Energía cinética

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Energía cinética de un péndulo
Energía cinética de un péndulo

En física, la energía cinética de un objeto es la energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta su velocidad establecida. Habiendo ganado esta energía durante su aceleración, el cuerpo mantiene esta energía cinética a menos que cambie su velocidad. El cuerpo realiza la misma cantidad de trabajo cuando desacelera de su velocidad actual a un estado de reposo. Formalmente, una energía cinética es cualquier término en el Lagrangiano de un sistema que incluye una derivada con respecto al tiempo.

En mecánica clásica, la energía cinética de un objeto no giratorio de masa m que viaja a una velocidad v es {textstyle {frac{1}{2}}mv^{2}}. En mecánica relativista, esta es una buena aproximación solo cuando v es mucho menor que la velocidad de la luz.

La unidad estándar de energía cinética es el joule, mientras que la unidad inglesa de energía cinética es el pie-libra.

Historia y etimología

El adjetivo cinético tiene sus raíces en la palabra griega κίνησις kinesis, que significa "movimiento". La dicotomía entre energía cinética y energía potencial se remonta a los conceptos de actualidad y potencialidad de Aristóteles.

El principio de la mecánica clásica de que E ∝ mv fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli, quienes describieron la energía cinética como la fuerza viva, vis viva. Gravesande de los Países Bajos de Willem proporcionó evidencia experimental de esta relación. Dejando caer pesos desde diferentes alturas en un bloque de arcilla, Gravesande de Willem determinó que su profundidad de penetración era proporcional al cuadrado de su velocidad de impacto. Émilie du Châtelet reconoció las implicaciones del experimento y publicó una explicación.

Los términos energía cinética y trabajo en su significado científico actual se remontan a mediados del siglo XIX. Las primeras comprensiones de estas ideas se pueden atribuir a Gaspard-Gustave Coriolis, quien en 1829 publicó el artículo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines que describe las matemáticas de la energía cinética. A William Thomson, más tarde Lord Kelvin, se le atribuye el mérito de haber acuñado el término "energía cinética" c. 1849–1851. Rankine, que había introducido el término "energía potencial" en 1853, y la frase "energía real" para complementarlo, cita más tarde a William Thomson y Peter Tait que sustituyeron la palabra "cinética" por "real".

Visión de conjunto

La energía se presenta en muchas formas, incluida la energía química, la energía térmica, la radiación electromagnética, la energía gravitacional, la energía eléctrica, la energía elástica, la energía nuclear y la energía en reposo. Estos se pueden clasificar en dos clases principales: energía potencial y energía cinética. La energía cinética es la energía de movimiento de un objeto. La energía cinética puede transferirse entre objetos y transformarse en otros tipos de energía.

La energía cinética se puede entender mejor con ejemplos que demuestran cómo se transforma hacia y desde otras formas de energía. Por ejemplo, un ciclista usa la energía química proporcionada por los alimentos para acelerar una bicicleta a una velocidad determinada. En una superficie nivelada, esta velocidad se puede mantener sin más trabajo, excepto para vencer la resistencia del aire y la fricción. La energía química se ha convertido en energía cinética, la energía del movimiento, pero el proceso no es completamente eficiente y produce calor dentro del ciclista.

La energía cinética en el ciclista en movimiento y la bicicleta se puede convertir a otras formas. Por ejemplo, el ciclista podría encontrar una colina lo suficientemente alta como para subir, de modo que la bicicleta se detenga por completo en la cima. La energía cinética ahora se ha convertido en gran parte en energía potencial gravitatoria que puede liberarse al descender por el otro lado de la colina. Dado que la bicicleta perdió parte de su energía debido a la fricción, nunca recupera toda su velocidad sin un pedaleo adicional. La energía no se destruye; sólo se ha convertido a otra forma por fricción. Alternativamente, el ciclista podría conectar una dinamo a una de las ruedas y generar algo de energía eléctrica en el descenso. La bicicleta viajaría más despacio al pie de la colina que sin el generador porque parte de la energía se ha desviado a energía eléctrica. Otra posibilidad sería que el ciclista aplicara los frenos, en cuyo caso la energía cinética se disiparía a través de la fricción en forma de calor.

Como cualquier cantidad física que sea función de la velocidad, la energía cinética de un objeto depende de la relación entre el objeto y el marco de referencia del observador. Por lo tanto, la energía cinética de un objeto no es invariante.

Las naves espaciales utilizan energía química para lanzar y obtener una energía cinética considerable para alcanzar la velocidad orbital. En una órbita completamente circular, esta energía cinética permanece constante porque casi no hay fricción en el espacio cercano a la Tierra. Sin embargo, se hace evidente en el reingreso cuando parte de la energía cinética se convierte en calor. Si la órbita es elíptica o hiperbólica, entonces a lo largo de la órbita se intercambian energía cinética y potencial; la energía cinética es mayor y la energía potencial es menor en el acercamiento más cercano a la tierra u otro cuerpo masivo, mientras que la energía potencial es mayor y la energía cinética es menor a la distancia máxima. Sin embargo, sin tener en cuenta la pérdida o la ganancia, la suma de la energía cinética y potencial permanece constante.

La energía cinética puede pasar de un objeto a otro. En el juego de billar, el jugador impone energía cinética a la bola blanca golpeándola con el taco. Si la bola blanca choca con otra bola, se ralentiza drásticamente, y la bola contra la que golpea acelera su velocidad a medida que se le transmite la energía cinética. Las colisiones en el billar son efectivamente colisiones elásticas, en las que se conserva la energía cinética. En las colisiones inelásticas, la energía cinética se disipa en varias formas de energía, como calor, sonido y energía de unión (rotura de estructuras unidas).

Los volantes se han desarrollado como un método de almacenamiento de energía. Esto ilustra que la energía cinética también se almacena en el movimiento de rotación.

Existen varias descripciones matemáticas de la energía cinética que la describen en la situación física apropiada. Para objetos y procesos en la experiencia humana común, es adecuada la fórmula ½mv² dada por la mecánica newtoniana (clásica). Sin embargo, si la velocidad del objeto es comparable a la velocidad de la luz, los efectos relativistas se vuelven significativos y se utiliza la fórmula relativista. Si el objeto está en la escala atómica o subatómica, los efectos mecánicos cuánticos son significativos y se debe emplear un modelo mecánico cuántico.

Energía cinética newtoniana

La energía cinética es siempre inversamente proporcional a la energía potencial
La energía cinética es siempre inversamente proporcional a la energía potencial

Energía cinética de cuerpos rígidos

En la mecánica clásica, la energía cinética de un objeto puntual (un objeto tan pequeño que se puede suponer que su masa existe en un punto), o un cuerpo rígido que no gira, depende de la masa del cuerpo y de su velocidad. La energía cinética es igual a la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. En forma de fórmula: {displaystyle E_{text{k}}={frac {1}{2}}mv^{2}}

donde metroes la masa y ves la rapidez (magnitud de la velocidad) del cuerpo. En unidades del SI, la masa se mide en kilogramos, la velocidad en metros por segundo y la energía cinética resultante en julios.

Por ejemplo, uno podría calcular la energía cinética de una masa de 80 kg (alrededor de 180 libras) que viaja a 18 metros por segundo (alrededor de 40 mph o 65 km/h) como {displaystyle E_{text{k}}={frac {1}{2}}cdot 80,{text{kg}}cdot left(18,{text{m/s} }right)^{2}=12,960,{text{J}}=12.96,{text{kJ}}}

Cuando una persona lanza una pelota, la persona trabaja sobre ella para darle velocidad cuando sale de la mano. La bola en movimiento puede entonces golpear algo y empujarlo, realizando un trabajo sobre lo que golpea. La energía cinética de un objeto en movimiento es igual al trabajo requerido para traerlo desde el reposo a esa velocidad, o el trabajo que el objeto puede hacer mientras se detiene: fuerza neta × desplazamiento = energía cinética, es decir, {displaystyle Fs={frac{1}{2}}mv^{2}}

Dado que la energía cinética aumenta con el cuadrado de la velocidad, un objeto que duplica su velocidad tiene cuatro veces más energía cinética. Por ejemplo, un automóvil que viaja el doble de rápido que otro requiere cuatro veces más distancia para detenerse, suponiendo una fuerza de frenado constante. Como consecuencia de esta cuadruplicación, se necesita cuatro veces el trabajo para duplicar la velocidad.

La energía cinética de un objeto está relacionada con su cantidad de movimiento por la ecuación: E_{text{k}}={frac{p^{2}}{2m}}

donde:

Para la energía cinética de traslación, que es la energía cinética asociada con el movimiento rectilíneo, de un cuerpo rígido con masa constante metro, cuyo centro de masa se mueve en línea recta con velocidad v, como se ve arriba es igual a {displaystyle E_{text{t}}={frac {1}{2}}mv^{2}}

donde:

La energía cinética de cualquier entidad depende del marco de referencia en el que se mide. Sin embargo, la energía total de un sistema aislado, es decir, en el que la energía no puede entrar ni salir, no cambia con el tiempo en el marco de referencia en el que se mide. Por lo tanto, la energía química convertida en energía cinética por un motor de cohete se divide de manera diferente entre el cohete y su flujo de escape, según el marco de referencia elegido. Esto se llama el efecto Oberth. Pero la energía total del sistema, incluida la energía cinética, la energía química del combustible, el calor, etc., se conserva en el tiempo, independientemente de la elección del marco de referencia. Sin embargo, diferentes observadores que se mueven con diferentes marcos de referencia estarían en desacuerdo sobre el valor de esta energía conservada.

La energía cinética de tales sistemas depende de la elección del marco de referencia: el marco de referencia que da el valor mínimo de esa energía es el marco del centro del momento, es decir, el marco de referencia en el que el momento total del sistema es cero. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema como un todo.

Derivación

Sin vectores y cálculo

El trabajo W realizado por una fuerza F sobre un objeto a lo largo de una distancia s paralela a F es igual a {displaystyle W=Fcdot s}.

Usando la segunda ley de Newton F = ma

con m la masa y a la aceleración del objeto y {displaystyle s={frac{en^{2}}{2}}}

la distancia recorrida por el objeto acelerado en el tiempo t, encontramos con {displaystyle v=en}para la velocidad v del objeto {displaystyle W=ma{frac {en^{2}}{2}}={frac {m(en)^{2}}{2}}={frac {mv^{2}}{ 2}}.}

Con vectores y cálculo

El trabajo realizado al acelerar una partícula con masa m durante el intervalo de tiempo infinitesimal dt está dado por el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento infinitesimal d x mathbf {F} cdot dmathbf {x} =mathbf {F} cdot mathbf {v} dt={frac {dmathbf {p} }{dt}}cdot mathbf {v} dt=mathbf {v} cdot dmathbf {p} =mathbf {v} cdot d(mmathbf {v}),,

donde hemos asumido la relación p = m v y la validez de la Segunda Ley de Newton. (Sin embargo, vea también la derivación relativista especial a continuación).

Aplicando la regla del producto vemos que: {displaystyle d(mathbf {v} cdot mathbf {v})=(dmathbf {v})cdot mathbf {v} +mathbf {v} cdot (dmathbf {v}) =2(mathbf {v} cdot dmathbf {v}).}

Por lo tanto, (asumiendo una masa constante para que dm = 0), tenemos, {displaystyle mathbf {v} cdot d(mmathbf {v})={frac {m}{2}}d(mathbf {v} cdot mathbf {v})={frac { m}{2}}dv^{2}=dizquierda({frac {mv^{2}}{2}}derecha).}

Dado que este es un diferencial total (es decir, solo depende del estado final, no de cómo llegó allí la partícula), podemos integrarlo y llamar al resultado energía cinética. Suponiendo que el objeto estaba en reposo en el tiempo 0, integramos desde el tiempo 0 hasta el tiempo t porque el trabajo realizado por la fuerza para llevar el objeto desde el reposo hasta la velocidad v es igual al trabajo necesario para hacer lo contrario: {displaystyle E_{text{k}}=int_{0}^{t}mathbf {F} cdot dmathbf {x} =int_{0}^{t}mathbf {v } cdot d(mmathbf {v})=int _{0}^{t}dleft({frac {mv^{2}}{2}}right)={frac {mv ^{2}}{2}}.}

Esta ecuación establece que la energía cinética (E k) es igual a la integral del producto escalar de la velocidad (v) de un cuerpo y el cambio infinitesimal del momento del cuerpo (p). Se supone que el cuerpo comienza sin energía cinética cuando está en reposo (inmóvil).

Cuerpos giratorios

Si un cuerpo rígido Q gira alrededor de cualquier línea que pasa por el centro de masa, entonces tiene energía cinética rotacional (E_{texto{r}},) que es simplemente la suma de las energías cinéticas de sus partes móviles, y por lo tanto viene dada por: {displaystyle E_{text{r}}=int_{Q}{frac {v^{2}dm}{2}}=int_{Q}{frac {(romega)^ {2}dm}{2}}={frac {omega ^{2}}{2}}int _{Q}{r^{2}}dm={frac {omega ^{2} {2}}I={frac {1}{2}}Iomega ^{2}}

donde:

(En esta ecuación, el momento de inercia debe tomarse alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y la rotación medida por ω debe ser alrededor de ese eje; existen ecuaciones más generales para sistemas en los que el objeto está sujeto a oscilaciones debido a su forma excéntrica).

Energía cinética de los sistemas.

Un sistema de cuerpos puede tener energía cinética interna debido al movimiento relativo de los cuerpos en el sistema. Por ejemplo, en el Sistema Solar los planetas y planetoides están orbitando alrededor del Sol. En un tanque de gas, las moléculas se mueven en todas direcciones. La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de los cuerpos que contiene.

Un cuerpo macroscópico que está estacionario (es decir, se ha elegido un marco de referencia para corresponder al centro de impulso del cuerpo) puede tener varios tipos de energía interna a nivel molecular o atómico, que puede considerarse como energía cinética, debido a la traducción molecular, rotación y vibración, traslación y espín de electrones y espín nuclear. Todos estos contribuyen a la masa del cuerpo, según lo dispuesto por la teoría especial de la relatividad. Cuando se habla de los movimientos de un cuerpo macroscópico, la energía cinética a la que se hace referencia suele ser únicamente la del movimiento macroscópico. Sin embargo, todas las energías internas de todos los tipos contribuyen a la masa, la inercia y la energía total de un cuerpo.

La energía cinética es la liberación de la energía potencial acumulada
La energía cinética es la liberación de la energía potencial acumulada

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos, la energía cinética por unidad de volumen en cada punto de un campo de flujo de fluido incompresible se denomina presión dinámica en ese punto. {displaystyle E_{text{k}}={frac {1}{2}}mv^{2}}

Dividiendo por V, la unidad de volumen: {displaystyle {begin{alineado}{frac {E_{text{k}}}{V}}&={frac {1}{2}}{frac {m}{V}}v^ {2}\q&={frac {1}{2}}rhov^{2}end{alineado}}}

donde qes la presión dinámica y ρ es la densidad del fluido incompresible.

Marco de referencia

La velocidad y, por lo tanto, la energía cinética de un solo objeto depende del marco (relativo): puede tomar cualquier valor no negativo, eligiendo un marco de referencia inercial adecuado. Por ejemplo, una bala que pasa por un observador tiene energía cinética en el marco de referencia de este observador. La misma bala está estacionaria para un observador que se mueve con la misma velocidad que la bala, por lo que tiene energía cinética cero.Por el contrario, la energía cinética total de un sistema de objetos no puede reducirse a cero mediante una elección adecuada del marco de referencia inercial, a menos que todos los objetos tengan la misma velocidad. En cualquier otro caso, la energía cinética total tiene un mínimo distinto de cero, ya que no se puede elegir un marco de referencia inercial en el que todos los objetos estén estacionarios. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema, que es independiente del marco de referencia.

La energía cinética total de un sistema depende del marco de referencia inercial: es la suma de la energía cinética total en un marco de centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro de masa.

Esto puede mostrarse simplemente: sea textstyle mathbf {V}Sea la velocidad relativa del centro de masa del marco i en el marco k. Ya que {displaystyle v^{2}=left(v_{i}+Vright)^{2}=left(mathbf {v} _{i}+mathbf {V} right)cdot izquierda(mathbf {v}_{i}+mathbf {V} right)=mathbf {v}_{i}cdot mathbf {v}_{i}+2mathbf {v}_{ i}cdot mathbf {V} +mathbf {V} cdot mathbf {V} =v_{i}^{2}+2mathbf {v} _{i}cdot mathbf {V} + V^{2},}

Entonces, {displaystyle E_{text{k}}=int {frac {v^{2}}{2}}dm=int {frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+ mathbf {V} cdot int mathbf {v} _{i}dm+{frac {V^{2}}{2}}int dm.}

Sin embargo, deja {estilo de texto int {frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}la energía cinética en el marco del centro de masa, { estilo de texto int mathbf {v} _ {i} dm}sería simplemente el momento total que es por definición cero en el marco del centro de masa, y sea la masa total: { estilo de texto int dm = M}. Sustituyendo, obtenemos: {displaystyle E_{text{k}}=E_{i}+{frac {MV^{2}}{2}}.}

Por lo tanto, la energía cinética de un sistema es más baja en los marcos de referencia del centro de momento, es decir, marcos de referencia en los que el centro de masa es estacionario (ya sea el marco del centro de masa o cualquier otro marco del centro de momento). En cualquier marco de referencia diferente, hay energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masa. La energía cinética del sistema en el marco del centro del momento es una cantidad que es invariante (todos los observadores ven que es la misma).

Rotación en sistemas

A veces es conveniente dividir la energía cinética total de un cuerpo en la suma de la energía cinética de traslación del centro de masa del cuerpo y la energía de rotación alrededor del centro de masa (energía de rotación): {displaystyle E_{text{k}}=E_{text{t}}+E_{text{r}}}

donde:

Así, la energía cinética de una pelota de tenis en vuelo es la energía cinética debida a su rotación, más la energía cinética debida a su traslación.

Energía cinética relativista

Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significativa de la velocidad de la luz, es necesario utilizar la mecánica relativista para calcular su energía cinética. En la teoría de la relatividad especial, se modifica la expresión del momento lineal.

Siendo m la masa en reposo de un objeto, v y v su velocidad y rapidez, y c la velocidad de la luz en el vacío, usamos la expresión para momento lineal {displaystyle mathbf {p} =mgamma mathbf {v} }, donde {estilo de texto gamma =1/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

Integrando por partes rendimientos {displaystyle E_{text{k}}=int mathbf {v} cdot dmathbf {p} =int mathbf {v} cdot d(mgamma mathbf {v})=m gamma mathbf {v} cdot mathbf {v} -int mgamma mathbf {v} cdot dmathbf {v} =mgamma v^{2}-{frac {m}{ 2}}int gamma dleft(v^{2}right)}

Ya que {displaystyle gamma =left(1-v^{2}/c^{2}right)^{-{frac {1}{2}}}}, {displaystyle {begin{aligned}E_{text{k}}&=mgamma v^{2}-{frac {-mc^{2}}{2}}int gamma dleft (1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}right)\&=mgamma v^{2}+mc^{2}left(1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}right)^{frac {1}{2}}-E_{0}end{alineado}}}

E_{0}es una constante de integración para la integral indefinida.

Simplificando la expresión obtenemos {displaystyle {begin{alineado}E_{text{k}}&=mgamma left(v^{2}+c^{2}left(1-{frac {v^{2} {c^{2}}}derecha)derecha)-E_{0}\&=mgamma left(v^{2}+c^{2}-v^{2}derecha) -E_{0}\&=mgamma c^{2}-E_{0}end{alineado}}}

E_{0}se encuentra observando que cuando {displaystyle mathbf {v} =0, gamma =1}y {displaystyle E_{text{k}}=0}, donación {displaystyle E_{0}=mc^{2}}

dando como resultado la fórmula {displaystyle E_{text{k}}=mgamma c^{2}-mc^{2}={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{ 2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(gamma -1)mc^{2}}

Esta fórmula muestra que el trabajo invertido en acelerar un objeto desde el reposo se acerca al infinito a medida que la velocidad se acerca a la velocidad de la luz. Por lo tanto, es imposible acelerar un objeto a través de este límite.

El subproducto matemático de este cálculo es la fórmula de equivalencia masa-energía: el cuerpo en reposo debe tener un contenido de energía {displaystyle E_{text{resto}}=E_{0}=mc^{2}}

A baja velocidad (v ≪ c), la energía cinética relativista se aproxima bien a la energía cinética clásica. Esto se hace por aproximación binomial o tomando los dos primeros términos de la expansión de Taylor para la raíz cuadrada recíproca: {displaystyle E_{text{k}}aproximadamente mc^{2}left(1+{frac {1}{2}}{frac {v^{2}}{c^{2}} }right)-mc^{2}={frac{1}{2}}mv^{2}}

Entonces, la energía total E_{k}se puede dividir en la energía de la masa en reposo más la energía cinética newtoniana a bajas velocidades.

Cuando los objetos se mueven a una velocidad mucho menor que la de la luz (por ejemplo, en los fenómenos cotidianos en la Tierra), predominan los dos primeros términos de la serie. El siguiente término en la aproximación de la serie de Taylor {displaystyle E_{text{k}}aproximadamente mc^{2}left(1+{frac {1}{2}}{frac {v^{2}}{c^{2}} }+{frac {3}{8}}{frac {v^{4}}{c^{4}}}right)-mc^{2}={frac {1}{2}} mv^{2}+{frac {3}{8}}m{frac {v^{4}}{c^{2}}}}

es pequeño para bajas velocidades. Por ejemplo, para una velocidad de 10 km/s (22 000 mph), la corrección de la energía cinética newtoniana es de 0,0417 J/kg (sobre una energía cinética newtoniana de 50 MJ/kg) y para una velocidad de 100 km/s es 417 J/kg (sobre una energía cinética newtoniana de 5 GJ/kg).

La relación relativista entre la energía cinética y el momento está dada por E_{text{k}}={sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}

Esto también se puede expandir como una serie de Taylor, cuyo primer término es la expresión simple de la mecánica newtoniana: {displaystyle E_{text{k}}approx {frac {p^{2}}{2m}}-{frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}} }.}

Esto sugiere que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales y axiomáticas, sino conceptos que surgen de la equivalencia de masa y energía y los principios de la relatividad.

Contraposición entre energía cinética y potencial (en inglés)
Contraposición entre energía cinética y potencial (en inglés)

Relatividad general

Usando la convención que {displaystyle g_{alpha beta },u^{alpha },u^{beta },=,-c^{2}}

donde la velocidad de cuatro de una partícula es {displaystyle u^{alpha },=,{frac {dx^{alpha }}{dtau }}}

y taues el tiempo propio de la partícula, también hay una expresión para la energía cinética de la partícula en relatividad general.

Si la partícula tiene momento {displaystyle p_{beta },=,m,g_{beta alpha },u^{alpha }}

cuando pasa por un observador con u obs de cuatro velocidades, entonces la expresión de la energía total de la partícula tal como se observa (medida en un marco inercial local) es {displaystyle E,=,-,p_{beta },u_{text{obs}}^{beta }}

y la energía cinética se puede expresar como la energía total menos la energía restante: {displaystyle E_{k},=,-,p_{beta },u_{text{obs}}^{beta },-,m,c^{2},.}

Considere el caso de una métrica que es diagonal y espacialmente isotrópica (g tt, g ss, g ss, g ss). Ya que {displaystyle u^{alpha }={frac {dx^{alpha }}{dt}}{frac {dt}{dtau }}=v^{alpha }u^{t}}

donde v es la velocidad ordinaria medida con el sistema de coordenadas, obtenemos {displaystyle -c^{2}=g_{alpha beta }u^{alpha }u^{beta }=g_{tt}left(u^{t}right)^{2}+ g_{ss}v^{2}left(u^{t}right)^{2},.}

Resolver por ti da {displaystyle u^{t}=c{sqrt {frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}},.}

Así, para un observador estacionario (v = 0) {displaystyle u_{text{obs}}^{t}=c{sqrt {frac {-1}{g_{tt}}}}}

y por lo tanto la energía cinética toma la forma {displaystyle E_{text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{sqrt { frac{g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2},.}

Factorizando la energía en reposo se obtiene: E_{text{k}}=mc^{2}left({sqrt {frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1 derecho),.

Esta expresión se reduce al caso relativista especial para la métrica de espacio plano donde {displaystyle {begin{alineado}g_{tt}&=-c^{2}\g_{ss}&=1,.end{alineado}}}

En la aproximación newtoniana a la relatividad general {displaystyle {begin{alineado}g_{tt}&=-left(c^{2}+2Phi right)\g_{ss}&=1-{frac {2Phi }{ c^{2}}}end{alineado}}}

donde Φ es el potencial gravitatorio newtoniano. Esto significa que los relojes funcionan más lentos y las varillas de medición son más cortas cerca de los cuerpos masivos.

Energía cinética en la mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, los observables como la energía cinética se representan como operadores. Para una partícula de masa m, el operador de energía cinética aparece como un término en el hamiltoniano y se define en términos del operador de momento más fundamental { sombrero {p}}. El operador de energía cinética en el caso no relativista se puede escribir como {sombrero {T}}={frac {{sombrero {p}}^{2}}{2m}}.

Tenga en cuenta que esto se puede obtener reemplazando pagpor { sombrero {p}}en la expresión clásica de la energía cinética en términos de cantidad de movimiento, E_{text{k}}={frac {p^{2}}{2m}}.

En el cuadro de Schrödinger, { sombrero {p}}toma la forma -ihbarnabladonde se toma la derivada con respecto a las coordenadas de posición y por lo tanto {hat {T}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}.

El valor esperado de la energía cinética del electrón, {displaystyle leftlangle {hat {T}}rightrangle }, para un sistema de N electrones descrito por la función de onda vert psiranglees una suma de los valores esperados del operador de 1 electrón: {displaystyle leftlangle {hat {T}}rightrangle =leftlangle psi leftvert sum _{i=1}^{N}{frac {-hbar ^{ 2}}{2m_{text{e}}}}nabla _{i}^{2}rightvert psi rightrangle =-{frac {hbar ^{2}}{2m_{ text{e}}}}sum _{i=1}^{N}leftlangle psi leftvert nabla _{i}^{2}rightvert psi rightrangle }

donde m_{texto{e}}es la masa del electrón y nabla _{i}^{2}es el operador laplaciano que actúa sobre las coordenadas del i electrón y la suma se ejecuta sobre todos los electrones.

El formalismo funcional de la densidad de la mecánica cuántica requiere sólo el conocimiento de la densidad electrónica, es decir, formalmente no requiere el conocimiento de la función de onda. Dada una densidad de electrones rho (mathbf{r}), se desconoce el funcional exacto de la energía cinética de N electrones; sin embargo, para el caso específico de un sistema de 1 electrón, la energía cinética se puede escribir como {displaystyle T[rho ]={frac {1}{8}}int {frac {nabla rho (mathbf {r})cdot nabla rho (mathbf {r})} {rho (mathbf {r})}}d^{3}r}

donde T[rho]se conoce como funcional de energía cinética de von Weizsäcker.