Energía elástica

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La energía potencial elástica o (energía elástica de deformación) es la energía potencial mecánica almacenada en la configuración de un material o sistema físico, ya que está sujeto a deformación elástica por el trabajo realizado sobre él. La energía elástica se produce cuando los objetos se comprimen, estiran o deforman de forma transitoria de cualquier manera. La teoría de la elasticidad desarrolla principalmente formalismos para la mecánica de cuerpos y materiales sólidos.(Sin embargo, tenga en cuenta que el trabajo realizado por una banda elástica estirada no es un ejemplo de energía elástica. Es un ejemplo de elasticidad entrópica). La ecuación de energía potencial elástica se usa en los cálculos de posiciones de equilibrio mecánico. La energía es potencial, ya que se convertirá en otras formas de energía, como la energía cinética y la energía del sonido, cuando se permita que el objeto vuelva a su forma original (reforma) por su elasticidad. ${displaystyle U={frac{1}{2}}k,Delta x^{2},}$

La esencia de la elasticidad es la reversibilidad. Las fuerzas aplicadas a un material elástico transfieren energía al material que, al ceder esa energía a su entorno, puede recuperar su forma original. Sin embargo, todos los materiales tienen límites en cuanto al grado de distorsión que pueden soportar sin romperse o alterar irreversiblemente su estructura interna. Por tanto, las caracterizaciones de los materiales sólidos incluyen la especificación, generalmente en términos de deformaciones, de sus límites elásticos. Más allá del límite elástico, un material ya no almacena toda la energía del trabajo mecánico realizado sobre él en forma de energía elástica.

La energía elástica de o dentro de una sustancia es energía estática de configuración. Corresponde a la energía almacenada principalmente al cambiar las distancias interatómicas entre los núcleos. La energía térmica es la distribución aleatoria de energía cinética dentro del material, lo que resulta en fluctuaciones estadísticas del material sobre la configuración de equilibrio. Sin embargo, hay cierta interacción. Por ejemplo, para algunos objetos sólidos, la torsión, la flexión y otras distorsiones pueden generar energía térmica, lo que hace que aumente la temperatura del material. La energía térmica en los sólidos a menudo es transportada por ondas elásticas internas, llamadas fonones.

Aunque la elasticidad se asocia más comúnmente con la mecánica de cuerpos o materiales sólidos, incluso la literatura temprana sobre termodinámica clásica define y usa la "elasticidad de un fluido" de manera compatible con la definición amplia proporcionada en la Introducción anterior.

Los sólidos incluyen materiales cristalinos complejos con un comportamiento a veces complicado. Por el contrario, el comportamiento de los fluidos compresibles, y especialmente de los gases, demuestra la esencia de la energía elástica con una complicación insignificante. La fórmula termodinámica simple: $dU = -P,dV,$ donde dU es un cambio infinitesimal en la energía interna recuperable U, P es la presión uniforme (una fuerza por unidad de área) aplicada a la muestra de material de interés, y dV es el cambio infinitesimal en volumen que corresponde al cambio en energía interna. El signo menos aparece porque dV es negativo bajo compresión por una presión aplicada positiva que también aumenta la energía interna. Al invertirse, el trabajo realizado porun sistema es el negativo del cambio en su energía interna correspondiente al positivo dV de un volumen creciente. En otras palabras, el sistema pierde energía interna almacenada cuando realiza trabajo en su entorno. La presión es tensión y el cambio volumétrico corresponde a cambiar el espaciado relativo de los puntos dentro del material. La relación tensión-deformación-energía interna de la fórmula anterior se repite en formulaciones para energía elástica de materiales sólidos con estructura cristalina complicada.

Energía potencial elástica en sistemas mecánicos

Los componentes de los sistemas mecánicos almacenan energía potencial elástica si se deforman cuando se aplican fuerzas al sistema. La energía se transfiere a un objeto mediante trabajo cuando una fuerza externa desplaza o deforma el objeto. La cantidad de energía transferida es el producto punto vectorial de la fuerza y el desplazamiento del objeto. A medida que se aplican fuerzas al sistema, se distribuyen internamente a sus componentes. Si bien parte de la energía transferida puede terminar almacenada como energía cinética de la velocidad adquirida, la deformación de los objetos componentes da como resultado energía elástica almacenada.

Un componente elástico prototípico es un resorte en espiral. El rendimiento elástico lineal del resorte está parametrizado por una constante de proporcionalidad, llamada constante del resorte. Esta constante generalmente se denota como k (consulte también la Ley de Hooke) y depende de la geometría, el área de la sección transversal, la longitud sin deformar y la naturaleza del material del que está hecha la bobina. Dentro de cierto rango de deformación, k permanece constante y se define como la relación negativa entre el desplazamiento y la magnitud de la fuerza restauradora producida por el resorte en ese desplazamiento. $k = - tfrac{F_r}{L-L_{o}}$

La longitud deformada, L, puede ser mayor _o menor que Lo, la longitud no deformada, por lo que para mantener k positivo, F _r debe darse como un componente vectorial de la fuerza restauradora cuyo signo es negativo para L > Lo y _positivo para L < L _o. Si el desplazamiento se abrevia como ${ estilo de visualización (L-L_ {o}) = x ,}$

entonces la Ley de Hooke se puede escribir en la forma usual $F_r =, - k, x$ .

La energía absorbida y retenida en el resorte se puede derivar usando la Ley de Hooke para calcular la fuerza restauradora como una medida de la fuerza aplicada. Esto requiere la suposición, suficientemente correcta en la mayoría de las circunstancias, de que en un momento dado, la magnitud de la fuerza aplicada, F _a, es igual a la magnitud de la fuerza restauradora resultante, pero su dirección y, por lo tanto, su signo es diferente. En otras palabras, suponga que en cada punto del desplazamiento F _a = k x, donde F _a es la componente de la fuerza aplicada a lo largo de la dirección x $vec{F_a} cdot vec{x} = F_{a},x.$

Para cada desplazamiento infinitesimal dx, la fuerza aplicada es simplemente kx y el producto de estos es la transferencia infinitesimal de energía al resorte dU. La energía elástica total colocada en el resorte desde el desplazamiento cero hasta la longitud final L es, por lo tanto, la integral $U = int_{0}^{L-L_o}{k x dx} = tfrac{1}{2} k (L-L_o)^2$

Para un material de módulo de Young, Y (igual que el módulo de elasticidad λ), área de la sección transversal, A ₀, longitud inicial, l ₀, que se estira una longitud, $Delta l$ : $U_e = int {frac{Y A_0 Delta l} {l_0}}, dleft(Delta lright) = frac {Y A_0 {Delta l}^2} {2 l_0}$ donde U _e es la energía potencial elástica.

La energía potencial elástica por unidad de volumen viene dada por: $frac{U_e} {A_0 l_0} = frac {Y {Delta l}^2} {2 l_0^2} = frac {1} {2} Y {varepsilon}^2$ donde $varepsilon = frac {Delta l} {l_0}$ está la deformación en el material.

En el caso general, la energía elástica viene dada por la energía libre por unidad de volumen f en función de las componentes del tensor de deformación ε _ij $f(varepsilon_{ij}) = frac{1}{2} lambda varepsilon_{ii}^2 + mu varepsilon_{ij}^2$

donde λ y μ son los coeficientes elásticos de Lamé y usamos la convención de suma de Einstein. Observando la conexión termodinámica entre los componentes del tensor de tensión y los componentes del tensor de deformación, $sigma_{ij} = left (frac{f parcial}{parcial varepsilon_{ij}} right)_T,$

donde el subíndice T denota que la temperatura se mantiene constante, encontramos que si la ley de Hooke es válida, podemos escribir la densidad de energía elástica como $f = frac{1}{2} varepsilon_{ij} sigma_{ij}.$

Sistemas continuos

Un material a granel se puede distorsionar de muchas maneras diferentes: estiramiento, cizallamiento, flexión, torsión, etc. Cada tipo de distorsión contribuye a la energía elástica de un material deformado. En coordenadas ortogonales, la energía elástica por unidad de volumen debida a la deformación es, pues, una suma de contribuciones: $U = frac{1}{2} C_{ijkl} varepsilon_{ij} varepsilon_{kl}$ ,

donde $C_{ijkl}$ es un tensor de cuarto rango, llamado tensor elástico, o a veces de rigidez, que es una generalización de los módulos elásticos de los sistemas mecánicos, y $varepsilon _{ij}$ es el tensor de deformación (la notación de suma de Einstein se ha utilizado para implicar la suma sobre índices repetidos). Los valores de $C_{ijkl}$ dependen de la estructura cristalina del material: en el caso general, debido a la naturaleza simétrica de $sigma$ y $varepsilon$ , el tensor elástico consta de 21 coeficientes elásticos independientes. Este número se puede reducir aún más por la simetría del material: 9 para un cristal ortorrómbico, 5 para una estructura hexagonal y 3 para una simetría cúbica. Finalmente, para un material isotrópico, solo hay dos parámetros independientes, con $C_{ijkl} = lambdadelta_{ij}delta_{kl} + mu(delta_{ik}delta_{jl}+delta_{il}delta_{jk})$ , donde yson las constantes de Lamé, y es el delta de Kronecker.

El tensor de deformación en sí mismo se puede definir para reflejar la distorsión de cualquier manera que resulte en invariancia bajo la rotación total, pero la definición más común en relación con los tensores elásticos generalmente se expresa define la deformación como la parte simétrica del gradiente de desplazamiento con todos los términos no lineales. suprimido: $varepsilon_{ij} = frac{1}{2}(partial_i u_j + partial_j u_i)$

donde $tu_{yo}$ es el desplazamiento en un punto en la $yo^{th}$ dirección y $parcial _{j}$ es la derivada parcial en la $j^{th}$ dirección. Tenga en cuenta que: $varepsilon_{jj} = parcial_j u_j$

donde no se pretende sumar. Aunque la notación completa de Einstein suma los pares de índices elevados y reducidos, los valores de los componentes del tensor elástico y de deformación generalmente se expresan con todos los índices reducidos. Por lo tanto, tenga cuidado (como aquí) de que en algunos contextos un índice repetido no implica una suma de sobrevalores de ese índice ( $j$ en este caso), sino simplemente un componente único de un tensor.

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