Equinumerosidad

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Relación matemática entre dos conjuntos

En matemáticas, dos conjuntos o clases A y B son equinumeros si existe una correspondencia uno a uno (o biyección) entre ellos, es decir, si existe una función de A a B tal que para cada elemento y de B, hay exactamente un elemento x de A con f(x) = y. Se dice que los conjuntos equinos tienen la misma cardinalidad (número de elementos). El estudio de la cardinalidad a menudo se denomina equinumerosidad (igualdad de números). Los términos equipollence (igualdad de fuerza) y equipolencia (igualdad de poder) se utilizan a veces en cambio.

La equinumerosidad tiene las propiedades características de una relación de equivalencia. La afirmación de que dos conjuntos A y B son equinumerosos suele denotarse

A approx B ,

Asim B

, o

|A|=|B|.

La definición de equinumerosidad usando biyecciones se puede aplicar tanto a conjuntos finitos como infinitos, y permite establecer si dos conjuntos tienen el mismo tamaño incluso si son infinitos. Georg Cantor, el inventor de la teoría de conjuntos, demostró en 1874 que existe más de un tipo de infinito, específicamente que el conjunto de todos los números naturales y el conjunto de todos los números reales, aunque ambos infinitos, no son equinumeros (ver Cantor's primera prueba de incontabilidad). En su controvertido artículo de 1878, Cantor definió explícitamente la noción de "poder" de conjuntos y lo usé para demostrar que el conjunto de todos los números naturales y el conjunto de todos los números racionales son equinumeros (un ejemplo en el que un subconjunto propio de un conjunto infinito es equinumero con respecto al conjunto original), y que el producto cartesiano de incluso un Un número infinitamente numerable de copias de los números reales es equinumero a una sola copia de los números reales.

El teorema de Cantor de 1891 implica que ningún conjunto es equinumero con su propio conjunto potencia (el conjunto de todos sus subconjuntos). Esto permite la definición de conjuntos infinitos cada vez mayores a partir de un único conjunto infinito.

Si se cumple el axioma de elección, entonces el número cardinal de un conjunto puede considerarse como el menor número ordinal de esa cardinalidad (ver ordinal inicial). De lo contrario, puede considerarse (mediante el truco de Scott) como el conjunto de conjuntos de rango mínimo que tienen esa cardinalidad.

La afirmación de que dos conjuntos cualesquiera son equinuméreos o que uno tiene una cardinalidad menor que el otro es equivalente al axioma de elección.

Cardenalidad

Los conjuntos equinumeros tienen una correspondencia uno a uno entre ellos y se dice que tienen la misma cardinalidad. La cardinalidad de un conjunto X es una medida del "número de elementos del conjunto". La equinumerosidad tiene las propiedades características de una relación de equivalencia (reflexividad, simetría y transitividad):

Reflexividad: Dado un conjunto A, la función de identidad en A es una bijeción de A a sí mismo, mostrando que cada conjunto A es equinumeroso a sí mismo: A ~ A.
Simmetría: Por cada bijeción entre dos sets A y B existe una función inversa que es una bijeción entre B y A, implicando que si un conjunto A es equinumeroso a un conjunto B entonces B también es equinumerable a A: A ~ B implicación B ~ A.
Transitividad: Dados tres sets A, B y C con dos bijeones f: A → B y g: B → C, la composición g ∘ f de estas bijeciones es una bijeción de A a CAsí que si A y B son equinumerosos y B y C son equinumerables entonces A y C son equinumerosos: A ~ B y B ~ C implicaciones A ~ C.

Un intento de definir la cardinalidad de un conjunto como la clase de equivalencia de todos los conjuntos equivalentes a él es problemático en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomática, porque la clase de equivalencia de cualquier conjunto no vacío sería ser demasiado grande para ser un conjunto: sería una clase adecuada. En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, las relaciones están, por definición, restringidas a conjuntos (una relación binaria en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A × A), y no existe un conjunto de todos los conjuntos en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, en lugar de definir la cardinalidad de un conjunto como la clase de equivalencia de todos los conjuntos equinumerosos, se intenta asignar un conjunto representativo a cada clase de equivalencia (asignación cardinal). En algunos otros sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos, por ejemplo en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley, las relaciones se extienden a las clases.

Se dice que un conjunto A tiene una cardinalidad menor o igual a la cardinalidad de un conjunto B, si existe una función uno a uno (una inyección) de A a B. Esto se denota |A| ≤ |B|. Si A y B no son equinumerosos, entonces la cardinalidad de A se dice que es estrictamente menor que la cardinalidad de B. Esto se denota |A| < |B|. Si se cumple el axioma de elección, entonces la ley de la tricotomía se cumple para los números cardinales, de modo que dos conjuntos cualesquiera son equinuméreos o uno tiene una cardinalidad estrictamente menor que el otro. La ley de tricotomía de los números cardinales también implica el axioma de elección.

El teorema de Schröder-Bernstein establece que dos conjuntos cualesquiera A y B para los cuales existen dos funciones uno a uno f: A → B y g: B → A son equinumerosos: si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, luego |A| = |B|. Este teorema no se basa en el axioma de elección.

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Cantor 's theorem

El teorema de Cantor implica que ningún conjunto es equinumero a su conjunto potencia (el conjunto de todos sus subconjuntos). Esto es válido incluso para conjuntos infinitos. Específicamente, el conjunto potencia de un conjunto contablemente infinito es un conjunto incontable.

Asumir la existencia de un conjunto infinito N que consta de todos los números naturales y asumir la existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto dado permite la definición de una secuencia N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), … de conjuntos infinitos donde cada conjunto es el conjunto potencia del conjunto que lo precede. Según el teorema de Cantor, la cardinalidad de cada conjunto en esta secuencia excede estrictamente la cardinalidad del conjunto que lo precede, lo que lleva a conjuntos infinitos cada vez mayores.

El trabajo de Cantor fue duramente criticado por algunos de sus contemporáneos, por ejemplo por Leopold Kronecker, quien se adhirió firmemente a una filosofía finitista de las matemáticas y rechazó la idea de que los números puedan formar una totalidad real y completa (un infinito real).). Sin embargo, las ideas de Cantor fueron defendidas por otros, por ejemplo, Richard Dedekind, y finalmente fueron ampliamente aceptadas, con el firme apoyo de David Hilbert. Consulte Controversia sobre la teoría de Cantor para obtener más información.

En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma del conjunto de potencias garantiza la existencia del conjunto de potencias de cualquier conjunto dado. Además, el axioma del infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, es decir, un conjunto que contenga los números naturales. Existen teorías de conjuntos alternativas, p. "teoría general de conjuntos" (GST), teoría de conjuntos de Kripke-Platek y teoría de conjuntos de bolsillo (PST), que omiten deliberadamente el axioma del conjunto potencia y el axioma del infinito y no permiten la definición de la jerarquía infinita de infinitos propuesta por Cantor.

Las cardenalidades correspondientes a los conjuntos N, P()N), P()P()N)), P()P()P()N)),... son los números de la campana $beth _{0}$ , $beth _{1}$ , $beth _{2}$ , $beth_3$ ,..., con el primer número de Beth $beth _{0}$ ser igual a $aleph _{0}$ (risas alfa), la cardinalidad de cualquier conjunto contablemente infinito, y el segundo número de la Beth $beth _{1}$ ser igual a ${mathfrak {c}}$ , la cardenalidad del continuum.

Conjuntos infinitos de Dedekind

En algunas ocasiones, es posible que un conjunto S y su subconjunto propio sean equinuméreos. Por ejemplo, el conjunto de los números pares naturales es equinumero al conjunto de todos los números naturales. Un conjunto que es equinumero a un subconjunto propio de sí mismo se llama Dedekind-infinito.

El axioma de elección contable (AC_ω), una variante débil del axioma de elección (AC), es necesario para demostrar que un conjunto que no es infinito de Dedekind es en realidad finito. Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF) no son lo suficientemente fuertes como para demostrar que todo conjunto infinito es infinito de Dedekind, pero los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección contable (ZF + AC_ω) son lo suficientemente fuertes. Otras definiciones de finitud e infinitud de conjuntos además de la dada por Dedekind no requieren el axioma de elección para esto, ver Conjunto finito § Condiciones necesarias y suficientes para la finitud.

Compatibilidad con operaciones establecidas

La equinumerosidad es compatible con las operaciones básicas de conjuntos de una manera que permite la definición de aritmética cardinal. Específicamente, la equinumerosidad es compatible con uniones disjuntas: dados cuatro conjuntos A, B, C y D con A y C por un lado y B y D por otro lado separados por pares y con A ~ B y C ~ D luego A ∪ C ~ B ∪ D. Esto se utiliza para justificar la definición de suma cardinal.

Además, la equinumerosidad es compatible con productos cartesianos:

Si A ~ B y C ~ D entonces A × C ~ B × D.
A × B ~ B × A
()A × B) × C ~ A ×B × C)

Estas propiedades se utilizan para justificar la multiplicación cardinal.

Dados dos conjuntos X y Y, el conjunto de todas las funciones de Y a X se denota por X^Y. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:

Si A ~ B y C ~ D entonces A^C ~ B^D.
A^{B ∪ C} ~ A^B × A^C para disjoint B y C.
()A × B)^C ~ A^C × B^C
()A^B)^C ~ A^B×C

Estas propiedades se utilizan para justificar la exponenciación cardinal.

Además, el conjunto potencia de un conjunto dado A (el conjunto de todos los subconjuntos de A) es equinumero al conjunto 2^A, el conjunto de todas las funciones desde el conjunto A hasta un conjunto que contiene exactamente dos elementos.

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Categorical definition

En teoría de categorías, la categoría de conjuntos, denotada Conjunto, es la categoría que consiste en la colección de todos los conjuntos como objetos y la colección de todas las funciones entre conjuntos como morfismos, con la composición de funciones como la composición de los morfismos. En Set, un isomorfismo entre dos conjuntos es precisamente una biyección, y dos conjuntos son equinumerosos precisamente si son isomórficos como objetos en Set.

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