante permite la mezcla de modos normales, lo que a menudo (pero no siempre) conduce a la termalización final del sistema. Uno de los primeros sistemas que se estudió rigurosamente en este contexto es el problema de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou, una cadena de osciladores débilmente acoplados.

Una interacción resonante es posible siempre que las relaciones de dispersión para el medio ondulatorio permitan que tres o más modos normales se sumen de tal manera que se conserven tanto el momento total como la energía total. Esto permite que la energía concentrada en un modo se filtre hacia otros modos, distribuyendo finalmente esa energía de manera uniforme entre todos los modos que interactúan.

Las interacciones resonantes entre ondas ayudan a comprender la distinción entre el caos de alta dimensión (es decir, la turbulencia) y la termalización. Cuando los modos normales se pueden combinar de modo que la energía y el momento se conserven exactamente, entonces se aplica la teoría de las interacciones resonantes y la energía se propaga a todos los modos que interactúan. Cuando las relaciones de dispersión solo permiten un equilibrio aproximado, se produce turbulencia o movimiento caótico. Los modos turbulentos pueden entonces transferir energía a modos que sí se mezclan, lo que finalmente conduce a la termalización, pero no antes de un intervalo previo de movimiento caótico.

En cuanto a la mecánica cuántica, no hay una definición cuántica universal de la ergodidad o incluso el caos (ver caos cuántico). Sin embargo, hay un teorema de ergodicidad cuántica indicando que el valor de expectativa de un operador converge al promedio clásico microcánico correspondiente en el límite semiclásico ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$. Sin embargo, el teorema no implica que Todos eigenstates del Hamilcioniano cuya contraparte clásica es caótica son características y al azar. Por ejemplo, el teorema de ergodicidad cuántica no excluye la existencia de estados no-ergódicos como cicatrices cuánticas. Además de la cicatrización convencional, hay otros dos tipos de cicatrices cuánticas, que ilustran aún más la ruptura débil-ergodicidad en los sistemas caóticos cuánticos: las cicatrices cuánticas inducidas por la perturbación y muchos cuerpos.

Las medidas ergódicas constituyen uno de los pilares sobre los que se suele hablar de ergodicidad. A continuación se ofrece una definición formal.

Vamos. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B})}$ ser un espacio mensurable. Si ${\displaystyle T}$ es una función mensurable ${\displaystyle X}$ a sí mismo y ${\displaystyle \mu }$ una medida de probabilidad ${\displaystyle (X,{\mathcal {B})}$, entonces un sistema dinámico de conservación de medidas se define como un sistema dinámico para el cual ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}=\mu (A)}$ para todos ${\displaystyle A\in {\fn}$. Tal ${\displaystyle T}$ se dice que preservar ${\displaystyle \mu;}$ equivalentemente, eso ${\displaystyle \mu }$ es ${\displaystyle T}$- invariante.

Una función mensurable ${\displaystyle T}$ se dice que ${\displaystyle \mu }$-ergódico o aquello ${\displaystyle \mu }$ es una medida ergonódica para ${\displaystyle T}$ si ${\displaystyle T}$ preserves ${\displaystyle \mu }$ y la siguiente condición sostiene:

Para cualquier ${\displaystyle A\in {\fn}$ tales que ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ o ${\displaystyle \mu (A)=0}$ o ${\displaystyle \mu (A)=1}$.

En otras palabras, no hay ${\displaystyle T}$- subconjuntos invariantes hasta la medida 0 (con respecto a ${\displaystyle \mu }$).

Algunos autores relajan el requisito de que ${\displaystyle T}$ preserves ${\displaystyle \mu }$ al requisito de que ${\displaystyle T}$ es una transformación no lineal con respecto a ${\displaystyle \mu }$, significa que si ${\displaystyle N}$ es un subconjunto así ${\displaystyle T^{-1}(N)}$ tiene cero medida, entonces lo hace ${\displaystyle T(N)}$.

El ejemplo más simple es cuando ${\displaystyle X}$ es un conjunto finito y ${\displaystyle \mu }$ la medida contable. Entonces una auto-mapa ${\displaystyle X}$ preserves ${\displaystyle \mu }$ si y sólo si es una bijeción, y es ergodic si y sólo si ${\displaystyle T}$ sólo tiene una órbita (es decir, por cada ${\displaystyle x,y\in X}$ existe ${\displaystyle k\in \mathbb {N}$ tales que ${\displaystyle y=T^{k}(x)}$). Por ejemplo, si ${\displaystyle X=\{1,2,\ldotsn}}$ entonces el ciclo ${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$ es ergonódico, pero la permutación ${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ no es (tiene los dos subconjuntos invariantes ${\displaystyle \{1,2\}}$ y ${\displaystyle \{3,4,\ldotsn}$).

La definición dada anteriormente admite las siguientes reformulaciones inmediatas:

• para todos ${\displaystyle A\in {\fn}$ con ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$ tenemos ${\displaystyle \mu (A)=0}$ o ${\displaystyle \mu (A)=1\,}$ (donde) ${\displaystyle \bigtriangleup}$ denota la diferencia simétrica);
• para todos ${\displaystyle A\in {\fn}$ con medida positiva que tenemos ${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$;
• para cada dos juegos ${\displaystyle A,B\in {\cHFF}$ de la medida positiva, existe ${\displaystyle n confía0}$ tales que ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}} {}}}}$;
• Cada función mensurable ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}$ con ${\displaystyle f\circ T=f}$ es constante en un subconjunto de medida completa.

Es importante para las aplicaciones que la condición en la última caracterización se pueda restringir únicamente a funciones integrables al cuadrado:

• Si ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu)}$ y ${\displaystyle f\circ T=f}$ entonces ${\displaystyle f}$ es constante casi por todas partes.

Vamos. ${\displaystyle S.$ ser un conjunto finito y ${\displaystyle X=S^{\Mathbb {Z}$ con ${\displaystyle \mu }$ la medida del producto (cada factor ${\displaystyle S.$ siendo dotado con su medida de contador). Luego el operador de turno ${\displaystyle T}$ definidas por ${\displaystyle T\left(s_{k})_{k\in \mathbb {Z})\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z}}}$ es ${\displaystyle \mu }$-ergódico.

Hay muchas más medidas ergonódicas para el mapa de cambios ${\displaystyle T}$ on ${\displaystyle X}$. Las secuencias periódicas dan medidas de apoyo finito. Más interesante, hay infinitamente soportados que son subhifts de tipo finito.

Vamos. ${\displaystyle X}$ ser el círculo de la unidad ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}\fnMicrosoft Sans$, con su medida de Lebesgue ${\displaystyle \mu }$. Para cualquier ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R}$ la rotación ${\displaystyle X}$ de ángulo ${\displaystyle \theta }$ es dado por ${\displaystyle T_{\theta }(z)=e^{2i\pi \theta }z}$. Si ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Q}$ entonces ${\displaystyle T_{\theta}$ no es ergodic para la medida Lebesgue ya que tiene infinitamente muchas órbitas finitas. Por otro lado, si ${\displaystyle \theta }$ es irracional entonces ${\displaystyle T_{\theta}$ es ergodic.

Vamos. ${\displaystyle X=\Mathbb {R} ^{2}/\Mathbb {Z}$ ser el 2-torus. Entonces cualquier elemento ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z})}$ define una auto-mapa de ${\displaystyle X}$ desde entonces ${\displaystyle g\left(\mathbb {Z} } {2}\right)=\mathbb {Z} }$. Cuando ${\textstyle g=\left {\begin{cc}2 limit1\1\1\end{array}\right)}$ uno obtiene el llamado mapa del gato de Arnold, que es ergodic para la medida Lebesgue en el torus.

Si ${\displaystyle \mu }$ es una medida de probabilidad en un espacio ${\displaystyle X}$ que es ergodic para una transformación ${\displaystyle T}$ el teorema ergodic puntiagudo de G. Birkhoff declara que por cada función mensurable ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}$ y para ${\displaystyle \mu }$- casi todos los puntos ${\displaystyle x\in X}$ el promedio de tiempo en la órbita de ${\displaystyle x}$ converge al promedio espacial de ${\displaystyle f}$. Formally esto significa que $${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}\sum ¿Por qué? - ¿Qué?$$

El teorema ergódico medio de J. von Neumann es una afirmación similar, más débil, sobre las traslaciones medias de funciones integrables al cuadrado.

Una consecuencia inmediata de la definición de ergodicidad es que en un espacio topológico ${\displaystyle X}$Y si ${\displaystyle {\máthcal {B}}$ es el álgebra σ de Borel conjuntos, si ${\displaystyle T}$ es ${\displaystyle \mu }$-ergódico entonces ${\displaystyle \mu }$- casi toda órbita de ${\displaystyle T}$ es denso en el apoyo de ${\displaystyle \mu }$.

Esto no es una equivalencia ya que para una transformación que no es única ergodic, pero para la cual hay una medida ergonódica con soporte completo ${\displaystyle \mu _{0}}$, para cualquier otra medida ergodica ${\displaystyle \mu _{1}}$ la medida ${\textstyle {\frac {1}{2} {\mu _{0}+\mu _{1}}}$ no es ergodic para ${\displaystyle T}$ pero sus órbitas son densas en el soporte. Los ejemplos de gastos se pueden construir con medidas invariantes.

Una transformación ${\displaystyle T}$ de una medida de probabilidad espacio ${\displaystyle (X,\mu)}$ se dice que se mezcla para la medida ${\displaystyle \mu }$ si para cualquier conjunto mensurable ${\displaystyle A,B\subset X}$ las siguientes bodegas: $${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mu\left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B)}$$

Es inmediato que una transformación de mezcla es también ergodic (tomar ${\displaystyle A}$ ser un ${\displaystyle T}$- subconjunto estable y ${\displaystyle B}$ su complemento). El converso no es cierto, por ejemplo, una rotación con ángulo irracional en el círculo (que es ergodic por los ejemplos anteriores) no se está mezclando (para un intervalo suficientemente pequeño sus imágenes sucesivas no se intersecará la mayor parte del tiempo). Los turnos de Bernoulli se están mezclando, y también el mapa del gato de Arnold.

Esta noción de mezcla se llama a veces mezcla fuerte, en lugar de mezcla débil que significa que $${\displaystyle \lim _{n\to - ¿Qué? ¿Por qué?$$

La transformación ${\displaystyle T}$ se dice que correctamente ergodic si no tiene una órbita de medida completa. En el caso discreto esto significa que la medida ${\displaystyle \mu }$ no se apoya en una órbita finita ${\displaystyle T}$.

La definición es esencialmente la misma para sistemas dinámicos continuos que para una sola transformación. Vamos. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B})}$ ser un espacio mensurable y para cada uno ${\displaystyle t\in \mathbb [R] _{+}$, entonces tal sistema es dado por una familia ${\displaystyle T_{t}$ of measurable functions from ${\displaystyle X}$ para sí mismo, para que para cualquier ${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} _{+}$ la relación ${\displaystyle T_{s+t}=T_{s}\circ T_{t}$ sostiene (normalmente también se le pide que el mapa de la órbita de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times X\to X}$ es también mensurable). Si ${\displaystyle \mu }$ es una medida de probabilidad en ${\displaystyle (X,{\mathcal {B})}$ entonces decimos que ${\displaystyle T_{t}$ es ${\displaystyle \mu }$-ergódico o ${\displaystyle \mu }$ es una medida ergonódica para ${\displaystyle T}$ si cada uno ${\displaystyle T_{t}$ preserves ${\displaystyle \mu }$ y la siguiente condición sostiene:

Para cualquier ${\displaystyle A\in {\fn}$, si para todos ${\displaystyle t\in \mathbb [R] _{+}$ tenemos ${\displaystyle T_{t} {-1}(A)\subset A}$ entonces ${\displaystyle \mu (A)=0}$ o ${\displaystyle \mu (A)=1}$.

Como en el caso discreto, el ejemplo más simple es el de una acción transitiva, por ejemplo la acción sobre el círculo dado por ${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z$ es ergodic para la medida Lebesgue.

Un ejemplo con infinitamente muchas órbitas es dado por el flujo a lo largo de una pendiente irracional en el toro: ${\displaystyle X=\Mathbb {S} {1}\times \mathbb {\fnK}$ y ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R}$. Vamos. ${\displaystyle ¿Por qué?$; entonces si ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q}$ Esto es ergonódico para la medida Lebesgue.

Otros ejemplos de flujos ergódicos son:

• Billares en dominios convexos Euclidesanos;
• el flujo geodésico de un manifold Riemanniano curvado negativamente de volumen finito es ergodic (para la medida normalizada del volumen);
• el flujo de horociclo sobre un manifold hiperbólico del volumen finito es ergodic (para la medida normalizada del volumen)

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio métrico compacto que está naturalmente dotado con el álgebra σ de conjuntos Borel. La estructura adicional procedente de la topología permite entonces una teoría mucho más detallada para las transformaciones y medidas ergonódicas en ${\displaystyle X}$.

Una definición alternativa muy poderosa de las medidas ergonódicas se puede dar utilizando la teoría de los espacios de Banach. Medidas de radón ${\displaystyle X}$ forma un espacio de Banach del cual el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {}(X)}$ de las medidas de probabilidad ${\displaystyle X}$ es un subconjunto convexo. Dada una transformación continua ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle X}$ el subconjunto ${\displaystyle {\mathcal {}(X)}{T}$ de ${\displaystyle T}$- medidas invariantes es un subconjunto convexo cerrado, y una medida es ergodic para ${\displaystyle T}$ si y sólo si es un punto extremo de este convexo.

En el escenario anterior se deriva del Teorema Banach-Alaoglu que siempre existe puntos extremos en ${\displaystyle {\mathcal {}(X)}{T}$. Por lo tanto, una transformación de un espacio métrico compacto siempre admite medidas ergonódicas.

En general, una medida invariante no tiene por qué ser ergódica, pero como consecuencia de la teoría de Choquet siempre se puede expresar como el baricentro de una medida de probabilidad en el conjunto de medidas ergódicas. Esto se conoce como la descomposición ergódica de la medida.

En el caso de ${\displaystyle X=\{1,\ldotsn}$ y ${\displaystyle T=(1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ la medida contable no es ergodic. Las medidas ergodicas para ${\displaystyle T}$ las medidas uniformes ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}$ apoyado en los subconjuntos ${\displaystyle \{1,2\}}$ y ${\displaystyle \{3,\ldotsn}$ y todos ${\displaystyle T}$- medida de probabilidad invariable se puede escribir en la forma ${\displaystyle t\mu _{1}+(1-t)\mu _{2}$ para algunos ${\displaystyle t\in [0,1]}$. En particular ${\fnMicroc} {2}{n}\mu} {\fn}\fn}\mu} ¿Qué?$ es la descomposición ergodica de la medida de conteo.

Todo en esta sección transfiere literales a acciones continuas ${\displaystyle \mathbb {R}$ o ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}$ en espacios métricos compactos.

La transformación ${\displaystyle T}$ se dice que único ergodic si hay una medida de probabilidad Borel única ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle X}$ que es ergodic para ${\displaystyle T}$.

En los ejemplos considerados anteriormente, las rotaciones irracionales del círculo son exclusivamente ergódicas; los mapas de desplazamiento no lo son.

Si ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n\geq 1}$ es un proceso estocástico de tiempo discreto en un espacio ${\displaystyle \Omega }$, se dice que es ergonódico si la distribución conjunta de las variables en ${\displaystyle \Omega ^{\mathbb {N}$ es invariante bajo el mapa de cambios ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}\mapsto \left(x_{n+1}\right)_{n\geq 1}$. Este es un caso particular de las nociones discutidas anteriormente.

El caso más simple es el de un proceso independiente e idénticamente distribuido que corresponde al mapa de desplazamientos descrito anteriormente. Otro caso importante es el de una cadena de Markov que se analiza en detalle a continuación.

Una interpretación similar se aplica a los procesos estocásticos de tiempo continuo, aunque la construcción de la estructura mensurable de la acción es más complicada.

Vamos. ${\displaystyle S.$ Sé un conjunto finito. Una cadena de Markov ${\displaystyle S.$ se define por una matriz ${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}$, donde ${\displaystyle P(s_{1},s_{2}}$ es la probabilidad de transición ${\displaystyle S_{1}$ a ${\displaystyle s_{2}$Así que para todos ${\displaystyle s\in S}$ tenemos ${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$. Una medida estacionaria ${\displaystyle P}$ es una medida de probabilidad ${\displaystyle \nu }$ on ${\displaystyle S.$ tales que ${\displaystyle \nu P=\nu }$; eso es ${\textstyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s')=\nu (s)}$ para todos ${\displaystyle s\in S}$.

Usando estos datos podemos definir una medida de probabilidad ${\displaystyle \mu _{\nu }$ en el set ${\displaystyle X=S^{\Mathbb {Z}$ con su producto σ-algebra dando las medidas de los cilindros de la siguiente manera: $${\displaystyle \mu _{\nu }(\cdots \times S\times \{(s_{n},\ldotss_{m}\times S\times \cdots)=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

Stationarity of ${\displaystyle \nu }$ entonces significa que la medida ${\displaystyle \mu _{\nu }$ es invariante bajo el mapa de cambios ${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z})\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in {Z}}$.

La medida ${\displaystyle \mu _{\nu }$ es siempre ergodic para el mapa de cambio si la cadena Markov asociada es irreducible (cualquier estado puede ser alcanzado con probabilidad positiva de cualquier otro estado en un número finito de pasos).

Las hipótesis anteriores implican que hay una medida estacionaria única para la cadena Markov. En términos de la matriz ${\displaystyle P}$ una condición suficiente para esto es que 1 sea un simple eigenvalue de la matriz ${\displaystyle P}$ y todos los demás valores de ${\displaystyle P}$ (en ${\displaystyle \mathbb}$) son de modulus.

Tenga en cuenta que en la teoría de la probabilidad, la cadena de Markov se llama ergódica si, además, cada estado es aperiódico (los momentos en los que la probabilidad de retorno es positiva no son múltiplos de un único entero >1). Esto no es necesario para que la medida invariante sea ergódica; por lo tanto, las nociones de "ergodicidad" para una cadena de Markov y la medida invariante al desplazamiento asociada son diferentes (la de la cadena es estrictamente más fuerte).

Además, el criterio es un "si y sólo si" si todas las clases comunicantes en la cadena son recurrentes y consideramos todas las medidas estacionarias.

Si ${\displaystyle P(s,s')=1/$ para todos ${\displaystyle s,s'\in S}$ entonces la medida estacionaria es la medida contable, la medida ${\displaystyle \mu _{P}$ es el producto de contar medidas. La cadena Markov es ergodic, por lo que el ejemplo de cambio de arriba es un caso especial del criterio.

Las cadenas de Markov con clases comunicativas recurrentes que no son irreducibles no son ergodic, y esto se puede ver inmediatamente como sigue. Si ${\displaystyle S_{1},S_{2}\subsetneq S.$ hay dos clases de comunicación periódicas distintas que no son medidas estacionarias ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}$ apoyados ${\displaystyle S_{1},S_{2}$ respectivamente y los subconjuntos ${\displaystyle S_{1}{\mathbb {Z}$ y ${\displaystyle S_{2} {\Mathbb {Z}$ son ambos invariantes de cambio y de medida 1/2 para la medida de probabilidad invariante ${\fnK} {\fnK} {\fn9}\n9}\n9}}$. Un ejemplo muy simple de eso es la cadena en ${\displaystyle S=\{1,2\}$ dada por la matriz ${\textstyle \left {\begin{cc}1 âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMastyle \left âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa$ (ambos estados son estacionarios).

La cadena Markov en ${\displaystyle S=\{1,2\}$ dada por la matriz ${\textstyle \left {\begin{cc}0 limit1\1}\end{array}\right)}$ es irreducible pero periódico. Así no es ergodic en el sentido de la cadena Markov, aunque la medida asociada ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle {1,2} {\cHFF}$ es ergodic para el mapa de cambios. Sin embargo, el cambio no se mezcla para esta medida, en cuanto a los conjuntos $${\displaystyle A=\cdots \times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\\times 1\times \{1,2\}\cdots }$$

y $${\displaystyle B=\cdots \times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\\times 2\times \{1,2\}\cdots }$$

tenemos ${\textstyle \mu (A)={\frac {1}{2}=\mu (B)}$ pero $${\displaystyle \mu \left(T^{-n}A\cap B\right)={\begin{cases}{\frac {2}{\text{ if }n{ is odd}\0{\0{ if }n{ is even.}}}\end{cases}}}}}}}}}}}}}}}} {\$$

La definición de ergodicidad también tiene sentido para las acciones de grupo. La teoría clásica (para transformaciones invertibles) corresponde a acciones de ${\displaystyle \mathbb {Z}$ o ${\displaystyle \mathbb {R}$.

Para los grupos no abelianos, puede que no haya medidas invariantes ni siquiera en espacios métricos compactos. Sin embargo, la definición de ergodicidad no cambia si se reemplazan las medidas invariantes por medidas cuasi-invariantes.

Un ejemplo importante es la acción de un grupo de Lie semisimple (o una red dentro de él) sobre su límite de Furstenberg.

Se dice que una relación de equivalencia medible es ergódica si todos los subconjuntos saturados son nulos o nulos.

• Walters, Peter (1982). Introducción a la teoría ergondica. Springer. ISBN 0-387-95152-0.
• Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Introducción a sistemas dinámicos. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.

• Karma Dajani y Sjoerd Dirksin, "Una simple introducción a la teoría ergondica"