Empaquetado cerrado de esferas iguales.

En geometría, empaquetado de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición (o red) infinita y regular. Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad promedio más alta (es decir, la mayor fracción de espacio ocupada por esferas) que se puede lograr mediante un empaquetamiento reticular es

${displaystyle {frac {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fn\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin } {3{sqrt {2}}approx 0.74048}$.

La misma densidad de empaquetamiento también se puede lograr mediante apilamientos alternos de los mismos planos de esferas muy juntos, incluidas estructuras que son aperiódicas en la dirección de apilamiento. La conjetura de Kepler afirma que ésta es la densidad más alta que se puede alcanzar mediante cualquier disposición de esferas, ya sea regular o irregular. Esta conjetura fue probada por T. C. Hales. La densidad más alta se conoce sólo para 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones.

Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaquetado compacto de un solo tipo de átomo, o en un empaquetado compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Las disposiciones cúbica y hexagonal tienen mucha energía entre sí y puede resultar difícil predecir qué forma será la preferida a partir de los primeros principios.

Enrejados FCC y HCP

FCC		HCP
El FCC la disposición puede orientarse en dos planos diferentes, cuadrados o triangulares. Estos pueden verse en el cuboctaedro con 12 vértices que representan las posiciones de 12 esferas vecinas alrededor de una esfera central. El HCP disposición se puede ver en la orientación triangular, pero alterna dos posiciones de esferas, en un arreglo triangular ortobicupola.

Hay dos redes regulares simples que logran esta densidad promedio más alta. Se denominan cúbicos centrados en las caras (FCC) (también llamados cubicos compactos) y hexagonales compactos. (HCP), en función de su simetría. Ambos se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un mosaico triangular; se diferencian en cómo se apilan las hojas unas sobre otras. Los matemáticos también conocen la red FCC como la generada por el sistema de raíces A₃.

Problema de bala de cañón

El problema del empaquetado compacto de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le planteara una pregunta sobre el apilamiento de balas de cañón en los barcos en su expedición a América. Las balas de cañón generalmente se apilaban en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro lados. Ambas disposiciones producen una red cúbica centrada en las caras, con diferente orientación con respecto al suelo. El empaquetamiento hexagonal daría como resultado una pirámide de seis lados con una base hexagonal.

El problema del cañón pregunta qué arreglos cuadrados planos de canonballs se pueden apilar en una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación Diofantina ${displaystyle sum _{n=1}{N}n^{2}=M^{2}$ o ${displaystyle {frac {1}{6}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ y conjetura que las únicas soluciones son ${displaystyle N=1,M=1,}$ y ${displaystyle N=24,M=70}$. Aquí. ${displaystyle N}$ es el número de capas en el arreglo de apilación piramidal y ${displaystyle M}$ es el número de canonballs a lo largo de un borde en el arreglo cuadrado plano.

Posicionamiento y espaciado

Tanto en el acuerdo FCC como en el HCP, cada esfera tiene doce vecinos. Por cada esfera hay un espacio rodeado por seis esferas (octaédrico) y dos espacios más pequeños rodeados por cuatro esferas (tetraédrico). Las distancias a los centros de estos espacios desde los centros de las esferas circundantes son √3⁄2 para el tetraédrico, y √2 para el octaédrico, cuando el radio de la esfera es 1.

En relación con una capa de referencia con posicionamiento A, son posibles dos posicionamientos más B y C. Cada secuencia de A, B y C sin repetición inmediata de la misma es posible y proporciona un empaquetamiento igualmente denso para esferas de un radio dado.

Los más habituales son

• FCC = ABC ABC ABC... (cada tercera capa es la misma)
• HCP = AB AB AB... (toda otra capa es la misma).

Existe un número infinito e incontable de disposiciones desordenadas de planos (por ejemplo, ABCACBABABAC...) que a veces se denominan colectivamente "empaquetaduras de Barlow", en honor al cristalógrafo William Barlow.

En empaquetado compacto, el espaciado de centro a centro de las esferas en el plano xy es un mosaico simple en forma de panal con un paso (distancia entre los centros de las esferas) de un diámetro de esfera. La distancia entre los centros de las esferas, proyectada sobre el eje z (vertical), es:

${displaystyle {text{pitch}_{Z}={sqrt {6}cdot {d over 3}approx 0.816,496,58d,}$

donde d es el diámetro de una esfera; esto se desprende de la disposición tetraédrica de esferas muy compactas.

The coordination number of HCP and FCC is 12 and their atomic packing factors (APFs) are equal to the number mentioned above, 0.74.

Comparación entre HCP y FCC
Gráfico 1 – La rejilla HCP (izquierda) y la rejilla FCC (derecha). El contorno de cada rejilla Bravais respectiva se muestra en rojo. Las letras indican qué capas son las mismas. Hay dos capas "A" en la matriz HCP, donde todas las esferas están en la misma posición. Las tres capas de la pila FCC son diferentes. Tenga en cuenta que el apilado FCC se puede convertir en el apilado HCP mediante la traducción de la esfera más alta, como se muestra en el esbozo desgarrado.

Gráfico 2 – Aquí se muestra una pila de once esferas de las HCP lattice illustrated in Gráfico 1. La pila HCP difiere de los 3 niveles superiores de la pila FCC mostrada en Gráfico 3 sólo en el nivel más bajo; puede ser modificado a FCC por una rotación o traducción apropiada.	Gráfico 3 – Thomas Harriot, cerca de 1585, primero ponderó las matemáticas de la arreglo de bola de cañón o pila de cañón, que tiene FCC Lattice. Observe cómo las bolas adyacentes a lo largo de cada borde del tetraedro regular que encierra la pila están en contacto directo entre sí. Esto no ocurre en una celosa HCP, como se muestra en Gráfico 2.

Generación de celosía

Al formar cualquier red de empaquetamiento de esferas, el primer hecho a tener en cuenta es que cada vez que dos esferas se tocan, se puede trazar una línea recta desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra intersectando el punto de contacto. La distancia entre los centros a lo largo del camino más corto, es decir, esa línea recta, será, por tanto, r₁ + r₂ donde r₁ es el radio de la primera esfera y r₂ es el radio de la segunda. En un empaque compacto, todas las esferas comparten un radio común, r. Por lo tanto, dos centros simplemente tendrían una distancia 2r.

Enrejado HCP simple

Para formar un empaquetamiento hexagonal de esferas A-B-A-B-..., los puntos de coordenadas de la red serán las esferas' centros. Supongamos que el objetivo es llenar una caja con esferas según HCP. El cuadro se colocaría en el espacio de coordenadas x-y-z.

Primero forma una fila de esferas. Todos los centros estarán en línea recta. Su coordenada x variará en 2r ya que la distancia entre cada centro de las esferas que se tocan es 2r. La coordenada y y la coordenada z serán las mismas. Para simplificar, digamos que las bolas son la primera fila y que sus coordenadas y y z son simplemente r, de modo que sus superficies descansan en los planos cero. Las coordenadas de los centros de la primera fila se verán así (2r, r, r), (4r, r, r), (6r,r, r), (8r,r, r),....

Ahora, forma la siguiente fila de esferas. Nuevamente, todos los centros estarán en una línea recta con diferencias de coordenadas x de 2r, pero habrá un cambio de distancia r en la dirección x de modo que el centro de cada esfera en esta fila se alinee con la coordenada x de donde se tocan dos esferas en la primera fila. Esto permite que las esferas de la nueva fila se deslicen más cerca de la primera fila hasta que todas las esferas de la nueva fila toquen dos esferas de la primera fila. Dado que las nuevas esferas tocan dos esferas, sus centros forman un triángulo equilátero con los dos vecinos. centros. Las longitudes de los lados son todas 2r, por lo que la altura o la diferencia de coordenadas y entre las filas es √3r. Así, esta fila tendrá coordenadas como esta:

${displaystyle left(r,r+{sqrt {3}r,rright),left(3r,r+{sqrt {3}r,rright),left(5r,r+{sqrt {3}r,rright),left(7r,r+{sqrt {3}rdor]$

La primera esfera de esta fila solo toca una esfera en la fila original, pero su ubicación sigue la misma que la del resto de la fila.

La siguiente fila sigue este patrón de cambiar la coordenada x por r y la coordenada y por √3. Agregue filas hasta alcanzar los bordes máximos x y y del cuadro.

En un patrón de apilamiento A-B-A-B-..., los planos impares de esferas tendrán exactamente las mismas coordenadas salvo por una diferencia de tono en las coordenadas z y los planos pares de esferas compartirán las mismas coordenadas x e y. Ambos tipos de planos se forman usando el patrón mencionado anteriormente, pero el lugar de inicio para la primera esfera de la primera fila será diferente.

Usando el plano descrito precisamente arriba como plano #1, el plano A, coloque una esfera encima de este plano de manera que toque tres esferas en el plano A. Las tres esferas ya se están tocando entre sí, formando un triángulo equilátero, y como todas tocan la nueva esfera, los cuatro centros forman un tetraedro regular. Todos los lados son iguales a 2r porque todos los lados están formados por dos esferas que se tocan. La altura de la cual o la diferencia de coordenadas z entre los dos "planos" es √6r2/3. Esto, combinado con los desplazamientos en las coordenadas x e y, da los centros de la primera fila en el plano B:

${displaystyle left(r,r+{frac {{sqrt {3}r} {} {3}}} {frac {sqrt {6} {3}}derecha),\left(3r,r+{frac {{sqrt {{sqrt {3}r} {3}}}},r+{frac {{sqrt {6}r2}{3}}right), left(5r,r+{frac {{sqrt {3}r} {3}} {fnMicroc {{sqrt {6}r2}{3}}derecha), left(7r,r+{frac {{sqrt {3}r} {3}}},r+{frac {sqrt {6}r2} {3}derecha),dots.}$

Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente y son:

${displaystyle left(2r,r+{frac {4{sqrt {3}r} {3}}}},r+{frac {{sqrt {6}r2}{3}}right), left(4r,r+{frac} {4{sqrt {3}r}{3},r+{frac} {sqrt {6}r2} {3}}derecha),left(6r,r+{frac {4{sqrt {3}r}{3},r+{frac} {sqrt {6}r2} {3}}derecho),left(8r,r+{frac} {fnMicroc} {4{sqrt {3}r}{3},r+{frac} {sqrt {6}r2} {3}derecha),dots.}$

La diferencia con el siguiente plano, el plano A, es nuevamente √6r2/ 3 en la dirección z y un desplazamiento en las direcciones x y y para que coincida con las coordenadas x e y del primer plano A.

En general, las coordenadas de los centros de las esferas se pueden escribir como:

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {2})\sqrt {3}}left[j+{frac {1}{3}} {bmod {2}})right]{fnMicroc {2{sqsqsqrt}} {f}}}} {f}}}}}}}f}}}\f}m}fnMicroc}f}f}f}f}f}f}\\\\\\fnfnf}\f}fn\fn\\\\fnMicrox}fnMicrox}\fn\\f}bfnfnMinMicrocfnMicrox}fnMicrox}}fnMicrox}f}}fn {6}} {3}kend{bmatrix}r} {}}} {}} {}} {}} {}} {}}} {}} {}}} {}}}}} {}}} {}}} {}} {}}} {}} {}} {}}} {}} {}}}} {}}}}} {}}} {}}}}} {}}} {}}}}} {}}}}} {}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}} {} {}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}} {} kend {end {} {} {end {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {}} {} {} {}}}}} {}}}}}}} {} {}}}}}$

donde i, j y k son índices que comienzan en 0 para x-, Coordenadas y y z.

Índices de Miller

Las características cristalográficas de los sistemas HCP, como vectores y familias de planos atómicos, se pueden describir utilizando una notación de índice de Miller de cuatro valores (hkil) en la que el tercer índice i denota un componente conveniente pero degenerado que es igual a −h − k. Las direcciones de índice h, i y k están separadas por 120° y, por lo tanto, no son ortogonales; el componente l es mutuamente perpendicular a las direcciones del índice h, i y k.

Llenando el espacio restante

Los empaquetamientos FCC y HCP son los empaquetamientos más densos conocidos de esferas iguales con la mayor simetría (unidades repetidas más pequeñas). Se conocen empaquetaduras de esferas más densas, pero implican empaquetaduras de esferas desiguales. Una densidad de empaquetamiento de 1, que llena el espacio por completo, requiere formas no esféricas, como los panales.

Reemplazar cada punto de contacto entre dos esferas con un borde que conecta los centros de las esferas en contacto produce tetraedros y octaedros de longitudes de borde iguales. La disposición FCC produce el panal tetraédrico-octaédrico. La disposición HCP produce el panal tetraédrico-octaédrico giratorio. Si, en cambio, cada esfera se aumenta con los puntos en el espacio que están más cerca de ella que de cualquier otra esfera, se producen los duales de estos panales: el panal dodecaédrico rómbico para FCC, y el panal dodecaédrico trapezo-rómbico para HCP.

Aparecen burbujas esféricas en agua con jabón en una disposición FCC o HCP cuando se drena el agua de los espacios entre las burbujas. Este patrón también se acerca al panal dodecaédrico rómbico o al panal dodecaédrico trapezo-rómbico. Sin embargo, dichas espumas FCC o HCP con un contenido líquido muy pequeño son inestables, ya que no cumplen las leyes de Plateau. La espuma Kelvin y la espuma Weaire-Phelan son más estables y tienen una energía interfacial más pequeña en el límite de un contenido líquido muy pequeño.

Hay dos tipos de agujeros intersticiales que dejan las conformaciones hcp y fcc; vacío tetraédrico y octaédrico. Cuatro esferas rodean el agujero tetraédrico, tres esferas en una capa y una esfera en la siguiente capa. Seis esferas rodean vacíos octaédricos con tres esferas provenientes de una capa y tres esferas provenientes de la siguiente capa. Las estructuras de muchos compuestos químicos simples, por ejemplo, a menudo se describen en términos de átomos pequeños que ocupan huecos tetraédricos u octaédricos en sistemas empaquetados cerrados que se forman a partir de átomos más grandes.

Las estructuras en capas se forman alternando planos octaédricos vacíos y llenos. Dos capas octaédricas generalmente permiten cuatro disposiciones estructurales que pueden llenarse con un hpc o sistemas de empaquetadura fcc. Al llenar agujeros tetraédricos, un relleno completo conduce a una matriz de campo fcc. En las celdas unitarias, el relleno de huecos a veces puede conducir a matrices poliédricas con una mezcla de capas hcp y fcc.