Equivalencia de ingresos

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La equivalencia de ingresos es un concepto en la teoría de subastas que establece que dadas ciertas condiciones, cualquier mecanismo que produzca los mismos resultados (es decir, asigna artículos a los mismos postores) también tiene los mismos ingresos esperados.

Notación

Hay un conjunto $X$ de resultados posibles.

Hay $norte$ agentes que tienen diferentes valoraciones para cada resultado. La valoración del agente $i$ (también llamado su "tipo") se representa como una función: ${displaystyle v_{i}:Xlongrightarrow R_{geq 0}}$

que expresa el valor que tiene para cada alternativa, en términos monetarios.

Los agentes tienen funciones de utilidad cuasilineales; esto significa que, si el resultado es $X$ y además el agente recibe un pago $Pi}$ (positivo o negativo), entonces la utilidad total del agente $i$ es: ${displaystyle u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}}$

El vector de todas las funciones de valor se denota por $v$ .

Para cada agente $i$ , el vector de todas las funciones de valor de los otros agentes se denota por ${displaystyle v_{-i}}$ . Entonces ${displaystyle vequiv (v_{i},v_{-i})}$ _

Un mecanismo es un par de funciones:

Una ${ Displaystyle Resultado}$ función que toma como entrada el vector de valor $v$ y devuelve un resultado $xen X$ (también se denomina función de elección social);
Una ${displaystyle Pago}$ función que toma como entrada el vector de valor $v$ y devuelve un vector de pagos, ${ estilo de visualización (p_ {1}, puntos, p_ {n})}$ determinando cuánto debe recibir cada jugador (un pago negativo significa que el jugador debe pagar una cantidad positiva).

Los tipos de agentes son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica. Así, un mecanismo induce un juego bayesiano en el que la estrategia de un jugador es su tipo informado en función de su verdadero tipo. Se dice que un mecanismo es compatible con el incentivo Bayesiano-Nash si existe un equilibrio Bayesiano Nash en el que todos los jugadores informan sobre su verdadero tipo.

Declaración

Bajo estos supuestos, el teorema de equivalencia de ingresos dice lo siguiente.

Para cualesquiera dos mecanismos compatibles con incentivos Bayesiano-Nash, si:

La ${ Displaystyle Resultado}$ función es la misma en ambos mecanismos, y:
Para algún tipo ${displaystyle v_{i}^{0}}$ , el pago esperado del jugador $i$ (promediado sobre los tipos de los otros jugadores) es el mismo en ambos mecanismos;
La valoración de cada jugador se extrae de un conjunto conectado por caminos,

después:

Los pagos esperados de todos los tipos son los mismos en ambos mecanismos, y por lo tanto:
El ingreso esperado (-suma de pagos) es el mismo en ambos mecanismos.

Ejemplo

Un ejemplo clásico es el par de mecanismos de subasta: subasta de primer precio y subasta de segundo precio. La subasta de primer precio tiene una variante que es compatible con el incentivo Bayesiano-Nash; La subasta de segundo precio es compatible con incentivos de estrategia dominante, que es incluso más fuerte que el incentivo compatible Bayesiano-Nash. Los dos mecanismos cumplen las condiciones del teorema porque:

La ${ Displaystyle Resultado}$ función es la misma en ambos mecanismos: el mejor postor gana el artículo; y:
Un jugador que valore el ítem como 0 siempre paga 0 en ambos mecanismos.

De hecho, el pago esperado para cada jugador es el mismo en ambas subastas y los ingresos del subastador son los mismos; consulte la página sobre la subasta de oferta sellada al primer precio para obtener más detalles.

Equivalencia de mecanismos de subasta en subastas de un solo artículo

De hecho, podemos usar la equivalencia de ingresos para demostrar que muchos tipos de subastas son equivalentes a los ingresos. Por ejemplo, la subasta de primer precio, la subasta de segundo precio y la subasta de todos los pagos son equivalentes a los ingresos cuando los postores son simétricos (es decir, sus valoraciones son independientes y están distribuidas de manera idéntica).

Subasta a segundo precio

Considere la subasta de un solo artículo de segundo precio, en la que el jugador con la oferta más alta paga la segunda oferta más alta. Es óptimo para cada jugador $i$ ofertar su propio valor $b_{i}=v_{i}$ .

Supongamos $i$ que gana la subasta y paga la segunda oferta más alta, o $max _{{jneq i}}b_{j}$ . Los ingresos de esta subasta son simplemente $max _{{jneq i}}b_{j}$ .

Subasta a primer precio

En la subasta de primer precio, donde el jugador con la oferta más alta simplemente paga su oferta, si todos los jugadores ofertan utilizando una función de oferta, ${displaystyle b(v)=E(max _{jneq i}v_{j}~|~v_{j}leq v~forall ~j),}$ se trata de un equilibrio de Nash.

En otras palabras, si cada jugador puja de tal manera que ofrece el valor esperado de la segunda puja más alta, asumiendo que la suya fue la más alta, entonces ningún jugador tiene ningún incentivo para desviarse. Si esto fuera cierto, entonces es fácil ver que los ingresos esperados de esta subasta también son $max _{{jneq i}}b_{j}$ si $i$ gana la subasta.

Prueba

Para probar esto, supongamos que un jugador 1 apuesta $b(z)$ donde ${ estilo de visualización z <v}$ , fanfarroneando efectivamente de que su valor es $z$ en lugar de $v$ . Queremos encontrar un valor de $z$ tal que se maximice el pago esperado del jugador.

Entonces la probabilidad de ganar es $Pr(max _{{i>1}}v_{i}<z)$ . El costo esperado de esta oferta es $E(max _{{i>1}}v_{i}~|~v_{i}<z~forall ~i)$ . Entonces el pago esperado de un jugador es $Pr(max_{{i>1}}v_{i}<z)(vE(max_{{i>1}}v_{i}~|~v_{i}<z~forall ~i))$

Sea $X=max _{{i>1}}v_{i}$ , una variable aleatoria. Entonces podemos reescribir lo anterior como $Pr(X<z)(vE(X~|Xleq z))$ .

Usando el hecho general de que ${displaystyle E(X~|~Xleq z)cdot Pr(X<z)=int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy}$ , podemos reescribir lo anterior como $Pr(X<z)cdot v-Pr(X<z)cdot z+int _{0}^{z}Pr(X<y)dy$ .

Derivando con respecto a $z$ , obtenemos $Pr(X<z)'(vz)=0Flecha derecha v=z$ .

Por lo tanto, pujar con su valor $v$ maximiza el pago esperado del jugador. Dado que $Pr(X<z)$ es monótono creciente, comprobamos que efectivamente se trata de un punto máximo.

Subasta inglesa

En la subasta abierta de precio ascendente (también conocida como subasta inglesa), la estrategia dominante de un comprador es permanecer en la subasta hasta que el precio solicitado sea igual a su valor. Luego, si es el último que queda en la arena, gana y paga la segunda oferta más alta.

Considere el caso de dos compradores, cada uno con un valor que es un sorteo independiente de una distribución con soporte [0,1], función de distribución acumulativa F(v) y función de densidad de probabilidad f(v). Si los compradores se comportan de acuerdo con sus estrategias dominantes, un comprador con valor v gana si el valor x de su oponente es menor. Por lo tanto, su probabilidad de ganar es $w=Pr{x<v}equiv F(v)$

y su pago esperado es $C(v)=int limits _{{0}}^{{v}}{{}}xf(x)dx$

Por lo tanto, el pago esperado condicionado a ganar es $e(v)={frac {C(v)}{F(v)}}={frac {int limits_{{0}}^{{v}}{{}}xf(x) dx}{F(v)}}$

Multiplicando ambos lados por F(v) y derivando por v se obtiene la siguiente ecuación diferencial para e(v). ${e}'(v)F(v)+e(v)f(v)=vf(v)$ .

Reordenando esta ecuación, ${e}'(v)={frac {f(v)}{F(v)}}(ve(v))$

Sea B(v) la función de oferta de equilibrio en la subasta sellada de primer precio. Establecemos la equivalencia de ingresos demostrando que B(v)=e(v), es decir, el pago de equilibrio del ganador en una subasta es igual al pago esperado de equilibrio del ganador en la otra.

Suponga que un comprador tiene valor v y ofrece b. Su oponente hace una oferta de acuerdo con la estrategia de oferta de equilibrio. El soporte de la distribución de ofertas del oponente es [0,B(1)]. Por lo tanto, cualquier oferta de al menos B(1) gana con probabilidad 1. Por lo tanto, la mejor oferta b se encuentra en el intervalo [0,B(1)] y podemos escribir esta oferta como b = B(x) donde x se encuentra en [0,1]. Si el oponente tiene valor y, él dice B(y). Por lo tanto, la probabilidad de ganar es $w=Pr{b<B(y)}=Pr{B(x)<B(y)}=Pr{x<y}=F(v)$ .

El pago esperado del comprador es su probabilidad de ganar multiplicada por su ganancia neta si gana, es decir, $U=w(vB(x))=F(x)(vB(x))$ .

Derivando, la condición necesaria para un máximo es ${U}'(x)=f(x)(vB(x))-F(x){B}'(x)=F(x)left({frac {f(x)}{F(x)}}(vB(x))-{B}'(x)derecha)=0$ .

Es decir, si B(x) es la mejor respuesta del comprador, debe satisfacer esta condición de primer orden. Finalmente notamos que para que B(v) sea la función de oferta de equilibrio, la mejor respuesta del comprador debe ser B(v). Así x=v. Sustituyendo x en la condición necesaria, ${frac{f(v)}{F(v)}}(vB(v))-{B}'(v)=0$ .

Tenga en cuenta que esta ecuación diferencial es idéntica a la de e(v). Como e(0)=B(0)=0 se sigue que ${ Displaystyle B (v) = e (v)}$ .

Uso de la equivalencia de ingresos para predecir funciones de licitación

Podemos usar la equivalencia de ingresos para predecir la función de oferta de un jugador en un juego. Considere la versión de dos jugadores de la subasta de segundo precio y la subasta de primer precio, donde el valor de cada jugador se extrae uniformemente de $[0,1]$ .

Subasta a segundo precio

El pago esperado del primer jugador en la subasta de segundo precio se puede calcular de la siguiente manera: $E({text{Pago}}~|~{text{Jugador 1 gana}})P({text{Jugador 1 gana}})+E({text{Pago}}~|~{text {Jugador 1 pierde}})P({text{Jugador 1 pierde}})$

Dado que los jugadores pujan con sinceridad en una subasta de segundo precio, podemos reemplazar todos los precios con los valores de los jugadores. Si el jugador 1 gana, paga lo que oferta el jugador 2, o $p_{2}=v_{2}$ . El propio jugador 1 hace una oferta $p_{1}=v_{1}$ . Dado que el pago es cero cuando el jugador 1 pierde, lo anterior es $E(v_{2}~|~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0$

Como $v_{1},v_{2}$ provienen de una distribución uniforme, podemos simplificar esto a ${frac{v_{1}}{2}}cdot v_{1}={frac {v_{1}^{2}}{2}}$

Subasta a primer precio

Podemos usar la equivalencia de ingresos para generar la función de oferta simétrica correcta en la subasta de primer precio. Supongamos que en la subasta de primer precio, cada jugador tiene la función de licitación $b(v)$ , donde esta función se desconoce en este momento.

El pago esperado del jugador 1 en este juego es entonces $E({text{Pago}}~|~{text{Jugador 1 gana}})P({text{Jugador 1 gana}})+E({text{Pago}}~|~{text {Jugador 1 pierde}})P({text{Jugador 1 pierde}})$ (como anteriormente)

Ahora, un jugador simplemente paga lo que ofrece el jugador, y supongamos que los jugadores con valores más altos aún ganan, de modo que la probabilidad de ganar es simplemente el valor de un jugador, como en la subasta del segundo precio. Más adelante mostraremos que esta suposición era correcta. Nuevamente, un jugador no paga nada si pierde la subasta. Entonces obtenemos $b(v_{1})cdot v_{1}+0$

Por el principio de equivalencia de ingresos, podemos equiparar esta expresión con los ingresos de la subasta de segundo precio que calculamos anteriormente: ${displaystyle b(v_{1})cdot v_{1}={frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

A partir de esto, podemos inferir la función de oferta: ${displaystyle b(v_{1})={frac {v_{1}}{2}}}$

Tenga en cuenta que con esta función de oferta, el jugador con el valor más alto aún gana. Podemos demostrar que esta es la función de oferta de equilibrio correcta de una manera adicional, pensando en cómo un jugador debería maximizar su oferta dado que todos los demás jugadores están haciendo ofertas utilizando esta función de oferta. Consulte la página sobre la subasta de oferta sellada al primer precio.

Subastas de pago total

De manera similar, sabemos que el pago esperado del jugador 1 en la subasta de segundo precio es ${frac{v_{1}^{2}}{2}}$ , y este debe ser igual al pago esperado en la subasta de pago total, es decir ${frac{v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})$

Por lo tanto, la función de oferta para cada jugador en la subasta de pago total es ${frac{v^{2}}{2}}$

Trascendencia

Una implicación importante del teorema es que cualquier subasta de un solo artículo que entrega incondicionalmente el artículo al mejor postor tendrá los mismos ingresos esperados. Esto significa que, si queremos aumentar los ingresos del subastador, se debe cambiar la función de resultado. Una forma de hacerlo es establecer un precio de reserva en el artículo. Esto cambia la función Resultado ya que ahora el artículo no siempre se entrega al mejor postor. Al seleccionar cuidadosamente el precio de reserva, un subastador puede obtener un ingreso esperado sustancialmente mayor.

Limitaciones

El teorema de equivalencia de ingresos se rompe en algunos casos importantes:

Cuando los jugadores son adversos al riesgo en lugar de neutrales al riesgo como se supuso anteriormente. En este caso, se sabe que las subastas de primer precio generan más ingresos que las subastas de segundo precio.
Cuando las valoraciones de los jugadores son interdependientes, por ejemplo, si las valoraciones dependen de algún estado del mundo que los postores sólo conocen parcialmente (esto está relacionado con la maldición del ganador). En este escenario, la subasta en inglés genera más ingresos que la subasta de segundo precio, ya que permite que los postores obtengan información de las ofertas de otros jugadores.

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