Equivalencia lógica

En lógica y matemáticas, declaraciones ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ se dice que lógicamente equivalente si tienen el mismo valor de verdad en cada modelo. La equivalencia lógica de ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ a veces se expresa como ${displaystyle pequiv q}$, ${displaystyle p::q}$, ${displaystyle {textosf}pq}$, o ${displaystyle piff q}$, dependiendo de la notación que se utilice. Sin embargo, estos símbolos también se utilizan para la equivalencia material, por lo que la interpretación adecuada dependería del contexto. La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material, aunque los dos conceptos están intrínsecamente relacionados.

Equivalencias lógicas

En lógica, existen muchas equivalencias lógicas comunes y, a menudo, se enumeran como leyes o propiedades. Las siguientes tablas ilustran algunos de estos.

Equivalencias lógicas generales

Equivalencia	Nombre
${displaystyle pwedge top equiv p}$ ${displaystyle pvee bot equiv p}$	Leyes de identidad
${displaystyle pvee top equiv top }$ ${displaystyle pwedge bot equiv bot }$	Domination laws
${displaystyle pvee pequiv p}$ ${displaystyle pwedge pequiv p}$	Idempotent or tautology laws
${displaystyle neg (neg p)equiv p}$	Ley de doble negación
${displaystyle pvee qequiv qvee p}$ ${displaystyle pwedge qequiv qwedge p}$	Derecho mercantil
${displaystyle (pvee q)vee requiv pvee (qvee r)}$ ${displaystyle (pwedge q)wedge requiv pwedge (qwedge r)}$	Leyes asociativas
${displaystyle pvee (qwedge r)equiv (pvee q)wedge (pvee r)}$ ${displaystyle pwedge (qvee r)equiv (pwedge q)vee (pwedge r)}$	Leyes de distribución
${displaystyle neg (pwedge q)equiv neg pvee neg q}$ ${displaystyle neg (pvee q)equiv neg pwedge neg q}$	Leyes de De Morgan
${displaystyle pvee (pwedge q)equiv p}$ ${displaystyle pwedge (pvee q)equiv p}$	Leyes de absorción
${displaystyle pvee neg pequiv top }$ ${displaystyle pwedge neg pequiv bot }$	Negation laws

Equivalencias lógicas que involucran sentencias condicionales

1. ${displaystyle pimplies qequiv neg pvee q}$
2. ${displaystyle pimplies qequiv neg qimplies neg p}$
3. ${displaystyle pvee qequiv neg pimplies q}$
4. ${displaystyle pwedge qequiv neg (pimplies neg q)}$
5. ${displaystyle neg (pimplies q)equiv pwedge neg q}$
6. ${displaystyle (pimplies q)wedge (pimplies r)equiv pimplies (qwedge r)}$
7. ${displaystyle (pimplies q)vee (pimplies r)equiv pimplies (qvee r)}$
8. ${displaystyle (pimplies r)wedge (qimplies r)equiv (pvee q)implies r}$
9. ${displaystyle (pimplies r)vee (qimplies r)equiv (pwedge q)implies r}$

Equivalencias lógicas que involucran bicondicionales

1. ${displaystyle piff qequiv (pimplies q)wedge (qimplies p)}$
2. ${displaystyle piff qequiv neg piff neg q}$
3. ${displaystyle piff qequiv (pwedge q)vee (neg pwedge neg q)}$
4. ${displaystyle neg (piff q)equiv piff neg q}$

Ejemplos

En lógica

Las siguientes declaraciones son lógicamente equivalentes:

1. Si Lisa está en Dinamarca, entonces está en Europa (una declaración de la forma ${displaystyle dimplies e}$).
2. Si Lisa no está en Europa, entonces no está en Dinamarca (una declaración de la forma ${displaystyle neg eimplies neg d}$).

Sintácticamente, (1) y (2) son derivables entre sí a través de las reglas de contraposición y doble negación. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas exactamente en los mismos modelos (interpretaciones, valoraciones); es decir, aquellos en los que Lisa está en Dinamarca es falso o Lisa está en Europa es verdadero.

(Tenga en cuenta que en este ejemplo se asume la lógica clásica. Algunas lógicas no clásicas no consideran que (1) y (2) sean lógicamente equivalentes).

Relación con la equivalencia de materiales

La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material. Fórmulas ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ son lógicamente equivalentes si y sólo si la declaración de su equivalencia material (${displaystyle piff q}$Es una tautología.

La equivalencia material ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ (a menudo escrito como ${displaystyle pleftrightarrow q}$) es en sí misma otra declaración en el mismo lenguaje objeto que ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$. Esta declaración expresa la idea "${displaystyle p}$ si ${displaystyle q}$'. En particular, el valor de la verdad ${displaystyle pleftrightarrow q}$ puede cambiar de un modelo a otro.

Por otra parte, la afirmación de que dos fórmulas son lógicamente equivalentes es una declaración en la sustancia metálica, que expresa una relación entre dos declaraciones ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$. Las declaraciones son lógicamente equivalentes si, en cada modelo, tienen el mismo valor de la verdad.