Emmy noether

Amalie Emmy Noether (,; alemán: [ˈnøːtɐ]; 23 de marzo de 1882 - 14 de abril de 1935) fue un matemático alemán que hizo muchas contribuciones importantes al álgebra abstracta. Descubrió el primer y segundo teorema de Noether, que son fundamentales en la física matemática. Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl y Norbert Wiener la describieron como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. Como una de las principales matemáticas de su tiempo, desarrolló algunas teorías de anillos, campos y álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión entre la simetría y las leyes de conservación.

Noether nació en una familia judía en la ciudad de Erlangen, en Franconia; su padre fue el matemático Max Noether. Originalmente planeó enseñar francés e inglés después de aprobar los exámenes requeridos, pero en cambio estudió matemáticas en la Universidad de Erlangen, donde su padre daba clases. Después de completar su doctorado en 1907 bajo la supervisión de Paul Gordan, trabajó sin paga en el Instituto Matemático de Erlangen durante siete años. En ese momento, las mujeres estaban en gran medida excluidas de los puestos académicos. En 1915, David Hilbert y Felix Klein la invitaron a unirse al departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen, un centro de investigación matemática de renombre mundial. Sin embargo, la facultad filosófica se opuso y pasó cuatro años dando conferencias bajo el nombre de Hilbert. Su habilitación fue aprobada en 1919, lo que le permitió obtener el grado de Privatdozent.

Noether siguió siendo un miembro destacado del departamento de matemáticas de Göttingen hasta 1933; sus alumnos a veces se llamaban los "Noether boys". En 1924, el matemático holandés B. L. van der Waerden se unió a su círculo y pronto se convirtió en el principal expositor de las ideas de Noether; su trabajo fue la base del segundo volumen de su influyente libro de texto de 1931, Moderne Algebra. En el momento de su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1932 en Zürich, su perspicacia algebraica fue reconocida en todo el mundo. Al año siguiente, el gobierno nazi de Alemania despidió a los judíos de los puestos universitarios y Noether se mudó a los Estados Unidos para ocupar un puesto en el Bryn Mawr College en Pensilvania, donde enseñó, entre otros, a mujeres de doctorado y posgrado, incluida Marie. Johanna Weiss, Ruth Stauffer, Grace Shover Quinn y Olga Taussky-Todd. Al mismo tiempo, dio conferencias y realizó investigaciones en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey.

El trabajo matemático de Noether se ha dividido en tres "épocas". En el primero (1908-1919), hizo contribuciones a las teorías de las invariantes algebraicas y los campos numéricos. Su trabajo sobre invariantes diferenciales en el cálculo de variaciones, el teorema de Noether, ha sido calificado como "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás probados para guiar el desarrollo de la física moderna". En la segunda época (1920-1926), comenzó un trabajo que "cambió la faz del álgebra [abstracta]". En su artículo clásico de 1921 Idealtheorie in Ringbereichen (Teoría de ideales en dominios de anillos), Noether desarrolló la teoría de ideales en anillos conmutativos en una herramienta con una amplia gama de aplicaciones. Hizo un uso elegante de la condición de la cadena ascendente, y los objetos que la satisfacen se denominan Noetherian en su honor. En la tercera época (1927-1935), publicó trabajos sobre álgebras no conmutativas y números hipercomplejos y unió la teoría de la representación de grupos con la teoría de módulos e ideales. Además de sus propias publicaciones, Noether fue generosa con sus ideas y se le atribuyen varias líneas de investigación publicadas por otros matemáticos, incluso en campos muy alejados de su obra principal, como la topología algebraica.

Vida privada

Noether creció en la ciudad bávara de Erlangen, representado aquí en una postal de 1916

Emmy Noether con sus hermanos Alfred, Fritz y Robert, antes de 1918

Emmy Noether nació el 23 de marzo de 1882, el primero de cuatro hijos del matemático Max Noether e Ida Amalia Kaufmann, ambos de familias de comerciantes judíos. Su primer nombre era "Amalie", en honor a su madre y su abuela paterna, pero comenzó a usar su segundo nombre a una edad temprana e invariablemente usaba el nombre "Emmy Noether" en su vida adulta y sus publicaciones.

En su juventud, Noether no se destacó académicamente aunque se destacó por ser inteligente y amigable. Era miope y hablaba con un leve ceceo durante su infancia. Un amigo de la familia contó una historia años más tarde sobre el joven Noether resolviendo rápidamente un acertijo en una fiesta infantil, mostrando perspicacia lógica a esa temprana edad. Le enseñaron a cocinar y a limpiar, como a la mayoría de las niñas de la época, y tomó lecciones de piano. No persiguió ninguna de estas actividades con pasión, aunque le encantaba bailar.

Tenía tres hermanos menores: el mayor, Alfred, nació en 1883, se doctoró en química en Erlangen en 1909, pero murió nueve años después. Fritz Noether, nacido en 1884, es recordado por sus logros académicos. Después de estudiar en Munich, se ganó una reputación en matemáticas aplicadas. Fue ejecutado en la Unión Soviética en 1941. El más joven, Gustav Robert, nació en 1889. Se sabe muy poco sobre su vida; padecía una enfermedad crónica y murió en 1928.

En 1935, Noether se sometió a una cirugía por un quiste ovárico y, a pesar de los signos de recuperación, murió cuatro días después a la edad de 53 años.

Vida universitaria y educación

Paul Gordan supervisado La tesis doctoral de Noether sobre invariantes de formas biquadraticas.

Noether mostró una competencia temprana en francés e inglés. En la primavera de 1900, se presentó al examen para profesores de estos idiomas y obtuvo una puntuación global de sehr gut (muy buena). Su desempeño la capacitó para enseñar idiomas en escuelas reservadas para niñas, pero optó por continuar sus estudios en la Universidad de Erlangen.

Esta fue una decisión poco convencional; dos años antes, el Senado Académico de la universidad había declarado que permitir la educación mixta "derrocaría todo el orden académico". Una de las dos únicas mujeres en una universidad de 986 estudiantes, a Noether solo se le permitió asistir a clases como oyente en lugar de participar plenamente, y requirió el permiso de los profesores individuales a cuyas conferencias deseaba asistir. A pesar de estos obstáculos, el 14 de julio de 1903 aprobó el examen de graduación en un Realgymnasium en Nuremberg.

Durante el semestre de invierno de 1903–1904, estudió en la Universidad de Göttingen y asistió a conferencias impartidas por el astrónomo Karl Schwarzschild y los matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein y David Hilbert. Poco después, se rescindieron las restricciones a la participación de mujeres en esa universidad.

Noether regresó a Erlangen. Regresó oficialmente a la universidad en octubre de 1904 y declaró su intención de centrarse únicamente en las matemáticas. Bajo la supervisión de Paul Gordan, escribió su disertación, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sobre sistemas completos de invariantes para formas bicuadráticas ternarias, 1907). Gordan fue miembro de la "computational" escuela de investigadores de invariantes, y la tesis de Noether terminó con una lista de más de 300 invariantes explícitamente elaborados. Este enfoque de los invariantes fue reemplazado más tarde por el enfoque más abstracto y general iniciado por Hilbert. Aunque había sido bien recibido, Noether más tarde describió su tesis y una serie de artículos similares posteriores que produjo como 'basura'.

Período de enseñanza

Universidad de Erlangen

Durante los siguientes siete años (1908-1915) enseñó en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Erlangen sin recibir salario, reemplazando ocasionalmente a su padre cuando estaba demasiado enfermo para dar clases. En 1910 y 1911 publicó una extensión de su trabajo de tesis de tres variables a n variables.

Noether a veces usó postales para discutir álgebra abstracta con su colega, Ernst Fischer. Esta tarjeta está marcada el 10 de abril de 1915.

Gordan se retiró en la primavera de 1910, pero continuó enseñando ocasionalmente con su sucesor, Erhard Schmidt, quien se fue poco después para ocupar un puesto en Breslau. Gordon se retiró de la enseñanza por completo en 1911 cuando llegó el sucesor de Schmidt, Ernst Fischer; Gordon murió un año después, en diciembre de 1912.

Según Hermann Weyl, Fischer fue una influencia importante en Noether, en particular al presentarle el trabajo de David Hilbert. De 1913 a 1916 Noether publicó varios artículos extendiendo y aplicando los métodos de Hilbert a objetos matemáticos tales como campos de funciones racionales y los invariantes de grupos finitos. Esta fase marca el comienzo de su compromiso con el álgebra abstracta, el campo de las matemáticas al que haría contribuciones innovadoras.

Noether y Fischer compartían un vivo disfrute de las matemáticas y, a menudo, discutían las conferencias mucho después de que habían terminado; Se sabe que Noether envió postales a Fischer continuando su línea de pensamientos matemáticos.

Universidad de Gotinga

En la primavera de 1915, David Hilbert y Felix Klein invitaron a Noether a regresar a la Universidad de Göttingen. Su esfuerzo por reclutarla, sin embargo, fue bloqueado por los filólogos e historiadores entre la facultad filosófica: las mujeres, insistieron, no deberían convertirse en privatdozenten. Un miembro de la facultad protestó: "¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y descubran que deben aprender a los pies de una mujer?" Hilbert respondió con indignación y dijo: "No veo que el sexo de la candidata sea un argumento en contra de su admisión como privatdozent. Después de todo, somos una universidad, no una casa de baños."

En 1915 David Hilbert invitó a Noether a unirse al departamento de matemáticas de Göttingen, desafiando las opiniones de algunos de sus colegas de que a una mujer no se le debería permitir enseñar en una universidad.

Noether se fue a Göttingen a fines de abril; dos semanas después, su madre murió repentinamente en Erlangen. Anteriormente había recibido atención médica por una afección ocular, pero se desconoce su naturaleza e impacto en su muerte. Aproximadamente al mismo tiempo, el padre de Noether se retiró y su hermano se unió al ejército alemán para servir en la Primera Guerra Mundial. Regresó a Erlangen durante varias semanas, principalmente para cuidar a su anciano padre.

Durante sus primeros años enseñando en Göttingen no tenía un puesto oficial y no le pagaban; su familia pagó su alojamiento y comida y apoyó su trabajo académico. Sus conferencias a menudo se publicitaban con el nombre de Hilbert, y Noether brindaba 'asistencia'.

Poco después de llegar a Göttingen, sin embargo, demostró sus capacidades demostrando el teorema ahora conocido como el teorema de Noether, que muestra que una ley de conservación está asociada con cualquier simetría diferenciable de un sistema físico. El documento fue presentado por un colega, F. Klein, el 26 de julio de 1918 en una reunión de la Royal Society of Sciences en Göttingen. Es de suponer que Noether no lo presentó ella misma porque no era miembro de la sociedad. Los físicos estadounidenses Leon M. Lederman y Christopher T. Hill argumentan en su libro Symmetry and the Beautiful Universe que el teorema de Noether es "ciertamente uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás probados en guiando el desarrollo de la física moderna, posiblemente a la par con el teorema de Pitágoras.

El departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen permitió Noether habilitación en 1919, cuatro años después de haber empezado a dar clases en la escuela.

Cuando terminó la Primera Guerra Mundial, la revolución alemana de 1918-1919 trajo un cambio significativo en las actitudes sociales, incluidos más derechos para las mujeres. En 1919, la Universidad de Göttingen permitió a Noether continuar con su habilitación (elegibilidad para la tenencia). Su examen oral se llevó a cabo a fines de mayo y pronunció con éxito su conferencia de habilitación en junio de 1919.

Tres años después, recibió una carta de Otto Boelitz [de], el ministro prusiano de Ciencias, Arte y Educación Pública, en el que le confirió el título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor (profesora no titular con funciones y derechos administrativos internos limitados). Este fue un "extraordinario" cátedra, no la superior "ordinaria" cátedra, que era un puesto de servicio civil. Aunque reconocía la importancia de su trabajo, el puesto seguía sin recibir salario. A Noether no se le pagó por sus conferencias hasta que fue nombrada para el puesto especial de Lehrbeauftragte für Algebra un año después.

Trabajar en álgebra abstracta

Aunque el teorema de Noether tuvo un efecto significativo sobre la mecánica clásica y cuántica, entre los matemáticos es mejor recordada por sus contribuciones al álgebra abstracta. En su introducción a Collected Papers de Noether, Nathan Jacobson escribió que

El desarrollo del álgebra abstracta, que es una de las innovaciones más distintivas de las matemáticas del siglo XX, se debe en gran medida a ella – en periódicos publicados, en conferencias, y en influencia personal en sus contemporáneos.

A veces permitía que sus colegas y estudiantes recibieran crédito por sus ideas, ayudándolos a desarrollar sus carreras a expensas de la suya.

El trabajo de Noether en álgebra comenzó en 1920. En colaboración con W. Schmeidler, luego publicó un artículo sobre la teoría de los ideales en el que definían los ideales izquierdo y derecho en un anillo.

Al año siguiente publicó un artículo llamado Idealtheorie in Ringbereichen, analizando las condiciones de la cadena ascendente con respecto a los ideales (matemáticos). El destacado algebraista Irving Kaplansky llamó a este trabajo "revolucionario"; la publicación dio origen al término "anillo noetheriano" y el nombramiento de varios otros objetos matemáticos como Noetherian.

En 1924, un joven matemático holandés, B.L. van der Waerden, llegó a la Universidad de Göttingen. Inmediatamente comenzó a trabajar con Noether, quien proporcionó métodos invaluables de conceptualización abstracta. Van der Waerden dijo más tarde que su originalidad era 'absoluta más allá de la comparación'. En 1931 publicó Álgebra Moderna, un texto central en el campo; su segundo volumen se basó en gran medida en el trabajo de Noether. Aunque Noether no buscó reconocimiento, incluyó como nota en la séptima edición 'basado en parte en conferencias de E. Artin y E. Noether'.

La visita de Van der Waerden fue parte de una reunión de matemáticos de todo el mundo en Göttingen, que se convirtió en un importante centro de investigación matemática y física. De 1926 a 1930, el topólogo ruso Pavel Alexandrov dio una conferencia en la universidad, y él y Noether rápidamente se hicieron buenos amigos. Empezó a referirse a ella como der Noether, usando el artículo alemán masculino como término cariñoso para mostrar su respeto. Ella trató de hacer arreglos para que él obtuviera un puesto en Göttingen como profesor regular, pero solo pudo ayudarlo a obtener una beca de la Fundación Rockefeller. Se reunían regularmente y disfrutaban de discusiones sobre las intersecciones de álgebra y topología. En su discurso conmemorativo de 1935, Alexandrov nombró a Emmy Noether 'la mujer matemática más grande de todos los tiempos'.

Estudiantes de posgrado y conferencias influyentes

Además de su perspicacia matemática, Noether fue respetada por su consideración hacia los demás. Aunque a veces actuaba de manera grosera con quienes no estaban de acuerdo con ella, se ganó la reputación de ayudar constantemente y guiar pacientemente a los nuevos estudiantes. Su lealtad a la precisión matemática hizo que un colega la llamara 'una crítica severa', pero ella combinó esta exigencia de precisión con una actitud cariñosa. Más tarde, un colega la describió de esta manera:

Completamente inédita y libre de vanidad, ella nunca reclamó nada por sí misma, pero promovió las obras de sus estudiantes sobre todo.

Gotinga

Noether c. 1930

En Göttingen, Noether supervisó a más de una docena de estudiantes de doctorado; la primera fue Grete Hermann, quien defendió su disertación en febrero de 1925. Más tarde habló con reverencia de su "disertación-madre". Noether también supervisó a Max Deuring, quien se distinguió como estudiante universitario y continuó contribuyendo al campo de la geometría aritmética; Hans Fitting, recordado por el teorema de Fitting y el lema de Fitting; y Zeng Jiongzhi (también traducido como 'Chiungtze C. Tsen' en inglés), quien demostró el teorema de Tsen. También trabajó en estrecha colaboración con Wolfgang Krull, quien hizo grandes avances en el álgebra conmutativa con su Hauptidealsatz y su teoría de la dimensión de los anillos conmutativos.

Su estilo de vida frugal al principio se debió a que le negaron el pago por su trabajo; sin embargo, incluso después de que la universidad comenzara a pagarle un pequeño salario en 1923, siguió viviendo una vida sencilla y modesta. Le pagaron más generosamente más adelante en su vida, pero ahorró la mitad de su salario para legar a su sobrino, Gottfried E. Noether.

Los biógrafos sugieren que en su mayoría no se preocupaba por la apariencia y los modales, centrándose en sus estudios. Una distinguida algebrista, Olga Taussky-Todd, describió un almuerzo durante el cual Noether, completamente absorto en una discusión de matemáticas, "gesticuló salvajemente" mientras comía y "derramaba su comida constantemente y la limpiaba de su vestido, completamente imperturbable". Los estudiantes preocupados por su apariencia se encogieron cuando ella sacó el pañuelo de su blusa e ignoró el creciente desorden de su cabello durante una conferencia. Una vez, dos alumnas se le acercaron durante un receso de una clase de dos horas para expresarle su preocupación, pero no pudieron romper la enérgica discusión matemática que estaba teniendo con otros estudiantes.

Según el obituario de Emmy Noether de van der Waerden, ella no siguió un plan de lecciones para sus conferencias, lo que frustró a algunos estudiantes. En cambio, usó sus conferencias como un momento de discusión espontánea con sus alumnos, para pensar y aclarar problemas importantes en matemáticas. Algunos de sus resultados más importantes se desarrollaron en estas conferencias, y las notas de clase de sus alumnos formaron la base de varios libros de texto importantes, como los de van der Waerden y Deuring.

Varios de sus colegas asistieron a sus conferencias y ella permitió que algunas de sus ideas, como el producto cruzado (verschränktes Produkt en alemán) de álgebras asociativas, fueran publicadas por otros. Se registró que Noether había impartido al menos cinco cursos de un semestre en Göttingen:

• Invierno 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [Grupo Teoría y Números Hypercomplex]
• Invierno 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [Cuantidades y Representación Hypercomplex Teoría]
• Verano 1928: Nichtkommutative Álgebra [Álgebra nomutativa]
• Verano 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Aritmética nomutante]
• Invierno 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen [Álgebra de cuantidades Hypercomplex]

Estos cursos solían preceder a importantes publicaciones sobre los mismos temas.

Noether hablaba rápido (muchos decían que reflejaba la velocidad de sus pensamientos) y exigía una gran concentración de sus alumnos. Los estudiantes a los que no les gustaba su estilo a menudo se sentían alienados. Algunos alumnos sintieron que ella confiaba demasiado en discusiones espontáneas. Sin embargo, sus alumnos más dedicados disfrutaron del entusiasmo con el que abordaba las matemáticas, especialmente porque sus conferencias a menudo se basaban en trabajos anteriores que habían realizado juntos.

Desarrolló un círculo cercano de colegas y estudiantes que pensaban de manera similar y tendía a excluir a aquellos que no lo hacían. "Forasteros" quienes visitaban ocasionalmente las conferencias de Noether, por lo general pasaban solo 30 minutos en la sala antes de irse frustrados o confusos. Un estudiante regular dijo de uno de esos casos: "El enemigo ha sido derrotado; se ha ido."

Noether mostró una devoción por su materia y sus alumnos que se extendió más allá del día académico. Una vez, cuando el edificio estaba cerrado por un feriado estatal, reunió a la clase en los escalones exteriores, los condujo por el bosque y dio una conferencia en una cafetería local. Más tarde, después de que la Alemania nazi la despidió de la enseñanza, invitó a los estudiantes a su casa para discutir sus planes para el futuro y los conceptos matemáticos.

Moscú

Pavel Alexandrov

En el invierno de 1928–1929, Noether aceptó una invitación a la Universidad Estatal de Moscú, donde continuó trabajando con P.S. Alexandrov. Además de continuar con su investigación, impartió clases de álgebra abstracta y geometría algebraica. Trabajó con los topólogos Lev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov, quienes más tarde elogiaron sus contribuciones al desarrollo de la teoría de Galois.

Noether enseñó en la Universidad Estatal de Moscú durante el invierno de 1928-1929.

Aunque la política no era central en su vida, Noether se interesó mucho por los asuntos políticos y, según Alexandrov, mostró un apoyo considerable a la Revolución Rusa. Estaba especialmente feliz de ver los avances soviéticos en los campos de la ciencia y las matemáticas, que consideraba indicativos de nuevas oportunidades posibles gracias al proyecto bolchevique. Esta actitud le causó problemas en Alemania, que culminaron con su desalojo de un edificio de pensiones, después de que los líderes estudiantiles se quejaran de vivir con 'una judía de tendencia marxista'.

Noether planeó regresar a Moscú, un esfuerzo para el cual recibió el apoyo de Alexandrov. Después de que ella se fue de Alemania en 1933, trató de ayudarla a obtener una cátedra en la Universidad Estatal de Moscú a través del Ministerio de Educación soviético. Aunque este esfuerzo resultó infructuoso, se escribieron con frecuencia durante la década de 1930, y en 1935 ella hizo planes para regresar a la Unión Soviética. Mientras tanto, su hermano Fritz aceptó un puesto en el Instituto de Investigación de Matemáticas y Mecánica en Tomsk, en el Distrito Federal Siberiano de Rusia, después de perder su trabajo en Alemania, y posteriormente fue ejecutado durante la Gran Purga.

Reconocimiento

En 1932, Emmy Noether y Emil Artin recibieron el premio Ackermann–Teubner Memorial Award por sus contribuciones a las matemáticas. El premio incluía una recompensa monetaria de 500 ℛℳ y se consideró un reconocimiento oficial largamente esperado de su considerable trabajo en el campo. Sin embargo, sus colegas expresaron su frustración por el hecho de que no fue elegida para la Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (academia de ciencias) y nunca fue ascendida al puesto de Ordentlicher Professor (profesora titular).

Noether visitó Zürich en 1932 para dar una dirección plenaria en el Congreso Internacional de Matemáticos.

Los colegas de Noether celebraron su quincuagésimo cumpleaños en 1932, en la típica historia de los matemáticos. estilo. Helmut Hasse le dedicó un artículo en Mathematische Annalen, en el que confirmó su sospecha de que algunos aspectos del álgebra no conmutativa son más simples que los del álgebra conmutativa, demostrando una ley de reciprocidad no conmutativa. Esto la complació inmensamente. También le envió un acertijo matemático, al que llamó "m_μν-acertijo de sílabas". Lo resolvió de inmediato, pero el acertijo se ha perdido.

En septiembre del mismo año, Noether pronunció un discurso plenario (großer Vortrag) sobre "Sistemas hipercomplejos en sus relaciones con el álgebra conmutativa y la teoría de números" en el Congreso Internacional de Matemáticos en Zúrich. Al congreso asistieron 800 personas, incluidos los colegas de Noether, Hermann Weyl, Edmund Landau y Wolfgang Krull. Se presentaron 420 participantes oficiales y veintiún discursos plenarios. Aparentemente, la posición destacada de Noether como oradora fue un reconocimiento de la importancia de sus contribuciones a las matemáticas. El congreso de 1932 a veces se describe como el punto culminante de su carrera.

Expulsión de Göttingen por la Alemania nazi

Cuando Adolf Hitler se convirtió en el Reichskanzler alemán en enero de 1933, la actividad nazi en todo el país aumentó drásticamente. En la Universidad de Göttingen, la Asociación de Estudiantes Alemanes lideró el ataque contra el "espíritu no alemán" atribuido a los judíos y fue ayudado por un privatdozent llamado Werner Weber, un antiguo alumno de Noether. Las actitudes antisemitas crearon un clima hostil a los profesores judíos. Según los informes, un joven manifestante exigió: "Los estudiantes arios quieren matemáticas arias y no matemáticas judías".

Una de las primeras acciones de la administración de Hitler fue la Ley para la Restauración del Servicio Civil Profesional, que destituyó a judíos y empleados gubernamentales políticamente sospechosos (incluidos profesores universitarios) a menos que hubieran "demostrado su lealtad a Alemania" sirviendo en la Primera Guerra Mundial. En abril de 1933, Noether recibió un aviso del Ministerio de Ciencias, Arte y Educación Pública de Prusia que decía: "Sobre la base del párrafo 3 del Código del Servicio Civil del 7 de abril de 1933, yo por la presente le retiramos el derecho a enseñar en la Universidad de Göttingen." Varios de los colegas de Noether, incluidos Max Born y Richard Courant, también vieron revocados sus cargos.

Noether aceptó la decisión con calma, brindando apoyo a otros durante este momento difícil. Hermann Weyl escribió más tarde que "Emmy Noether —su coraje, su franqueza, su despreocupación por su propio destino, su espíritu conciliador— era un consuelo moral en medio de todo el odio y la mezquindad, la desesperación y el dolor que nos rodeaban". " Por lo general, Noether se mantuvo enfocada en las matemáticas, reuniendo a los estudiantes en su apartamento para discutir la teoría del campo de la clase. Cuando una de sus alumnas apareció con el uniforme de la organización paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), no mostró signos de agitación y, según los informes, incluso se rió de ello más tarde. Esto, sin embargo, fue antes de los sangrientos eventos de la Kristallnacht en 1938, y de los elogios del ministro de Propaganda, Joseph Goebbels.

Refugio en Bryn Mawr y Princeton, en Estados Unidos

Bryn Mawr College proporcionó un hogar acogedor para Noether durante los últimos dos años de su vida.

Cuando docenas de profesores recién desempleados comenzaron a buscar puestos fuera de Alemania, sus colegas en los Estados Unidos buscaron brindarles asistencia y oportunidades laborales. Albert Einstein y Hermann Weyl fueron designados por el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, mientras que otros trabajaron para encontrar el patrocinador necesario para la inmigración legal. Noether fue contactada por representantes de dos instituciones educativas: Bryn Mawr College, en Estados Unidos, y Somerville College en la Universidad de Oxford, en Inglaterra. Después de una serie de negociaciones con la Fundación Rockefeller, se aprobó una subvención para Bryn Mawr para Noether y ella ocupó un puesto allí, a partir de fines de 1933.

En Bryn Mawr, Noether conoció y se hizo amiga de Anna Wheeler, que había estudiado en Göttingen justo antes de que Noether llegara allí. Otra fuente de apoyo en la universidad fue la presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, quien invitó con entusiasmo a los matemáticos del área a "ver al Dr. Noether en acción!" Noether y un pequeño equipo de estudiantes trabajaron rápidamente con el libro Moderne Algebra I de van der Waerden de 1930 y partes de la Theorie der algebraischen Zahlen de Erich Hecke (Teoría de los números algebraicos).

En 1934, Noether comenzó a dar conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton por invitación de Abraham Flexner y Oswald Veblen. También trabajó y supervisó a Abraham Albert y Harry Vandiver. Sin embargo, comentó sobre la Universidad de Princeton que no era bienvenida en 'la universidad de hombres, donde no se admite nada femenino'.

Su tiempo en los Estados Unidos fue agradable, rodeada como estaba de colegas que la apoyaban y absorta en sus temas favoritos. En el verano de 1934 regresó brevemente a Alemania para ver a Emil Artin y su hermano Fritz antes de partir hacia Tomsk. Aunque muchos de sus antiguos colegas se habían visto obligados a abandonar las universidades, pudo utilizar la biblioteca como "estudiosa extranjera". Sin incidentes, Noether regresó a los Estados Unidos y sus estudios en Bryn Mawr.

Muerte

Las cenizas de Noether fueron colocadas bajo la pasarela que rodea a los claustros de la Biblioteca Thomas M. Carey de Bryn Mawr.

En abril de 1935, los médicos descubrieron un tumor en la pelvis de Noether. Preocupados por las complicaciones de la cirugía, primero ordenaron dos días de reposo en cama. Durante la operación descubrieron un quiste de ovario 'del tamaño de un melón grande'. Dos tumores más pequeños en su útero parecían ser benignos y no se extirparon para evitar prolongar la cirugía. Durante tres días pareció convalecer normalmente y al cuarto se recuperó rápidamente de un colapso circulatorio. El 14 de abril cayó inconsciente, su temperatura se elevó a 109 °F (42,8 °C) y murió. "[N]o es fácil decir lo que le ocurrió al Dr. Noether", escribió uno de los médicos. "Es posible que haya algún tipo de infección inusual y virulenta, que golpeó la base del cerebro donde se supone que se encuentran los centros de calor".

Pocos días después de la muerte de Noether, sus amigos y socios de Bryn Mawr celebraron un pequeño servicio conmemorativo en la casa del presidente de College Park. Hermann Weyl y Richard Brauer viajaron desde Princeton y hablaron con Wheeler y Taussky sobre su colega fallecido. En los meses que siguieron, comenzaron a aparecer tributos escritos en todo el mundo: Albert Einstein se unió a van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrov para presentar sus respetos. Su cuerpo fue incinerado y las cenizas enterradas bajo la pasarela alrededor de los claustros de la Biblioteca M. Carey Thomas en Bryn Mawr.

Contribuciones a las matemáticas y la física

El trabajo de Noether en álgebra abstracta y topología influyó en las matemáticas, mientras que en física, el teorema de Noether tiene consecuencias para la física teórica y los sistemas dinámicos. Mostró una aguda propensión al pensamiento abstracto, lo que le permitió abordar los problemas de las matemáticas de manera fresca y original. Su amigo y colega Hermann Weyl describió su producción académica en tres épocas:

La producción científica de Emmy Noether cayó en tres épocas claramente distintas:

(1) el período de dependencia relativa, 1907-1919

(2) las investigaciones agrupadas alrededor de la teoría general de los ideales 1920-1926

(3) el estudio de los álgebras no-commutantes, sus representaciones por transformaciones lineales, y su aplicación al estudio de los campos de número conmutativo y sus aritméticas

—Weyl 1935

En la primera época (1907–1919), Noether se ocupó principalmente de las invariantes diferenciales y algebraicas, comenzando con su disertación bajo la dirección de Paul Gordan. Sus horizontes matemáticos se ampliaron y su trabajo se volvió más general y abstracto, a medida que se familiarizó con el trabajo de David Hilbert, a través de interacciones cercanas con un sucesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Después de mudarse a Göttingen en 1915, produjo su trabajo para la física, los dos teoremas de Noether.

En la segunda época (1920-1926), Noether se dedicó a desarrollar la teoría de los anillos matemáticos.

En la tercera época (1927–1935), Noether se centró en el álgebra no conmutativa, las transformaciones lineales y los campos numéricos conmutativos.

Aunque los resultados de la primera época de Noether fueron impresionantes y útiles, su fama entre los matemáticos se basa más en el trabajo innovador que realizó en su segunda y tercera época, como señalaron Hermann Weyl y B.L. van der Waerden en sus obituarios de ella.

En estas épocas, ella no estaba simplemente aplicando ideas y métodos de matemáticos anteriores; más bien, estaba elaborando nuevos sistemas de definiciones matemáticas que serían utilizados por futuros matemáticos. En particular, desarrolló una teoría completamente nueva de los ideales en los anillos, generalizando el trabajo anterior de Richard Dedekind. También es reconocida por desarrollar condiciones de cadena ascendente, una condición de finitud simple que produjo resultados poderosos en sus manos. Tales condiciones y la teoría de los ideales permitieron a Noether generalizar muchos resultados anteriores y tratar viejos problemas desde una nueva perspectiva, como la teoría de la eliminación y las variedades algebraicas que había estudiado su padre.

Contexto histórico

En el siglo que va desde 1832 hasta la muerte de Noether en 1935, el campo de las matemáticas, específicamente el álgebra, experimentó una profunda revolución, cuyas repercusiones aún se sienten. Los matemáticos de siglos anteriores habían trabajado en métodos prácticos para resolver tipos específicos de ecuaciones, por ejemplo, ecuaciones cúbicas, cuárticas y quínticas, así como en el problema relacionado de construir polígonos regulares usando compás y regla. Comenzando con la prueba de 1832 de Carl Friedrich Gauss de que los números primos como el cinco pueden factorizarse en enteros gaussianos, la introducción de los grupos de permutación de Évariste Galois en 1832 (aunque, debido a su muerte, sus artículos solo se publicaron en 1846, de Liouville), el descubrimiento de los cuaterniones por William Rowan Hamilton en 1843 y la definición más moderna de grupos por Arthur Cayley en 1854, la investigación se centró en determinar las propiedades de sistemas cada vez más abstractos definidos por cada vez más -reglas más universales. Las contribuciones más importantes de Noether a las matemáticas fueron el desarrollo de este nuevo campo, el álgebra abstracta.

Antecedentes sobre álgebra abstracta y begriffliche Mathematik (matemáticas conceptuales)

Dos de los objetos más básicos del álgebra abstracta son los grupos y los anillos.

Un grupo consta de un conjunto de elementos y una sola operación que combina un primer y un segundo elemento y devuelve un tercero. La operación debe satisfacer ciertas restricciones para que determine un grupo: debe ser cerrada (cuando se aplica a cualquier par de elementos del conjunto asociado, el elemento generado también debe ser miembro de ese conjunto), debe ser asociativa, debe haber ser un elemento de identidad (un elemento que, cuando se combina con otro elemento mediante la operación, da como resultado el elemento original, como sumar cero a un número o multiplicarlo por uno), y para cada elemento debe haber un elemento inverso.

Un anillo igualmente, tiene un conjunto de elementos, pero ahora tiene dos operaciones. La primera operación debe hacer del conjunto un grupo conmutativo, y la segunda operación es asociativa y distributiva con respecto a la primera operación. Puede o no ser conmutativo; esto significa que el resultado de aplicar la operación a un primer y segundo elemento es el mismo que al segundo y al primero: no importa el orden de los elementos. Si todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (un elemento x tal que ax = xa = 1), el anillo se llama un anillo de división. Un campo se define como un anillo de división conmutativa.

Los grupos se estudian con frecuencia a través de representaciones grupales. En su forma más general, estos consisten en una elección de grupo, un conjunto y una acción del grupo sobre el conjunto, es decir, una operación que toma un elemento del grupo y un elemento de el conjunto y devuelve un elemento del conjunto. Muy a menudo, el conjunto es un espacio vectorial y el grupo representa simetrías del espacio vectorial. Por ejemplo, hay un grupo que representa las rotaciones rígidas del espacio. Este es un tipo de simetría del espacio, porque el espacio en sí mismo no cambia cuando se rota aunque las posiciones de los objetos en él sí lo hagan. Noether usó este tipo de simetrías en su trabajo sobre invariantes en física.

Una poderosa forma de estudiar los anillos es a través de sus módulos. Un módulo consta de una elección de anillo, otro conjunto, generalmente distinto del conjunto subyacente del anillo y llamado conjunto subyacente del módulo, una operación sobre pares de elementos del conjunto subyacente del módulo y una operación que toma un elemento del anillo y un elemento del módulo y devuelve un elemento del módulo.

El conjunto subyacente del módulo y su operación deben formar un grupo. Un módulo es una versión teórica de anillo de una representación de grupo: ignorar la segunda operación de anillo y la operación en pares de elementos de módulo determina una representación de grupo. La utilidad real de los módulos es que los tipos de módulos que existen y sus interacciones revelan la estructura del anillo de maneras que no son evidentes en el anillo mismo. Un caso especial importante de esto es un álgebra. (La palabra álgebra significa tanto una materia dentro de las matemáticas como un objeto estudiado en la materia de álgebra). Un álgebra consiste en la elección de dos anillos y una operación que toma un elemento de cada anillo y devuelve un elemento del segundo anillo.. Esta operación convierte al segundo anillo en un módulo sobre el primero. A menudo, el primer anillo es un campo.

Palabras como "elemento" y "operación combinada" son muy generales y se pueden aplicar a muchas situaciones abstractas y del mundo real. Cualquier conjunto de cosas que obedece todas las reglas para una (o dos) operación(es) es, por definición, un grupo (o anillo), y obedece todos los teoremas sobre grupos (o anillos). Los números enteros y las operaciones de suma y multiplicación son solo un ejemplo. Por ejemplo, los elementos pueden ser palabras de datos informáticos, donde la primera operación de combinación es exclusiva o y la segunda es una conjunción lógica. Los teoremas del álgebra abstracta son poderosos porque son generales; gobiernan muchos sistemas. Podría imaginarse que poco se podía concluir sobre objetos definidos con tan pocas propiedades, pero precisamente ahí residía el don de Noether para descubrir el máximo que se podía concluir de un conjunto dado de propiedades, o por el contrario, para identificar el conjunto mínimo., las propiedades esenciales responsables de una observación particular. A diferencia de la mayoría de los matemáticos, no hizo abstracciones generalizando a partir de ejemplos conocidos; más bien, trabajó directamente con las abstracciones. En su obituario de Noether, su alumno van der Waerden recordó que

La máxima por la que Emmy Noether fue guiado a lo largo de su trabajo podría ser formulada como sigue: "Cualquier relación entre números, funciones y operaciones se vuelve transparente, generalmente aplicable, y plenamente productiva sólo después de que se hayan aislado de sus objetos particulares y se hayan formulado como conceptos universalmente válidos."

Esta es la begriffliche Mathematik (matemáticas puramente conceptuales) que fue característica de Noether. En consecuencia, este estilo de matemáticas fue adoptado por otros matemáticos, especialmente en el (entonces nuevo) campo del álgebra abstracta.

Ejemplo: números enteros como un anillo

Los números enteros forman un anillo conmutativo cuyos elementos son los números enteros, y las operaciones de combinación son la suma y la multiplicación. Cualquier par de enteros se puede sumar o multiplicar, siempre dando como resultado otro entero, y la primera operación, la suma, es conmutativa, es decir, para cualquier elemento a y b en el anillo, a + b = b + a. La segunda operación, la multiplicación, también es conmutativa, pero eso no tiene por qué ser cierto para otros anillos, lo que significa que a combinado con b podría ser diferente de b combinado con a. Los ejemplos de anillos no conmutativos incluyen matrices y cuaterniones. Los números enteros no forman un anillo de división, porque la segunda operación no siempre se puede invertir; no hay ningún número entero a tal que 3 × a = 1.

Los números enteros tienen propiedades adicionales que no se generalizan a todos los anillos conmutativos. Un ejemplo importante es el teorema fundamental de la aritmética, que dice que todo número entero positivo se puede factorizar de forma única en números primos. Las factorizaciones únicas no siempre existen en otros anillos, pero Noether encontró un teorema de factorización única, ahora llamado teorema de Lasker-Noether, para los ideales de muchos anillos. Gran parte del trabajo de Noether consistió en determinar qué propiedades sí se cumplen para todos los anillos, en idear nuevos análogos de los antiguos teoremas de números enteros y en determinar el conjunto mínimo de suposiciones requeridas para producir ciertas propiedades de anillos

Primera época (1908-1919): Teoría de la invariante algebraica

Tabla 2 de la tesis de Noether sobre la teoría invariante. Esta tabla recoge 202 de los 331 invariantes de formas biquadraticas ternarias. Estas formas se clasifican en dos variables x y u. La dirección horizontal de la tabla enumera los invariantes con grados crecientes en x, mientras que la dirección vertical los enumera con grados crecientes en u.

Gran parte del trabajo de Noether en la primera época de su carrera estuvo asociado con la teoría de invariantes, principalmente la teoría algebraica de invariantes. La teoría invariante se ocupa de las expresiones que permanecen constantes (invariantes) bajo un grupo de transformaciones. Como ejemplo cotidiano, si se gira una vara de medir rígida, las coordenadas (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂) de sus extremos cambia, pero su longitud L viene dada por la fórmula L ² = Δx² + Δy² + Δz² permanece igual. La teoría de invariantes fue un área activa de investigación a fines del siglo XIX, impulsada en parte por el programa Erlangen de Felix Klein, según el cual los diferentes tipos de geometría deben caracterizarse por sus invariantes bajo transformaciones, por ejemplo, la relación cruzada de geometría proyectiva.

Un ejemplo de invariante es el discriminante B² − 4AC de una forma cuadrática binaria x·Ax + y·Bx + y·Cy, donde x e y son vectores y "·" es el producto punto o "producto interno" para los vectores. A, B y C son operadores lineales en los vectores, típicamente matrices.

El discriminante se llama "invariante" porque no se cambia por sustituciones lineales x → ax + by, y → cx + dy con determinante ad − bc = 1. Estas sustituciones forman el grupo lineal especial SL₂.

Uno puede preguntar por todos los polinomios en A, B y C que no cambian por la acción de SL₂; estos se llaman los invariantes de formas cuadráticas binarias y resultan ser los polinomios en el discriminante.

Más generalmente, uno puede preguntar por los invariantes de polinomios homogéneos A₀x^ry⁰ +... + A_rx⁰y^r de grado superior, que habrá ciertos polinomios en los coeficientes A₀,..., A_r, y aún más generalmente, uno puede hacer la misma pregunta para polinomios homogéneos en más de dos variables.

Uno de los principales objetivos de la teoría de invariantes era resolver el "problema de base finita". La suma o el producto de dos invariantes cualesquiera es invariante, y el problema de base finita preguntaba si era posible obtener todos los invariantes comenzando con una lista finita de invariantes, llamada generadores, y luego sumando o multiplicando los generadores juntos. Por ejemplo, el discriminante da una base finita (con un elemento) para los invariantes de las formas cuadráticas binarias.

El asesor de Noether, Paul Gordan, era conocido como el "rey de la teoría de invariantes", y su principal contribución a las matemáticas fue su solución de 1870 del problema de base finita para invariantes de polinomios homogéneos en dos variables Demostró esto dando un método constructivo para encontrar todos los invariantes y sus generadores, pero no pudo llevar a cabo este enfoque constructivo para invariantes en tres o más variables. En 1890, David Hilbert demostró un enunciado similar para las invariantes de polinomios homogéneos en cualquier número de variables. Además, su método funcionó, no solo para el grupo lineal especial, sino también para algunos de sus subgrupos, como el grupo ortogonal especial.

Primera época (1908-1919): teoría de Galois

La teoría de Galois se refiere a las transformaciones de campos numéricos que permutan las raíces de una ecuación. Considere una ecuación polinomial de una variable x de grado n, en la que los coeficientes se extraen de algún campo fundamental, que podría ser, por ejemplo, el campo de los números reales, números racionales o los enteros módulo 7. Puede haber o no opciones de x, lo que hace que este polinomio se evalúe como cero. Tales elecciones, si existen, se llaman raíces. Si el polinomio es x² + 1 y el campo son los números reales, entonces el polinomio no tiene raíces, porque cualquier elección de x hace el polinomio mayor o igual a uno. Sin embargo, si el campo se extiende, entonces el polinomio puede ganar raíces, y si se extiende lo suficiente, entonces siempre tiene un número de raíces igual a su grado.

Continuando con el ejemplo anterior, si el campo se amplía a los números complejos, entonces el polinomio gana dos raíces, +i y −i, donde i es la unidad imaginaria, es decir, i ² = −1. De manera más general, el campo de extensión en el que un polinomio se puede factorizar en sus raíces se conoce como el campo de división del polinomio.

El grupo de Galois de un polinomio es el conjunto de todas las transformaciones del campo divisorio que conservan el campo fundamental y las raíces del polinomio. (En la jerga matemática, estas transformaciones se denominan automorfismos). El grupo de Galois de x² + 1 consta de dos elementos: La transformación de identidad, que envía cada número complejo a sí mismo, y la conjugación compleja, que envía +i a −i. Dado que el grupo de Galois no cambia el campo fundamental, deja sin cambios los coeficientes del polinomio, por lo que debe dejar sin cambios el conjunto de todas las raíces. Sin embargo, cada raíz puede moverse a otra raíz, por lo que la transformación determina una permutación de las n raíces entre sí. La importancia del grupo de Galois se deriva del teorema fundamental de la teoría de Galois, que prueba que los campos que se encuentran entre el campo fundamental y el campo divisorio están en correspondencia uno a uno con los subgrupos del grupo de Galois.

En 1918, Noether publicó un artículo sobre el problema inverso de Galois. En lugar de determinar el grupo de Galois de transformaciones de un campo dado y su extensión, Noether preguntó si, dado un campo y un grupo, siempre es posible encontrar una extensión del campo que tenga el grupo dado como su grupo de Galois. Ella redujo esto a "El problema de Noether", que pregunta si el campo fijo de un subgrupo G del grupo de permutación S _n actuando sobre el campo k(x₁,..., x _n) siempre es una pura extensión trascendental del campo k. (Mencionó este problema por primera vez en un artículo de 1913, donde atribuyó el problema a su colega Fischer). Demostró que esto era cierto para n = 2, 3 o 4. En 1969, R.G. Swan encontró un contraejemplo al problema de Noether, con n = 47 y G un grupo cíclico de orden 47 (aunque este grupo se puede realizar como un Galois grupo sobre los racionales de otras maneras). El problema de Galois inverso sigue sin resolverse.

Primera época (1908-1919): Física

Noether fue traída a Göttingen en 1915 por David Hilbert y Felix Klein, quienes querían que su experiencia en teoría invariante los ayudara a comprender la relatividad general, una teoría geométrica de la gravitación desarrollada principalmente por Albert Einstein. Hilbert había observado que la conservación de la energía parecía violarse en la relatividad general, porque la propia energía gravitatoria podía gravitar. Noether proporcionó la resolución de esta paradoja, y una herramienta fundamental de la física teórica moderna, con el primer teorema de Noether, que demostró en 1915, pero no publicó hasta 1918. No solo resolvió el problema de la relatividad general, sino también determinó las cantidades conservadas para cada sistema de leyes físicas que posee alguna simetría continua. Al recibir su trabajo, Einstein le escribió a Hilbert:

Ayer recibí de la Srta. Noether un periódico muy interesante sobre invariantes. Me impresiona que esas cosas puedan entenderse de manera tan general. ¡El viejo guardia de Göttingen debería tomar algunas lecciones de la Srta. Noether! Parece conocer sus cosas.

Por ejemplo, si un sistema físico se comporta igual, independientemente de cómo esté orientado en el espacio, las leyes físicas que lo gobiernan son rotacionalmente simétricas; a partir de esta simetría, el teorema de Noether muestra que se debe conservar el momento angular del sistema. El sistema físico en sí mismo no necesita ser simétrico; un asteroide dentado que cae en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Más bien, la simetría de las leyes físicas que gobiernan el sistema es responsable de la ley de conservación. Como otro ejemplo, si un experimento físico tiene el mismo resultado en cualquier lugar y en cualquier momento, entonces sus leyes son simétricas bajo continuas traslaciones en el espacio y el tiempo; por el teorema de Noether, estas simetrías explican las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este sistema, respectivamente.

El teorema de Noether se ha convertido en una herramienta fundamental de la física teórica moderna, tanto por la comprensión que brinda de las leyes de conservación, como también, como una herramienta práctica de cálculo. Su teorema permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. Por el contrario, facilita la descripción de un sistema físico basado en clases de leyes físicas hipotéticas. Por ejemplo, suponga que se descubre un nuevo fenómeno físico. El teorema de Noether proporciona una prueba para los modelos teóricos del fenómeno:

Si la teoría tiene una simetría continua, entonces el teorema de Noether garantiza que la teoría tiene una cantidad conservada, y para que la teoría sea correcta, esta conservación debe ser observable en experimentos.

Segunda época (1920-1926): condiciones de cadena ascendente y descendente

En esta época, Noether se hizo famosa por su hábil uso de condiciones de cadena ascendentes (Teilerkettensatz) o descendentes (Vielfachenkettensatz). Una secuencia de subconjuntos no vacíos A₁, A₂, A₃, etc. de un conjunto S suele decirse que es ascendente, si cada uno es un subconjunto del siguiente

A1⊂ ⊂ A2⊂ ⊂ A3⊂ ⊂ ⋯ ⋯ .{displaystyle A_{1}subset A_{2}subset A_{3}subset cdots.}

Por el contrario, una secuencia de subconjuntos de S se llama descendente si cada uno contiene el siguiente subconjunto:

A1.. A2.. A3.. ⋯ ⋯ .{displaystyle A_{1}supset A_{2}supset A_{3}supset cdots.}

Una cadena se vuelve constante después de un número finito de pasos si hay un n tales que An=Am{displaystyle A_{n}=A_{m} para todos m≥n. Una colección de subconjuntos de un conjunto dado satisface la condición de cadena ascendente si cualquier secuencia ascendente se vuelve constante después de un número finito de pasos. Satisface la condición de cadena descendente si cualquier secuencia descendente se vuelve constante después de un número finito de pasos.

Las condiciones de cadena ascendente y descendente son generales, lo que significa que se pueden aplicar a muchos tipos de objetos matemáticos y, en la superficie, es posible que no parezcan muy potentes. Noether mostró cómo explotar tales condiciones, sin embargo, con la máxima ventaja.

Por ejemplo: cómo usar condiciones de cadena para mostrar que cada conjunto de subobjetos tiene un elemento máximo/mínimo o que un objeto complejo puede ser generado por un número menor de elementos. Estas conclusiones a menudo son pasos cruciales en una prueba.

Muchos tipos de objetos en álgebra abstracta pueden satisfacer condiciones de cadena y, por lo general, si satisfacen una condición de cadena ascendente, se denominan noetherianos en su honor. Por definición, un anillo noetheriano satisface una condición de cadena ascendente en sus ideales izquierdo y derecho, mientras que un grupo noetheriano se define como un grupo en el que cada cadena estrictamente ascendente de subgrupos es finita. Un módulo noetheriano es un módulo en el que cada cadena estrictamente ascendente de submódulos se vuelve constante después de un número finito de pasos. Un espacio noetheriano es un espacio topológico en el que cada cadena estrictamente ascendente de subespacios abiertos se vuelve constante después de un número finito de pasos; esta definición hace que el espectro de un anillo noetheriano sea un espacio topológico noetheriano.

La condición de la cadena a menudo es "heredada" por subobjetos. Por ejemplo, todos los subespacios de un espacio noetheriano son ellos mismos noetherianos; todos los subgrupos y grupos de cocientes de un grupo noetheriano son igualmente noetherianos; y, mutatis mutandis, lo mismo vale para los submódulos y módulos cocientes de un módulo noetheriano. Todos los anillos cocientes de un anillo noetheriano son noetherianos, pero eso no se cumple necesariamente para sus subanillos. La condición de cadena también puede ser heredada por combinaciones o extensiones de un objeto noetheriano. Por ejemplo, las sumas directas finitas de anillos noetherianos son noetherianos, como lo es el anillo de series de potencias formales sobre un anillo noetheriano.

Otra aplicación de tales condiciones de cadena es la inducción noetheriana, también conocida como inducción bien fundamentada, que es una generalización de la inducción matemática. Con frecuencia se utiliza para reducir declaraciones generales sobre colecciones de objetos a declaraciones sobre objetos específicos en esa colección. Supongamos que S es un conjunto parcialmente ordenado. Una forma de probar un enunciado sobre los objetos de S es asumir la existencia de un contraejemplo y deducir una contradicción, demostrando así el contrapositivo del enunciado original. La premisa básica de la inducción noetheriana es que todo subconjunto no vacío de S contiene un elemento mínimo. En particular, el conjunto de todos los contraejemplos contiene un elemento mínimo, el contraejemplo mínimo. Para probar la afirmación original, por lo tanto, basta probar algo aparentemente mucho más débil: para cualquier contraejemplo, hay un contraejemplo más pequeño.

Segunda época (1920-1926): anillos, ideales y módulos conmutativos

El artículo de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains, 1921), es la base de la teoría general de los anillos conmutativos y ofrece una de las primeras definiciones generales de un anillo conmutativo. Antes de su artículo, la mayoría de los resultados en álgebra conmutativa estaban restringidos a ejemplos especiales de anillos conmutativos, como anillos polinómicos sobre campos o anillos de números enteros algebraicos. Noether demostró que en un anillo que satisface la condición de la cadena ascendente sobre los ideales, cada ideal se genera finitamente. En 1943, el matemático francés Claude Chevalley acuñó el término anillo noetheriano para describir esta propiedad. Un resultado importante del artículo de Noether de 1921 es el teorema de Lasker-Noether, que amplía el teorema de Lasker sobre la descomposición primaria de ideales de anillos polinómicos a todos los anillos de Noether. El teorema de Lasker-Noether puede verse como una generalización del teorema fundamental de la aritmética que establece que cualquier número entero positivo puede expresarse como un producto de números primos y que esta descomposición es única.

El trabajo de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Estructura abstracta de la teoría de ideales en campos numéricos y funcionales algebraicos, 1927) caracterizó los anillos en los que los ideales tienen una factorización única en ideales primos como los dominios de Dedekind: dominios integrales que son noetherianos, 0 o 1 dimensionales e integralmente cerrados en sus campos cocientes. Este documento también contiene lo que ahora se denominan teoremas de isomorfismos, que describen algunos isomorfismos naturales fundamentales y algunos otros resultados básicos sobre los módulos noetherianos y artinianos.

Segunda época (1920-1926): teoría de la eliminación

En 1923-1924, Noether aplicó su teoría ideal a la teoría de la eliminación en una formulación que atribuyó a su alumno, Kurt Hentzelt. Demostró que los teoremas fundamentales sobre la factorización de polinomios se pueden transferir directamente. Tradicionalmente, la teoría de la eliminación se ocupa de eliminar una o más variables de un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente mediante el método de las resultantes.

A modo de ilustración, un sistema de ecuaciones a menudo se puede escribir en la forma Mv = 0 donde una matriz (o transformada lineal) M (sin la variable x) por un vector v (que solo tiene potencias distintas de cero de x) es igual al vector cero, 0. Por tanto, el determinante de la matriz M debe ser cero, proporcionando una nueva ecuación en la que se ha eliminado la variable x.

Segunda época (1920-1926): teoría invariante de grupos finitos

Técnicas como la solución no constructiva original de Hilbert al problema de la base finita no se podían utilizar para obtener información cuantitativa sobre las invariantes de una acción de grupo y, además, no se aplicaban a todas las acciones de grupo. En su artículo de 1915, Noether encontró una solución al problema de la base finita para un grupo finito de transformaciones G que actúan en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo de característica cero. Su solución muestra que el anillo de invariantes es generado por invariantes homogéneos cuyo grado es menor o igual al orden del grupo finito; esto se llama El límite de Noether. Su artículo proporcionó dos pruebas del límite de Noether, ¡las cuales también funcionan cuando la característica del campo es coprima con |G|! (el factorial de orden |G| del grupo G). Los grados de los generadores no necesitan satisfacer el límite de Noether cuando la característica del campo divide el número |G|, pero Noether no pudo determinar si este límite era correcto cuando la característica del campo campo divide |G|! pero no |G|. Durante muchos años, determinar la verdad o falsedad de este límite para este caso particular fue un problema abierto, llamado 'brecha de Noether'. Finalmente fue resuelto de forma independiente por Fleischmann en 2000 y Fogarty en 2001, quienes demostraron que el límite sigue siendo cierto.

En su artículo de 1926, Noether amplió el teorema de Hilbert a las representaciones de un grupo finito sobre cualquier campo; el nuevo caso que no se derivó del trabajo de Hilbert es cuando la característica del campo divide el orden del grupo. El resultado de Noether fue luego extendido por William Haboush a todos los grupos reductivos mediante su demostración de la conjetura de Mumford. En este artículo, Noether también introdujo el lema de normalización de Noether, mostrando que un dominio A generado finitamente sobre un campo k tiene un conjunto { x₁,..., x_n} de elementos algebraicamente independientes tales que A es integral sobre k[x₁,..., x _n].

Segunda época (1920-1926): Contribuciones a la topología

Una deformación continua (homotopy) de una taza de café en una rosquilla (torus) y la espalda

Como señalaron Pavel Alexandrov y Hermann Weyl en sus obituarios, las contribuciones de Noether a la topología ilustran su generosidad con las ideas y cómo sus conocimientos podrían transformar campos completos de las matemáticas. En topología, los matemáticos estudian las propiedades de los objetos que permanecen invariables incluso bajo deformación, propiedades como su conectividad. Un viejo chiste dice que "un topólogo no puede distinguir una dona de una taza de café", ya que pueden deformarse continuamente entre sí.

A Noether se le atribuyen las ideas fundamentales que llevaron al desarrollo de la topología algebraica a partir de la topología combinatoria anterior, específicamente, la idea de los grupos de homología. Según el relato de Alexandrov, Noether asistió a conferencias impartidas por Heinz Hopf y por él mismo en los veranos de 1926 y 1927, donde "hacía continuamente observaciones que a menudo eran profundas y sutiles" y sigue que,

Cuando... se familiarizó por primera vez con una construcción sistemática de topología combinatoria, observó inmediatamente que valdría la pena estudiar directamente los grupos de complejos algebraicos y ciclos de un determinado poliedro y el subgrupo del grupo ciclo consistente en ciclos homologosos a cero; en lugar de la definición habitual de números Betti, sugirió definir inmediatamente el grupo Betti como el grupo complementario (cociente) del grupo de homologo Esta observación ahora parece evidente. Pero en esos años (1925-1928) este fue un punto de vista completamente nuevo.

noternerh#39 de que la topología se estudiara algebraicamente fue adoptada inmediatamente por Hopf, Alexandrov y otros, y se convirtió en un tema frecuente de discusión entre los matemáticos de Göttingen. Noter observó que su idea de un grupo Betti hace que la fórmula Euler -Poinctaré sea más simple de entender, y el trabajo de Hopf sobre este tema " lleva la impronta de estos comentarios de Emmy Noether ". No se menciona sus propias ideas de topología solo como un aparte en una publicación de 1926, donde la cita como una aplicación de la teoría grupal.

Este enfoque algebraico a la topología también se desarrolló independientemente en Austria. En un curso de 1926-1927 dado en Viena, Leopold Vietoris definió un grupo de homología, desarrollado por Walther Mayer, en una definición axiomática en 1928.

Helmut Hasse trabajó con Noether y otros para encontrar la teoría de álgebras simples centrales.

Tercera época (1927-1935): números hipercomplejos y teoría de la representación

Gran parte del trabajo sobre números hipercomplejos y representaciones grupales se llevó a cabo en el siglo XIX y principios del XX, pero siguió siendo dispar. Noether unió estos resultados y dio la primera teoría general de representación de grupos y álgebras.

Brevemente, Noether subsumió la teoría estructural de álgebras asociativas y la teoría de representación de grupos en una única teoría aritmética de módulos e ideales en anillos que satisfacen condiciones de cadena ascendente. Este único trabajo de Noether fue de fundamental importancia para el desarrollo del álgebra moderna.

Tercera época (1927-1935): Álgebra no conmutativa

Noether también fue responsable de una serie de otros avances en el campo del álgebra. Con Emil Artin, Richard Brauer y Helmut Hasse, fundó la teoría de las álgebras simples centrales.

Un artículo de Noether, Helmut Hasse y Richard Brauer se refiere a las álgebras de división, que son sistemas algebraicos en los que es posible la división. Demostraron dos teoremas importantes: un teorema local-global que establece que si un álgebra de división central de dimensión finita sobre un campo numérico se divide localmente en todas partes, entonces se divide globalmente (por lo que es trivial), y de esto, deduce su Hauptsatz ("teorema principal"):

cada álgebra central de división finita dimensional sobre un campo número algebraico F se divide sobre una extensión ciclótomica.

Estos teoremas permiten clasificar todas las álgebras de división central de dimensión finita sobre un cuerpo numérico dado. Un artículo posterior de Noether mostró, como un caso especial de un teorema más general, que todos los subcampos máximos de un álgebra de división D son campos divisorios. Este documento también contiene el teorema de Skolem-Noether que establece que dos incrustaciones cualesquiera de una extensión de un campo k en un álgebra simple central de dimensión finita sobre k son conjugadas. El teorema de Brauer-Noether ofrece una caracterización de los campos de división de un álgebra de división central sobre un campo.

Evaluación, reconocimiento y memoriales

El Emmy Noether Campus de la Universidad de Siegen es el hogar de sus departamentos de matemáticas y física.

El trabajo de Noether sigue siendo relevante para el desarrollo de la física y las matemáticas teóricas, y se la clasifica constantemente como una de las más grandes matemáticas del siglo XX. En su obituario, el compañero algebrista BL van der Waerden dice que su originalidad matemática era 'absoluta más allá de la comparación', y Hermann Weyl dijo que Noether 'cambió la faz del álgebra con su trabajo'. Durante su vida e incluso hasta el día de hoy, Noether ha sido caracterizada como la mujer matemática más grande de la historia registrada por matemáticos como Pavel Alexandrov, Hermann Weyl y Jean Dieudonné.

En una carta a The New York Times, Albert Einstein escribió:

En el juicio de los matemáticos vivos más competentes, Fräulein Noether fue el genio matemático creativo más importante hasta ahora producido desde que comenzó la educación superior de las mujeres. En el ámbito del álgebra, en el que los matemáticos más dotados han estado ocupados durante siglos, descubrió métodos que han demostrado de enorme importancia en el desarrollo de la generación más joven de hoy en día de los matemáticos.

El 2 de enero de 1935, unos meses antes de su muerte, el matemático Norbert Wiener escribió que

La Srta. Noether es... la mujer más grande que ha vivido; y la mujer más grande científica de cualquier tipo que vive ahora, y un erudito al menos en el plano de Madame Curie.

En una exhibición en la Feria Mundial de 1964 dedicada a los matemáticos modernos, Noether fue la única mujer representada entre los matemáticos notables del mundo moderno.

Noether ha sido honrado en varios memoriales,

• La Asociación de Mujeres en Matemáticas tiene una conferencia de Noether para honrar a las mujeres en matemáticas cada año; en su folleto de 2005 para el evento, la Asociación caracteriza a Noether como "uno de los grandes matemáticos de su tiempo, alguien que trabajó y luchó por lo que amaba y creía. Su vida y su trabajo siguen siendo una tremenda inspiración".
• De acuerdo con su dedicación a sus estudiantes, la Universidad de Siegen alberga sus departamentos de matemáticas y física en edificios Emmy Noether Campus.
• La Fundación de Investigación Alemana (Deutsche Forschungsgemeinschaft) opera la Emmy Noether Programme, proporcionando financiación a investigadores de primer nivel para calificar rápidamente para una posición líder en ciencia e investigación liderando un grupo de investigación junior independiente.
• Una calle en su ciudad natal, Erlangen, ha sido nombrada por Emmy Noether y su padre, Max Noether.
• El sucesor de la escuela secundaria a la que asistió en Erlangen ha sido renombrado como Emmy Noether School.
• Una serie de talleres y competiciones de la secundaria se celebran en mayo de cada año desde 2001, originalmente auspiciada por una mujer posterior Privatdozent de la Universidad de Göttingen.
• Perimeter Institute for Theoretical Física premia anualmente a Emmy Noether Becas de Visita a destacados físicos teóricos femeninos. El Instituto Perimeter es también el hogar del Consejo Emmy Noether, un grupo de voluntarios formados por la comunidad internacional, líderes corporativos y filantrópicos trabajan juntos para aumentar el número de mujeres en física y física matemática en el Instituto Perimeter.
• The Emmy Noether Mathematics Institute in Algebra, Geometry and Function Theory in the Department of Mathematics and Computer Science, Bar-Ilan University, Ramat Gan, Israel was jointly founded in 1992 by the university, the German government and the Minerva Foundation with the aim to encourage research in the above fields and to encourage collaborations with Germany. Sus temas principales son la geometría algebraica, teoría del grupo y teoría de la función compleja. Sus actividades incluyen proyectos de investigación local, conferencias, visitantes a corto plazo, becas post-doc y conferencias Emmy Noether (una serie anual de conferencias distinguidas). ENI es miembro del ERCOM: "European Research Centers of Mathematics".
• En 2013, la Sociedad Física Europea estableció la Distinción Emmy Noether para Mujeres en Física. Los ganadores han incluido al Dr. Catalina Curceanu, al Prof. Sibylle Günter y al Prof. Anne L'Huillier.

En la ficción, Emmy Nutter, la profesora de física de "The God Patent" de Ransom Stephens, está basada en Emmy Noether.

Más lejos de casa,

• El cráter Nöther en el lado lejano de la Luna es nombrado por ella.
• El planeta menor 7001 Noether es nombrado por Emmy Noether.
• Google puso un plato conmemorativo creado por la artista de Google Sophie Diao en la página de Google en muchos países el 23 de marzo de 2015 para celebrar el 133 cumpleaños de Emmy Noether.
• El 6 de noviembre de 2020, un satélite llamado por ella (ÑuSat 13 o "Emmy", COSPAR 2020-079E) fue lanzado al espacio.

Lista de estudiantes de doctorado

Temas matemáticos homónimos