Equivalencia de categorías

En la teoría de categorías, una rama de las matemáticas abstractas, una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que estas categorías son "esencialmente iguales". Existen numerosos ejemplos de equivalencias categóricas de muchas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas en un nivel superficial o intuitivo, lo que hace que la noción sea bastante poderosa: crea la oportunidad de "traducir" una palabra. teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que el significado esencial de esos teoremas se preserva bajo la traducción.

Si una categoría es equivalente al opuesto (o dual) de otra categoría entonces se habla de una dualidad de categorías, y dice que las dos categorías son doblemente equivalentes.

Una equivalencia de categorías consiste en un funtor entre las categorías involucradas, que debe tener una función "inversa" funtor. Sin embargo, en contraste con la situación común para los isomorfismos en un entorno algebraico, la combinación del functor y su "inverso" no es necesariamente el mapeo de identidad. En cambio, es suficiente que cada objeto sea naturalmente isomorfo a su imagen bajo esta composición. Por tanto, se pueden describir los functores como "inversos hasta el isomorfismo". De hecho, existe un concepto de isomorfismo de categorías en el que se requiere una forma estricta de funtor inverso, pero tiene un uso mucho menos práctico que el concepto de equivalencia.

Definición

Formalmente, dadas dos categorías C y D, una equivalencia de categorías consta de un funtor F: C → D, un funtor G: D → C y dos naturales isomorfismos ε: FG→I_D y η: I_C→GF. Aquí FG: D→D y GF: C→C denota las composiciones respectivas de F y G, y I_C: C→C y I_D: D→D denota los funtores de identidad en C y D, asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son functores contravariantes, se habla de una dualidad de categorías.

A menudo no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (respectivamente doblemente equivalentes) si existe una equivalencia (respectivamente dualidad) entre ellos. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existen un funtor inverso G e isomorfismos naturales como los anteriores. Sin embargo, tenga en cuenta que el conocimiento de F normalmente no es suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (consulte el ejemplo a continuación).

Caracterizaciones alternativas

Un funtor F: C → D produce una equivalencia de categorías si y solo si es simultáneamente:

• lleno, es decir, para cualquier dos objetos c₁ y c₂ de C, el mapa Hom_C()c₁,c₂) → Hom_D()Fc₁,Fc₂) inducido por F es subjetivo;
• fiel, es decir, para cualquier dos objetos c₁ y c₂ de C, el mapa Hom_C()c₁,c₂) → Hom_D()Fc₁,Fc₂) inducido por F es inyectable; y
• esencialmente subjetivo (dense), es decir, cada objeto d dentro D es isomorfo a un objeto de la forma Fc, para c dentro C.

Este es un criterio bastante útil y comúnmente aplicado, porque no es necesario construir explícitamente el criterio "inverso" G y los isomorfismos naturales entre FG, GF y los funtores de identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente sólida del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), los datos faltantes no están completamente especificados y A menudo hay muchas opciones. Es una buena idea especificar explícitamente las construcciones que faltan siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, un functor con estas propiedades a veces se denomina equivalencia débil de categorías. (Desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de tipos de homotopía).

También hay una estrecha relación con el concepto de functores unidos F⊣ ⊣ G{displaystyle Fdashv G}, donde decimos eso F:C→ → D{displaystyle F:Crightarrow D} es la unión izquierda de G:D→ → C{displaystyle G:Drightarrow C}, o igualmente, G es la unión derecha de F. Entonces... C y D son equivalentes (como se define anteriormente en que hay isomorfismos naturales de FG a I_D y I_C a GFSi y sólo si F⊣ ⊣ G{displaystyle Fdashv G} y ambos F y G están llenos y fieles.

Cuando los functores adjuntos F⊣ ⊣ G{displaystyle Fdashv G} no son tanto plenas como fieles, entonces podemos ver su relación de adjointness como expresar una "forma del tejido de equivalencia" de categorías. Asumiendo que se dan las transformaciones naturales para las adjunciones, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios, y no se necesitan principios de elección. La propiedad clave que hay que probar aquí es que counit de una adjunción es un isomorfismo si y sólo si la unión correcta es un funerario completo y fiel.

Ejemplos

• Considerar la categoría C{displaystyle C} tener un solo objeto c{displaystyle c} y un solo morfismo 1c{displaystyle 1_{c}, y la categoría D{displaystyle D} con dos objetos d1{displaystyle D_{1}, d2{displaystyle D_{2} y cuatro morfismos: dos morfismos de identidad 1d1{displaystyle 1_{d_{1}}, 1d2{displaystyle 1_{d_{2}} y dos isomorfismos α α :: d1→ → d2{displaystyle alpha colon d_{1}to d_{2} y β β :: d2→ → d1{displaystyle beta colon d_{2}to D_{1}. Las categorías C{displaystyle C} y D{displaystyle D} son equivalentes; podemos (por ejemplo) haber F{displaystyle F} mapa c{displaystyle c} a d1{displaystyle D_{1} y G{displaystyle G. mapa ambos objetos de D{displaystyle D} a c{displaystyle c} y todos los morfismos a 1c{displaystyle 1_{c}.
• Por contraste, la categoría C{displaystyle C} con un solo objeto y un solo morfismo no equivalente a la categoría E{displaystyle E} con dos objetos y sólo dos morfismos de identidad. Los dos objetos en E{displaystyle E} son no isomorfo en que no hay morfismos entre ellos. Así cualquier functor de C{displaystyle C} a E{displaystyle E} no será esencialmente subjetivo.
• Considerar una categoría C{displaystyle C} con un objeto c{displaystyle c}, y dos morfismos 1c,f:: c→ → c{displaystyle 1_{c},fcolon cto c}. Vamos 1c{displaystyle 1_{c} ser el morfismo de identidad en c{displaystyle c} y conjunto f∘ ∘ f=1{displaystyle fcirc f=1}. Por supuesto. C{displaystyle C} es equivalente a sí mismo, que se puede demostrar tomando 1c{displaystyle 1_{c} en lugar de los isomorfismos naturales requeridos entre el functor IC{displaystyle mathbf {I} _{C} y ella misma. Sin embargo, también es cierto que f{displaystyle f} produce un isomorfismo natural de IC{displaystyle mathbf {I} _{C} a sí mismo. Por lo tanto, dada la información de que los functores de identidad forman una equivalencia de categorías, en este ejemplo uno todavía puede elegir entre dos isomorfismos naturales para cada dirección.
• La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente a pero no isomorfa con la categoría de conjuntos de punta y mapas de observación de puntos.
• Considerar la categoría C{displaystyle C} de espacios vectores reales de dimensiones finitas, y la categoría D=Mat()R){displaystyle D=mathrm {Mat} de todas las matrices reales (esta última categoría se explica en el artículo sobre categorías aditivas). Entonces... C{displaystyle C} y D{displaystyle D} son equivalentes: El functor G:: D→ → C{displaystyle Gcolon Dto C} que mapea el objeto An{displaystyle A_{n} de D{displaystyle D} el espacio vectorial Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} y las matrices en D{displaystyle D} a los correspondientes mapas lineales es completo, fiel y esencialmente subjetivo.
• Uno de los temas centrales de la geometría algebraica es la dualidad de la categoría de esquemas affine y la categoría de anillos conmutativos. El functor G{displaystyle G. asocia a cada anillo comunicativo su espectro, el esquema definido por los ideales principales del anillo. Su unión F{displaystyle F} asocia a cada esquema affine su anillo de secciones globales.
• En el análisis funcional la categoría de álgebras C* conmutativas con identidad es contravariablemente equivalente a la categoría de espacios compactos Hausdorff. Bajo esta dualidad, cada espacio compacto Hausdorff X{displaystyle X} se asocia con el álgebra de funciones de valor complejo continuo en X{displaystyle X}, y cada álgebra C* conmutativa se asocia con el espacio de sus ideales maximales. Esta es la representación de Gelfand.
• En la teoría de la celosía, hay una serie de dualidades, basadas en teoremas de representación que conectan ciertas clases de celos a clases de espacios topológicos. Probablemente el teorema más conocido de este tipo es Teorema de representación de Piedra para álgebras booleanas, que es una instancia especial dentro del esquema general dualidad de piedra. Cada álgebra booleana B{displaystyle B} es mapeado a una topología específica en el conjunto de ultrafiltros de B{displaystyle B}. Por el contrario, para cualquier topología los subconjuntos clopen (es decir, cerrados y abiertos) producen un álgebra booleana. Se obtiene una dualidad entre la categoría de álgebras booleanas (con sus homomorfismos) y espacios de piedra (con mapas continuos). Otro caso de la dualidad de Piedra es el teorema de representación de Birkhoff declarando una dualidad entre órdenes parciales finitas y retecciones distributivas finitas.
• En topología intrínseca se sabe que la categoría de locales espaciales es equivalente a la doble de la categoría de espacios sobrios.
• Para dos anillos R y S, la categoría de productos R-Mod×S-Mod es equivalente a (R×S)Mod.
• Cualquier categoría es equivalente a su esqueleto.

Propiedades

Como regla general, una equivalencia de categorías preserva todas las categorías "categóricas" conceptos y propiedades. Si F: C → D es una equivalencia, entonces las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

• el objeto c de C es un objeto inicial (o objeto terminal, o objeto cero), si y sólo si Fc es un objeto inicial (o objeto terminal, o objeto cero) D
• el morfismo α en C es un monomorfismo (o epimorfismo, o isomorfismo), si y sólo si Fα es un monomorfismo (o epimorfismo, o isomorfismo) en D.
• el functor H: I → C tiene límite (o colimit) l si y sólo si el functor FH: I → D tiene límite (o colimit) Fl. Esto se puede aplicar a los ecualizadores, productos y coproductos entre otros. Aplicandolo a los núcleos y los cokernels, vemos que la equivalencia F es un funerario exacto.
• C es una categoría cerrada cartesiana (o un topos) si y sólo si D es cartesiano cerrado (o un topos).

Dualities "turn all concepts around#34;: they turn initial objects into terminal objects, monomorphisms into epimorphisms, kernels and cokernels, limits and colimits etc.

Si F: C → D es una equivalencia de categorías, y G₁ y G₂ son dos inversos de F, entonces G₁ y G₂ son naturalmente isomorfos.

Si F: C → D es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría preaditiva (o categoría aditiva, o categoría abeliana), entonces D puede convertirse en una categoría preaditiva (o categoría aditiva, o categoría abeliana) de tal manera que F se convierta en una funtor aditivo. Por otra parte, cualquier equivalencia entre categorías de aditivos es necesariamente aditiva. (Tenga en cuenta que esta última afirmación no es cierta para las equivalencias entre categorías preaditivas).

Una autoequivalencia de una categoría C es una equivalencia F: C → C . Las autoequivalencias de C forman un grupo bajo composición si consideramos idénticas dos autoequivalencias que son naturalmente isomorfas. Este grupo captura las "simetrías" de C. (Una advertencia: si C no es una categoría pequeña, entonces las autoequivalencias de C pueden formar una clase adecuada en lugar de un conjunto).