Energía potencial electrostática

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La energía potencial eléctrica o Energía potencial electrostática es una energía potencial (medida en julios) que resulta de las fuerzas conservativas de Coulomb y está asociada con la configuración de un conjunto particular de cargas puntuales dentro de un sistema definido. Un objeto puede tener energía potencial eléctrica en virtud de dos elementos clave: su propia carga eléctrica y su posición relativa a otros objetos cargados eléctricamente.

El término "energía potencial eléctrica" se usa para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos variables en el tiempo, mientras que el término "energía potencial electrostática" se usa para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos variables en el tiempo.

Definición

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo requerido para ensamblar este sistema de cargas acercándolas, como en el sistema desde una distancia infinita. Alternativamente, la energía potencial eléctrica de cualquier carga o sistema de cargas dado se denomina como el trabajo total realizado por un agente externo al llevar la carga o el sistema de cargas desde el infinito hasta la configuración actual sin sufrir ninguna aceleración.La energía potencial electrostática,

U _E, de una carga puntual

q en la posición

r en presencia de un campo eléctrico

E se define como el negativo del trabajo

W realizado por la fuerza electrostática para llevarla desde la posición de referencia

r _ref a esa posición

r _

${displaystyle U_{mathrm {E} }(mathbf {r})=-W_{r_{rm {ref}}rightarrow r}=-int_{{mathbf {r} }_{ rm {ref}}}^{mathbf {r} }qmathbf {E} (mathbf {r'})cdot mathrm {d} mathbf {r'} }$ ,donde

E es el campo electrostático y d

r' es el vector de desplazamiento en una curva desde la posición de referencia

r _ref hasta la posición final

La energía potencial electrostática también se puede definir a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:La energía potencial electrostática,

U _E, de una carga puntual

q en la posición

r en presencia de un potencial eléctrico

$Fi$ se define como el producto de la carga y el potencial eléctrico.

$U_{{mathrm {E}}}({mathbf r})=qPhi ({mathbf r})$ ,donde

$Fi$ es el potencial eléctrico generado por las cargas, que es función de la posición

Unidades

La unidad SI de energía potencial eléctrica es el joule (llamado así por el físico inglés James Prescott Joule). En el sistema CGS el ergio es la unidad de energía, siendo igual a 10 Joules. También se pueden usar electronvoltios, 1 eV = 1,602 × 10 julios.

Energía potencial electrostática de una carga puntual

Una carga puntual q en presencia de otra carga puntual Q

La energía potencial electrostática, U _E, de una carga puntual q en la posición r en presencia de una carga puntual Q, tomando una separación infinita entre las cargas como posición de referencia, es:

{displaystyle U_{E}(r)=k_{e}{frac {qQ}{r}},}

donde $k_{e}={frac{1}{4pivarepsilon _{0}}}$ es la constante de Coulomb, r es la distancia entre las cargas puntuales q y Q, y q y Q son las cargas (no los valores absolutos de las cargas, es decir, un electrón tendría un valor de carga negativo cuando se coloca en la fórmula). El siguiente esquema de prueba establece la derivación de la definición de energía potencial eléctrica y la ley de Coulomb a esta fórmula.

Esquema de la prueba

La fuerza electrostática F que actúa sobre una carga q se puede escribir en términos del campo eléctrico E como

Por definición, el cambio en la energía potencial electrostática, U _E, de una carga puntual q que se ha movido desde la posición de referencia r _ref a la posición r en presencia de un campo eléctrico E es el negativo del trabajo realizado por la fuerza electrostática para llévelo desde la posición de referencia r _ref a esa posición r.

{displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{rm {ref}})=-W_{r_{rm {ref}}rightarrow r}=-int_{{r} _ {rm {ref}}}^{r}qmathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s}.}

donde:

r = posición en el espacio 3d de la carga q, usando coordenadas cartesianas r = (x, y, z), tomando la posición de la carga Q en r = (0,0,0), el escalar r = | r | es la norma del vector de posición,
d s = vector de desplazamiento diferencial a lo largo de un camino C que va de r _ref a r,
${displaystyle W_{r_{rm {ref}}rightarrow r}}$ es el trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r _ref a r,

Por lo general _{, UE} se establece en cero cuando r _ref es infinito:

{displaystyle U_{E}(r_{rm {ref}}=infty)=0}

asi que

{displaystyle U_{E}(r)=-int_{infty}^{r}qmathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} }

Cuando el rotacional ∇ × E es cero, la integral de línea anterior no depende del camino específico C elegido sino solo de sus puntos finales. Esto sucede en campos eléctricos invariantes en el tiempo. Cuando se habla de energía potencial electrostática, siempre se asumen campos eléctricos invariantes en el tiempo, por lo que, en este caso, el campo eléctrico es conservativo y se puede usar la ley de Coulomb.

Usando la ley de Coulomb, se sabe que la fuerza electrostática F y el campo eléctrico E creado por una carga puntual discreta Q están dirigidos radialmente desde Q. Por la definición del vector de posición r y el vector de desplazamiento s, se deduce que r y s también están dirigidos radialmente desde Q. Entonces, E y d s deben ser paralelos:

{displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} =|mathbf {E} |cdot |mathrm {d} mathbf {s} |cos(0)=E matemáticas {d} s}

Usando la ley de Coulomb, el campo eléctrico está dado por

{displaystyle |mathbf {E} |=E={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {Q}{s^{2}}}}

y la integral se puede evaluar fácilmente:

{displaystyle U_{E}(r)=-int_{infty}^{r}qmathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} =-int_{infty} ^{r}{frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {qQ}{s^{2}}}{rm {d}}s={frac {1 {4pi varepsilon _{0}}}{frac {qQ}{r}}=k_{e}{frac {qQ}{r}}}

Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i

La energía potencial electrostática, U _E, de una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Qi _, tomando como posición de referencia una separación infinita entre las cargas, es:

{displaystyle U_{E}(r)=k_{e}qsum_{i=1}^{n}{frac {Q_{i}}{r_{i}}},}

donde $k_{e}={frac{1}{4pivarepsilon _{0}}}$ es la constante de Coulomb, r _i es la distancia entre las cargas puntuales q y Q _i, y q y Q _i son los valores asignados de las cargas.

Energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de N cargas q ₁, q ₂, …, q _N en las posiciones r ₁, r ₂, …, r _N respectivamente, es:

{displaystyle U_{mathrm {E} }={frac {1}{2}}sum_{i=1}^{N}q_{i}Phi (mathbf {r}_{i})={frac {1}{2}}k_{e}sum_{i=1}^{N}q_{i}sum_{stackrel {j=1,dots,N}{j neq i)}}{frac {q_{j}}{r_{ij}}},}

donde, para cada valor de i, Φ(r _i) es el potencial electrostático debido a todas las cargas puntuales excepto la de r _i, y es igual a:

{displaystyle Phi (mathbf {r} _{i})=k_{e}sum _{j=1,...,N,(jneq i)}{frac {q_{j }}{mathbf {r} _{ij}}},}

donde r _ij es la distancia entre q _i y q _j.

Esquema de la prueba

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de dos cargas es igual a la energía potencial electrostática de una carga en el potencial electrostático generado por la otra. Es decir, si la carga q ₁ genera un potencial electrostático Φ ₁, que es función de la posición r, entonces

{displaystyle U_{mathrm {E} }=q_{2}Phi_{1}(mathbf {r}_{2}).}

Haciendo el mismo cálculo con respecto a la otra carga, obtenemos

{displaystyle U_{mathrm {E} }=q_{1}Phi_{2}(mathbf {r}_{1}).}

La energía potencial electrostática es compartida mutuamente por $q_{1}$ y $q_{2}$ , por lo que la energía total almacenada es

{displaystyle U_{E}={frac {1}{2}}left[q_{2}Phi_{1}(mathbf {r}_{2})+q_{1}Phi_ {2}(mathbf{r}_{1})derecho]}

Esto se puede generalizar para decir que la energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de N cargas q ₁, q ₂, …, q _N en las posiciones r ₁, r ₂, …, r _N respectivamente, es:

{displaystyle U_{mathrm {E} }={frac {1}{2}}sum_{i=1}^{N}q_{i}Phi (mathbf {r}_{i}).}

Energía almacenada en un sistema de carga puntual

La energía potencial electrostática de un sistema que contiene solo una carga puntual es cero, ya que no hay otras fuentes de fuerza electrostática contra las cuales un agente externo deba trabajar para mover la carga puntual desde el infinito hasta su ubicación final.

Surge una pregunta común sobre la interacción de una carga puntual con su propio potencial electrostático. Dado que esta interacción no actúa para mover la carga puntual en sí, no contribuye a la energía almacenada del sistema.

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales

Considere llevar una carga puntual, q, a su posición final cerca de una carga puntual, Q ₁. El potencial eléctrico Φ(r) debido a Q ₁ es

{displaystyle Phi (r)=k_{e}{frac {Q_{1}}{r}}}

Por lo tanto, obtenemos la energía potencial electrostática de q en el potencial de Q ₁ como

{displaystyle U_{E}={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}

donde r ₁ es la separación entre las dos cargas puntuales.

Energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales

La energía potencial electrostática de un sistema de tres cargas no debe confundirse con la energía potencial electrostática de Q ₁ debida a dos cargas Q ₂ y Q ₃, porque esta última no incluye la energía potencial electrostática del sistema de las dos cargas P ₂ y P ₃.

La energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas es:

{displaystyle U_{mathrm {E} }={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}left[{frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12 }}}+{frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}right]}

Esquema de la prueba

Usando la fórmula dada en (1), la energía potencial electrostática del sistema de las tres cargas será entonces:

{displaystyle U_{mathrm {E} }={frac {1}{2}}left[Q_{1}Phi (mathbf {r} _{1})+Q_{2}Phi (mathbf {r} _{2})+Q_{3}Phi (mathbf {r} _{3})derecha]}

Donde $Phi ({mathbf {r}}_{1})$ es el potencial eléctrico en r ₁ creado por las cargas Q ₂ y Q ₃, $Phi ({mathbf {r}}_{2})$ es el potencial eléctrico en r ₂ creado por las cargas Q ₁ y Q ₃, y $Phi ({mathbf {r}}_{3})$ es el potencial eléctrico en r ₃ creado por las cargas Q ₁ y Q ₂. Los potenciales son:

{displaystyle Phi (mathbf {r}_{1})=Phi_{2}(mathbf {r}_{1})+Phi_{3}(mathbf {r}_{1 })={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{frac {1}{4pi varepsilon _ {0}}}{frac {Q_{3}}{r_{13}}}}

{displaystyle Phi (mathbf {r}_{2})=Phi_{1}(mathbf {r}_{2})+Phi_{3}(mathbf {r}_{2 })={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{frac {1}{4pi varepsilon _ {0}}}{frac {Q_{3}}{r_{23}}}}

{displaystyle Phi (mathbf {r} _{3})=Phi_{1}(mathbf {r}_{3})+Phi_{2}(mathbf {r}_{3 })={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{frac {1}{4pi varepsilon _ {0}}}{frac {Q_{2}}{r_{32}}}}

Donde r _ij es la distancia entre la _carga Qi y Q _j.

Si sumamos todo:

{displaystyle U_{mathrm {E} }={frac {1}{2}}{frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}left[{frac {Q_{1 }Q_{2}}{r_{12}}}+{frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{frac {Q_{2}Q_{1}}{r_ {21}}}+{frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{ fracción {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}right]}

Finalmente, obtenemos que la energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas:

Energía almacenada en un campo electrostático distribución en vacío

La densidad de energía, o energía por unidad de volumen, ${textstyle {frac {dU}{dV}}}$ del campo electrostático de una distribución de carga continua es:

{displaystyle u_{e}={frac {dU}{dV}}={frac {1}{2}}varepsilon _{0}left|{mathbf {E} }right|^{ 2}.}

Esquema de la prueba

Se puede tomar la ecuación de la energía potencial electrostática de una distribución de carga continua y expresarla en términos del campo electrostático.

Dado que la ley de Gauss para el campo electrostático en forma diferencial establece

{displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}

donde

$mathbf{E}$ es el vector de campo electrico
$rho$ es la densidad de carga total, incluidas las cargas dipolares unidas en un material
$varepsilon _{0}$ es la permitividad del espacio libre,

entonces,

{displaystyle {begin{alineado}U&={frac {1}{2}}int limits _{text{todo el espacio}}rho (r)Phi (r),dV\& ={frac {1}{2}}int limits _{text{todo el espacio}}varepsilon _{0}(mathbf {nabla } cdot {mathbf {E} })Phi ,dVend{alineado}}}

entonces, ahora usando la siguiente identidad de vector de divergencia

{displaystyle nabla cdot (mathbf {A} {B})=(nabla cdot mathbf {A}){B}+mathbf {A} cdot (nabla {B})Rightarrow (nabla cdot mathbf {A}){B}=nabla cdot (mathbf {A} {B})-mathbf {A} cdot (nabla {B})}

tenemos

{displaystyle U={frac {varepsilon _{0}}{2}}int limits _{text{todo el espacio}}mathbf {nabla } cdot (mathbf {E} Phi) dV-{frac {varepsilon _{0}}{2}}int limits _{text{todo el espacio}}(mathbf {nabla } Phi)cdot mathbf {E} dV}

usando el teorema de la divergencia y tomando el área en el infinito donde $Phi (infty)=0$

{displaystyle {begin{alineado}U&=overbrace {{frac {varepsilon_{0}}{2}}int limits_{{}_{text{ del espacio}}^{text {límite}}}Phi mathbf {E} cdot dmathbf {A} } ^{0}-{frac {varepsilon _{0}}{2}}int limits _{text{ todo el espacio}}(-mathbf {E})cdot mathbf {E} ,dV\&=int limits _{text{todo el espacio}}{frac {1}{2}} varepsilon _{0}left|{mathbf {E} }right|^{2},dV.end{alineado}}}

Entonces, la densidad de energía o energía por unidad de volumen ${textstyle {frac {dU}{dV}}}$ del campo electrostático es:

{displaystyle u_{e}={frac {1}{2}}varepsilon _{0}left|{mathbf {E} }right|^{2}.}

Energía almacenada en elementos electrónicos

Algunos elementos en un circuito pueden convertir energía de una forma a otra. Por ejemplo, una resistencia convierte la energía eléctrica en calor. Esto se conoce como el efecto Joule. Un condensador lo almacena en su campo eléctrico. La energía potencial electrostática total almacenada en un capacitor viene dada por

{displaystyle U_{E}={frac {1}{2}}QV={frac {1}{2}}CV^{2}={frac {Q^{2}}{2C}} }

donde C es la capacitancia, V es la diferencia de potencial eléctrico y Q la carga almacenada en el capacitor.

Esquema de la prueba

Se pueden ensamblar cargas en un capacitor en incrementos infinitesimales ${ estilo de visualización dq a 0}$ , de modo que la cantidad de trabajo realizado para ensamblar cada incremento en su ubicación final se puede expresar como

{displaystyle W_{q}=V,dq={frac {q}{C}}dq.}

El trabajo total realizado para cargar completamente el capacitor de esta manera es entonces

{displaystyle W=int dW=int _{0}^{Q}V,dq={frac {1}{C}}int_{0}^{Q}q,dq={ frac {Q^{2}}{2C}}.}

donde

$q$ es la carga total del capacitor. Este trabajo se almacena como energía potencial electrostática, por lo tanto,

{displaystyle W=U_{E}={frac {Q^{2}}{2C}}.}

En particular, esta expresión solo es válida si ${ estilo de visualización dq a 0}$ , lo que se cumple para sistemas de muchas cargas, como grandes condensadores que tienen electrodos metálicos. Para sistemas de pocas cargas, la naturaleza discreta de la carga es importante. La energía total almacenada en un capacitor de pocas cargas es

que se obtiene mediante un método de ensamblaje de carga que utiliza el incremento de carga física más pequeño

${ estilo de visualización Delta q = e}$ donde

$mi$ es la unidad elemental de carga y

$Q = ne$ donde

$norte$ es el número total de cargas en el capacitor.

La energía potencial electrostática total también se puede expresar en términos del campo eléctrico en la forma

{displaystyle U_{E}={frac {1}{2}}int _{V}mathrm {E} cdot mathrm {D} ,dV}

donde $mathrm {D}$ es el campo de desplazamiento eléctrico dentro de un material dieléctrico y la integración es sobre todo el volumen del dieléctrico.

La energía potencial electrostática total almacenada dentro de un dieléctrico cargado también se puede expresar en términos de una carga de volumen continuo, $rho$ ,

{displaystyle U_{E}={frac {1}{2}}int _{V}rho Phi ,dV}

donde la integración es sobre todo el volumen del dieléctrico.

Estas dos últimas expresiones son válidas solo para casos en los que el incremento más pequeño de carga es cero ( ${ estilo de visualización dq a 0}$ ), como dieléctricos en presencia de electrodos metálicos o dieléctricos que contienen muchas cargas.

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Energía potencial electrostática

Definición

Unidades

Energía potencial electrostática de una carga puntual

Una carga puntual q en presencia de otra carga puntual Q

Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q i

Energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales

Energía almacenada en un sistema de carga puntual

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales

Energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales

Energía almacenada en un campo electrostático distribución en vacío

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