Enlace Peaucellier-Lipkin

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Conexión mecánica capaz de transformar el movimiento giratorio en movimiento lineal

El Peaucellier–Lipkin linkage (o Celda Peaucellier-Lipkino Peaucellier–Lipkin inversor), inventado en 1864, fue el primer verdadero mecanismo de línea recta planar – el primer enlace plano capaz de transformar el movimiento giratorio en perfecto movimiento de línea recta, y viceversa. Es nombrado por Charles-Nicolas Peaucellier (1832-1913), un oficial del ejército francés, y Yom Tov Lipman Lipkin (1846-1876), un judío lituano e hijo del famoso Rabino Israel Salanter.

Hasta esta invención, no existía ningún método plano para convertir un movimiento rectilíneo exacto en movimiento circular, sin guías de referencia. En 1864, toda la energía procedía de las máquinas de vapor, que tenían un pistón que se movía en línea recta hacia arriba y hacia abajo por un cilindro. Este pistón necesitaba mantener un buen sello con el cilindro para retener el medio impulsor y no perder eficiencia energética debido a fugas. El pistón hace esto permaneciendo perpendicular al eje del cilindro, conservando su movimiento rectilíneo. Convertir el movimiento rectilíneo del pistón en movimiento circular era de vital importancia. La mayoría, si no todas, las aplicaciones de estas máquinas de vapor eran rotativas.

Las matemáticas del vínculo Peaucellier-Lipkin están directamente relacionadas con la inversión de un círculo.

Vínculo anterior de Sarrus

Existe un mecanismo anterior en línea recta, cuya historia no se conoce bien, llamado enlace de Sarrus. Este vínculo es anterior al vínculo Peaucellier-Lipkin en 11 años y consta de una serie de placas rectangulares con bisagras, dos de las cuales permanecen paralelas pero se pueden mover normalmente entre sí. Sarrus' El enlace es de una clase tridimensional a veces conocida como manivela espacial, a diferencia del enlace Peaucellier-Lipkin, que es un mecanismo plano.

Geometría

diagrama geométrico de un enlace Peaucellier

En el diagrama geométrico del aparato se pueden observar seis barras de longitud fija: $OA$ , $OC$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . La longitud de $OA$ es igual a la longitud de $OC$ y las longitudes de $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ son todos iguales formando un rombo. Además, el punto $O$ es fijo. Entonces, si el punto $B$ está obligado a moverse a lo largo de un círculo (por ejemplo, uniéndolo a una barra con una longitud media entre $O$ y $B$ ; ruta mostrada en rojo) que pasa por $O$ , luego apunta a $D$ necesariamente tendrá que moverse a lo largo de una línea recta (que se muestra en azul). Por el contrario, si el punto $B$ estuviera obligado a moverse a lo largo de una línea (sin pasar por $O$ ), entonces el punto $D$ necesariamente tendría que moverse a lo largo de un círculo (pasando por $O$ ).

Prueba matemática del concepto

Colinealidad

En primer lugar, se debe demostrar que los puntos $O$ , $B$ , $D$ son colineales. Esto se puede ver fácilmente observando que el vínculo es simétrico en espejo con respecto a la línea $OD$ , por lo que el punto $B$ debe estar en esa línea.

Más formalmente, triángulos $△ BAD$ y $△ BCD$ son congruentes porque el lado $BD$ es congruente consigo mismo, lado $BA$ es congruente con el lado $BC$ y lado $AD$ es congruente con el lado $CD$ . Por lo tanto, los ángulos $∠ ABD$ y $∠ CBD$ son iguales.

A continuación, los triángulos $△ OBA$ y $△ OBC$ son congruente, ya que los lados $OA$ y $OC$ son congruentes, estilo $OB$ es congruente consigo mismo y sus lados $BA$ y $BC$ son congruentes. Por lo tanto, los ángulos $∠ OBA$ y $∠ OBC$ son iguales.

Finalmente, como forman un círculo completo, tenemos

{displaystyle angle OBA+angle ABD+angle DBC+angle CBO=360^{circ }}

pero, debido a las congruencias, $∠ OBA = ∠ OBC$ y $∠ DBA = ∠ DBC$ , por lo tanto

{displaystyle {begin{aligned}&2times angle OBA+2times angle DBA=360^{circ }\&angle OBA+angle DBA=180^{circ }end{aligned}}}

por lo tanto puntos $O$ , $B$ y $D$ son colineales.

Puntos inversos

Sea el punto $P$ la intersección de las líneas $AC$ y $BD$ . Entonces, dado que $ABCD$ es un rombo, $P$ es el punto medio de ambos segmentos de línea $BD$ y $AC$ . Por lo tanto, longitud $BP$ = longitud $PD$ .

El triángulo $△ BPA$ es congruente con el triángulo $△ DPA$ , porque el lado $BP$ es congruente con el lado $DP$ , lado $AP$ es congruente consigo mismo y el lado $AB$ es congruente con el lado $ANUNCIO$ . Por lo tanto, ángulo $∠ BPA$ = ángulo $∠ DPA$ . Pero como $∠ BPA + ∠ DPA = 180°$ , entonces $2 \times ∠ BPA = 180°$ , $∠ BPA = 90°$ y $∠ DPA = 90°$ .

Dejemos:

{displaystyle {begin{aligned}&x=ell _{BP}=ell _{PD}\&y=ell _{OB}\&h=ell _{AP}end{aligned}}}

Entonces:

{displaystyle ell _{OB}cdot ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy}

{displaystyle {ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}}

(debido al teorema pitagórico)

{displaystyle {ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}}

(expresión ampliada)

{displaystyle {ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}}

(Teorema pitagórico)

{displaystyle {ell _{OA}}^{2}-{ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=ell _{OB}cdot ell _{OD}}

Desde $OA$ y $AD$ son ambos longitudes fijas, luego el producto de $OB$ y $OD$ es una constante:

{displaystyle ell _{OB}cdot ell _{OD}=k^{2}}

y desde los puntos $O$ , $B$ , $D$ son colineales, entonces $D$ es la inversa de $B$ con respecto al círculo $( O, k)$ con centro $O$ y radio $k$ .

Geometría inversiva

Así, por las propiedades de la geometría inversa, ya que la figura trazada por el punto $D$ es la inversa de la figura trazada por punto $B$ , si $B$ traza un círculo que pasa por el centro de inversión $O$ , luego $D$ está restringido a trazar una línea recta. Pero si $B$ traza una línea recta que no pasa por $O$ , entonces $D$ debe trazar un arco de círculo que pase por $O$ . Q.E.D.

Un conductor típico

Los enlaces Peaucellier-Lipkin (PLL) pueden tener varias inversiones. Un ejemplo típico se muestra en la figura opuesta, en la que un balancín de cuatro barras sirve como controlador de entrada. Para ser precisos, el control deslizante actúa como entrada, que a su vez impulsa el enlace derecho a tierra del PLL, impulsando así todo el PLL.

Notas históricas

Sylvester (Obras completas, vol. 3, documento 2) escribe que cuando le mostró un modelo a Kelvin, “lo cuidó como si hubiera sido su propio hijo, y cuando un movimiento era hizo para aliviarlo de ello, respondió: '¡No! No he tenido suficiente de eso; es la cosa más hermosa que he visto en mi vida'”.

Referencias culturales

Una escultura a escala monumental que implementa el vínculo en puntales iluminados se encuentra en exhibición permanente en Eindhoven, Países Bajos. La obra de arte mide 22 por 15 por 16 metros (72 pies × 49 pies × 52 pies), pesa 6.600 kilogramos (14.600 libras) y puede operarse desde un panel de control accesible al público en general.

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