Endomorfismo

Proyección ortogonal en una línea, mEs un operador lineal en el avión. Este es un ejemplo de un endomorfismo que no es un automorfismo.

En matemáticas, un endomorfismo es un morfismo de un objeto matemático a sí mismo. Un endomorfismo que también es un isomorfismo es un automorfismo. Por ejemplo, un endomorfismo de un espacio vectorial V es un mapa lineal f: V → V, y un endomorfismo de un grupo G es un homomorfismo de grupo f: G → G. En general, podemos hablar de endomorfismos en cualquier categoría. En la categoría de conjuntos, los endomorfismos son funciones de un conjunto S a sí mismo.

En cualquier categoría, la composición de dos endomorfismos de X es nuevamente un endomorfismo de X. De ello se deduce que el conjunto de todos los endomorfismos de X forma un monoide, el monoide de transformación completa, y se denota End(X) (o Fin_C(X) para enfatizar la categoría C).

Automorfismos

Un endomorfismo invertible de X se denomina automorfismo. El conjunto de todos los automorfismos es un subconjunto de End(X) con una estructura de grupo, denominada grupo de automorfismos de X y denotado Aut(X). En el siguiente diagrama, las flechas indican implicación:

Anillos de endomorfismo

Dos endomorfismos cualesquiera de un grupo abeliano, A, pueden sumarse mediante la regla (f + g)(a) = f(a) + g (a). Bajo esta adición, y definiéndose la multiplicación como composición de funciones, los endomorfismos de un grupo abeliano forman un anillo (el anillo de endomorfismos). Por ejemplo, el conjunto de endomorfismos de ℤⁿ es el anillo de todos n × n con entradas enteras. Los endomorfismos de un espacio vectorial o módulo también forman un anillo, al igual que los endomorfismos de cualquier objeto en una categoría preaditiva. Los endomorfismos de un grupo no abeliano generan una estructura algebraica conocida como anillo cercano. Todo anillo con uno es el anillo de endomorfismo de su módulo regular, y también lo es un subanillo de un anillo de endomorfismo de un grupo abeliano; sin embargo, hay anillos que no son el anillo de endomorfismo de ningún grupo abeliano.

Teoría del operador

En cualquier categoría concreta, especialmente para espacios vectoriales, los endomorfismos son mapas de un conjunto en sí mismo, y pueden interpretarse como operadores unarios en ese conjunto, actuando sobre los elementos y permitiendo definir la noción de órbitas de los elementos, etc..

Dependiendo de la estructura adicional definida para la categoría en cuestión (topología, métrica,...), dichos operadores pueden tener propiedades como continuidad, acotación, etc. Se deben encontrar más detalles en el artículo sobre la teoría del operador.

Endofunciones

Una endofunción es una función cuyo dominio es igual a su codominio. Una endofunción homomórfica es un endomorfismo.

Sea S un conjunto arbitrario. Entre las endofunciones en S se encuentran permutaciones de S y funciones constantes asociando a cada x en S el mismo elemento c en S. Cada permutación de S tiene el codominio igual a su dominio y es biyectiva e invertible. Si S tiene más de un elemento, una función constante en S tiene una imagen que es un subconjunto propio de su codominio y, por lo tanto, no es biyectiva (y, por lo tanto, no invertible). La función que asocia a cada número natural n el suelo de n/2 tiene su imagen igual a su codominio y no es invertible.

Las endofunciones finitas son equivalentes a los pseudobosques dirigidos. Para conjuntos de tamaño n hay nⁿ endofunciones en el set.

Ejemplos particulares de endofunciones biyectivas son las involuciones; es decir, las funciones coincidentes con sus inversas.