Entero de Eisenstein

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Número complejo cuya asignación en un plano de coordenadas produce una celosa triangular

En matemáticas, los enteros de Eisenstein (llamados así por Gotthold Eisenstein), ocasionalmente también conocidos como enteros eulerianos (por Leonhard Euler), son los números complejos de la forma

{displaystyle z=a+bomega}

donde $a$ y $b$ son números enteros y

{displaystyle omega ={frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}=e^{i2pi /3}}

es una raíz cubo primitiva (de ahí no real) de la unidad.

Los enteros Eisenstein forman una celosía triangular en el plano complejo, en contraste con los enteros gausianos, que forman una celosía cuadrada en el plano complejo. Los enteros Eisenstein son un conjunto contablemente infinito.

Propiedades

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el campo numérico algebraico $Q (ω)$ – el tercer campo ciclotómico. Para ver que los números enteros de Eisenstein son enteros algebraicos, tenga en cuenta que cada $z = a + bω$ es una raíz del polinomio mónico

{displaystyle z^{2}-(2a-b);!z+left(a^{2}-ab+b^{2}right)~.}

En particular, $ω$ satisface la ecuación

{displaystyle omega ^{2}+omega +1=0~.}

El producto de dos enteros de Eisenstein $a + bω$ y $c + dω$ viene dado explícitamente por

{displaystyle (a+b;!omega);!(c+d;!omega)=(ac-bd)+(bc+ad-bd);!omega ~.}

La norma 2 de un entero de Eisenstein es simplemente su módulo cuadrado y viene dada por

{displaystyle {left|a+b;!omega right|}^{2},=,{(a-{tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{tfrac {3}{4}}b^{2},=,a^{2}-ab+b^{2}~,}

que es claramente un entero ordinario (racional) positivo.

Además, el conjugado complejo de $ω$ satisface

{displaystyle {bar {omega }}=omega ^{2}~.}

El grupo de unidades en este anillo es el grupo cíclico formado por las sextas raíces de la unidad en el plano complejo: ${\pm1, \pm \cdot \pm \cdot 2}$ , los enteros de Eisenstein de la norma $1$ .

Dominio euclidiano

El anillo de enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma $N$ viene dada por el módulo cuadrado, como se muestra arriba:

{displaystyle N(a+b,omega)=a^{2}-ab+b^{2}.}

Un algoritmo de división, aplicado a cualquier dividendo $α$ y divisor $β \neq 0$ , da un cociente $κ$ y un resto $ρ$ menor que el divisor, satisfaciendo:

<math alttext="{displaystyle alpha =kappa beta +rho {text{ with }} N(rho)α α =κ κ β β +*** *** con N()*** *** )c)N()β β ).{displaystyle alpha =kappa beta +rho {text{ with }\ N(rho) madeN(beta).}<img alt="{displaystyle alpha =kappa beta +rho {text{ with }} N(rho)

Aquí, $α$ , $β$ , $κ$ , $ρ$ son todos enteros de Eisenstein. Este algoritmo implica el algoritmo euclidiano, que demuestra el lema de Euclides y la factorización única de números enteros de Eisenstein en primos de Eisenstein.

El algoritmo de una división es el siguiente. Primero realiza la división en el campo de números complejos y escribe el cociente en términos de $ω$ :

{displaystyle {frac {alpha }{beta }} = {tfrac {1}{ |beta |^{2}}}alpha {overline {beta }} = a+bi = a+{tfrac {1}{sqrt {3}}}b+{tfrac {2}{sqrt {3}}}bomega}

para racionalizar $a, b ▪ Q$ . A continuación, obtener el cociente entero Eisenstein redondeando los coeficientes racionales al entero más cercano:

{displaystyle kappa =leftlfloor a+{tfrac {1}{sqrt {3}}}brightrceil +leftlfloor {tfrac {2}{sqrt {3}}}brightrceil omega {text{ and }} rho ={alpha }-kappa beta.}

Aquí. ${displaystyle lfloor xrceil }$ puede denotar cualquiera de las funciones estándar de redondeo a entero.

La razón por la que este satisfizo $N () ***) N () β)$ , mientras que el procedimiento análogo falla para la mayoría de los otros anillos de entero cuadrático, es como sigue. Un dominio fundamental para el ideal $Z [\cdot] β = Z β + Z ωβ$ , actuando por traducciones en el plano complejo, es el rhombus de 60°–120° con vértices $0$ , $β$ , $ωβ$ , $β + ωβ$ . Cualquier integer Eisenstein $α$ se encuentra dentro de uno de los traducir de este paralelograma, y el cociente $κ$ es uno de sus vértices. El resto es la distancia cuadrada $α$ a este vértice, pero la distancia máxima posible en nuestro algoritmo es sólo ${displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{2}}|beta |}$ , entonces $<math alttext="{displaystyle |rho |leq {tfrac {sqrt {3}}{2}}|beta |Silencio*** *** Silencio≤ ≤ 32Silencioβ β Silencioc)Silencioβ β Silencio{fnK} {fn} {fn}}beta }beta<img alt="{displaystyle |rho |leq {tfrac {sqrt {3}}{2}}|beta |$ . (El tamaño de la $***$ podría reducirse ligeramente tomando $κ$ para ser la esquina más cercana.)

Primas de Eisenstein

(feminine)

Pequeños primos Eisenstein. Aquellos en los ejes verdes son asociados a un primo natural de la forma $3 n - 1$ . Todos los demás tienen un valor absoluto cuadrado igual a un primo natural.

Si $x$ y $y$ son enteros de Eisenstein, digamos que $x$ divide $y$ si hay algún entero de Eisenstein $z$ tal que $y = zx$ . Se dice que un entero de Eisenstein no unitario $x$ es un primo de Eisenstein si sus únicos divisores no unitarios son de la forma $ux$ , donde $u$ es cualquiera de las seis unidades. Son el concepto correspondiente a los primos gaussianos en los enteros gaussianos.

Hay dos tipos de primos de Eisenstein. En primer lugar, un número primo ordinario (o primo racional) que es congruente con $2 mod 3$ también es un número primo de Eisenstein. En segundo lugar, $3$ y cada primo racional congruente con $1 mod 3$ son iguales a la norma $x 2 - xy + y 2$ de un entero de Eisentein x + ωy. Por lo tanto, dicho primo puede factorizarse como $(x + ωy)(x + ω 2 y)$ , y estos factores son primos de Eisenstein: son precisamente los números enteros de Eisenstein cuya norma es un primo racional.

Los primeros números primos de Eisenstein de la forma $3 n - 1$ son:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101... A003627 en el OEIS).

Primos naturales que son congruentes con $0$ o $1$ módulo $3$ no son primos de Eisenstein: admiten factorizaciones no triviales en $Z [ω]$ . Por ejemplo:

3 = 1 + 2 \cdot) 2

7 = (3 + \cdot 2 - \cdot)

En general, si un primo natural $p$ es $1$ módulo $3$ y, por lo tanto, puede escribirse como $p = a 2 - ab + b 2$ , luego factoriza sobre $Z [ω]$ como

p = a + bω () a - b - bω)

Algunos primos de Eisenstein no reales son

2 + \cdot

3 + \cdot

4 + \cdot

5 + 2 \cdot

6 + \cdot

7 + \cdot

7 + 3 \cdot

Hasta la conjugación y los múltiplos unitarios, los primos enumerados anteriormente, junto con $2$ y $5$ , son todos los primos de Eisenstein. de valor absoluto no superior a $7$ .

En octubre de 2023, el mayor primo real de Eisenstein conocido es el décimo primo más grande conocido $10223 \times 2 31172165 + 1$ , descubierto por Péter Szabolcs y PrimeGrid. Con una excepción, todos los números primos más grandes conocidos son primos de Mersenne, descubiertos por GIMPS. Los primos reales de Eisenstein son congruentes con $2 mod 3$ , y todos los primos de Mersenne mayores que $3$ son congruentes con $1 mod 3$ ; por tanto, ningún primo de Mersenne es un primo de Eisenstein.

Serie Eisenstein

La suma de los recíprocos de todos los enteros de Eisenstein excluyendo $0$ elevado a la sexta potencia se puede expresar en términos de la función gamma:

{displaystyle sum _{zin mathbf {E} setminus {0}}{frac {1}{z^{6}}}=G_{6}left(e^{frac {2pi i}{3}}right)={frac {Gamma (1/3)^{18}}{8960pi ^{6}}}}

E

G 6

Cociente de C por los enteros de Eisenstein

El cociente del plano complejo $C$ por la red que contiene todos los números enteros de Eisenstein es un toro complejo de dimensión real $2$ . Este es uno de los dos tori con máxima simetría entre todos estos tori complejos. Este toro se puede obtener identificando cada uno de los tres pares de aristas opuestas de un hexágono regular. (El otro toro de máxima simetría es el cociente del plano complejo por la red aditiva de números enteros gaussianos, y se puede obtener identificando cada uno de los dos pares de lados opuestos de un dominio fundamental cuadrado, como $[0, 1] \times [0, 1]$ .)

Más resultados...