Elipsoide de Poinsot

En la mecánica clásica, Construcción de Poinsot (después de Louis Poinsot) es un método geométrico para visualizar el movimiento sin par de un cuerpo rígido rotatorio, es decir, el movimiento de un cuerpo rígido en el que no están actuando fuerzas externas. Este movimiento tiene cuatro constantes: la energía cinética del cuerpo y los tres componentes del impulso angular, expresado con respecto a un marco de laboratorio inercial. El vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ del rotor rígido no constante, pero satisface las ecuaciones de Euler. La conservación de la energía cinética y el impulso angular proporcionan dos limitaciones al movimiento ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$.

Sin resolver explícitamente estas ecuaciones, el movimiento ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ puede describirse geométricamente como sigue:

• El movimiento del cuerpo rígido está completamente determinado por el movimiento de su inercia ellipsoid, que se fija rígidamente al cuerpo rígido como un marco de coordenadas.
• Sus rollos inercia ellipsoide, sin deslizarse, en plano invariable, con el centro del ellipsoide una altura constante sobre el plano.
• En todo momento, ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ es el punto de contacto entre el elipsoide y el avión.

La moción es periódica, así que ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ rastrea dos curvas cerradas, una en el ellipsoide, otra en el avión.

• La curva cerrada del elipsoide es la polhode.
• La curva cerrada en el avión es la herpolhode.

Si el cuerpo rígido es simétrico (tiene dos momentos iguales de inercia), el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ describe un cono (y su punto final un círculo). Esta es la precesión sin par del eje de rotación del rotor.

La ley de conservación de la energía implica que en ausencia de disipación de energía o torques aplicados, la energía cinética angular ${\displaystyle T.$ se conserva, así que ${\fnMicroc} {dT} {dt}=0}$.

La energía kinética angular se puede expresar en términos del momento de tensor inercia ${\displaystyle \mathbf}$ y el vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$

${\displaystyle T={\frac}{2}{\boldsymbol {\omega }\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }={\frac {1}{2}I_{1}\omega ¿Qué? {1}{2}I_{2}\omega # I_{3}\omega ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle \omega _{k}}$ son los componentes del vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$, y ${\displaystyle Yo...$ son los momentos principales de la inercia cuando ambos están en el marco corporal. Así, la conservación de la energía cinética impone una limitación en el vector de velocidad angular tridimensional ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$; en el eje principal, debe estar en el elipsoide definido por la ecuación anterior, llamada el inercia ellipsoid.

El camino trazado en este ellipsoide por el vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ se llama polhode (coinado por Poinsot de raíces griegas para "camino pobre") y es generalmente circular o en forma de taco.

La ley de conservación del impulso angular establece que en ausencia de torques aplicados, el impulso angular vector ${\displaystyle \mathbf {L}$ se conserva en un marco de referencia inercial, por lo que ${\fnMicroc} {d\Mathbf {L} {dt}=0}$.

El impulso angular vector ${\displaystyle \mathbf {L}$ puede expresarse en términos del momento de inercia tensor ${\displaystyle \mathbf}$ y el vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }$

lo que nos lleva a la ecuación

${\displaystyle T={\frac}{2}{\boldsymbol {\omega }\cdot \mathbf {L}$

Desde el producto de punto ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ y ${\displaystyle \mathbf {L}$ es constante, y ${\displaystyle \mathbf {L}$ es constante, el vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$tiene un componente constante en la dirección del vector de impulso angular ${\displaystyle \mathbf {L}$. Esto impone una segunda limitación al vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$; en el espacio absoluto, debe estar en el plano invariable definido por su producto punto con el vector conservado ${\displaystyle \mathbf {L}$. El vector normal al plano invariable está alineado con ${\displaystyle \mathbf {L}$. El camino trazado por el vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ en el plano invariable se llama el herpolhode (coined from Greek roots for "serpentine pole path").

La herpolhoda es generalmente una curva abierta, lo que significa que la rotación no se repite perfectamente, sino que la polhoda es una curva cerrada (ver más abajo).

Estas dos limitaciones operan en diferentes marcos de referencia; la limitación elipsoidal se mantiene en el marco principal del eje (rotante), mientras que la constante del plano invariable funciona en el espacio absoluto. Para relacionar estas limitaciones, observamos que el vector gradiente de la energía cinética con respecto al vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ iguala el vector de impulso angular ${\displaystyle \mathbf {L}$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol ################################################################################################################################################################################################################################################################ }}= 'Mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }=\mathbf {L}$

Por lo tanto, el vector normal del elipsoide de energía cinética ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ es proporcional a ${\displaystyle \mathbf {L}$, que también es cierto del plano invariable. Desde que sus vectores normales apuntan en la misma dirección, estas dos superficies se intersecarán tangencialmente.

En conjunto, estos resultados muestran que, en un marco de referencia absoluto, el vector de velocidad angular instantánea ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ es el punto de intersección entre un plano invariable fijo y un ellipsoide cinético-energía que es tangente a él y roda alrededor de él sin deslizarse. Esto es... Construcción de Poinsot.

En el marco principal del eje (que gira en espacio absoluto), el vector angular del impulso es no conservada incluso en ausencia de pares aplicados, pero varía según lo descrito por las ecuaciones de Euler. Sin embargo, en ausencia de pares aplicados, la magnitud ${\displaystyle L.$el impulso angular y la energía cinética ${\displaystyle T.$ambos conservados

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2} {=L_{1}{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\[2pt] {L_{1}{2}{2I_{1}}+{\frac} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {L_{2}{2}{2I_{2}}+{\frac} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {L_{3}} {2I_{3}}\end{aligned}$

Donde ${\displaystyle L_{k}$son los componentes del vector de impulso angular a lo largo de los ejes principales, y los ${\displaystyle Yo...$son los momentos principales de la inercia.

Estas leyes de conservación equivalen a dos limitaciones al vector angular tridimensional del impulso ${\displaystyle \mathbf {L}$. La energía cinética limita ${\displaystyle \mathbf {L}$ tumbarse en un elipsoide, mientras que el impulso angular limita ${\displaystyle \mathbf {L}$ mentir en una esfera. Estas dos superficies se intersectan en dos curvas formadas como el borde de un taco que define las posibles soluciones para ${\displaystyle \mathbf {L}$. Esto demuestra que ${\displaystyle \mathbf {L}$, y el polhode, permanecer en un bucle cerrado, en el marco de referencia móvil del objeto.

La orientación del cuerpo en el espacio tiene así dos grados de libertad. En primer lugar, un punto en el "punto de chocolate" tiene que alinearse con ${\displaystyle \mathbf {L}$ que es un vector constante en el espacio absoluto. En segundo lugar, con el vector en el marco del cuerpo que pasa por este punto fijo, el cuerpo puede tener cualquier cantidad de rotación alrededor de ese vector. Por lo tanto, en principio, la orientación del cuerpo es un punto en un doble toroidal dentro del 3-manifold de todas las orientaciones. En general, el objeto seguirá un camino no experimental en este toro, pero puede seguir un camino periódico. El tiempo necesario ${\displaystyle \mathbf {L}$ completar un ciclo alrededor de su pista en el marco del cuerpo es constante, pero después de un ciclo el cuerpo habrá rotado por una cantidad que puede no ser un número racional de grados, en cuyo caso la orientación no será periódica, pero casi periódica.

En general, un toro está casi determinado por tres parámetros: las ratios de los segundos y terceros momentos de inercia al más alto de los tres momentos de inercia, y la relación ${\displaystyle L^{2}/(TI_{3}}$ relacionar el impulso angular a los tiempos de energía el momento más alto de la inercia. Pero para cualquier conjunto de parámetros hay dos tori, porque hay dos "tacos" (correspondiendo a dos polhodes). Un conjunto de rotaciones de 180° lleva cualquier orientación de un toro en una orientación del otro con el punto opuesto alineado con el vector de impulso angular. Si el impulso angular está exactamente alineado con los ejes principales, el toro degenera en un solo bucle. Si exactamente dos momentos de inercia son iguales (un denominado cuerpo simétrico), entonces además de tori habrá un número infinito de bucles, y si los tres momentos de inercia son iguales, habrá bucles pero no tori. Si los tres momentos de la inercia son todos diferentes ${\displaystyle L^{2}=TI_{2}$ pero el eje intermedio no está alineado con el impulso angular, entonces la orientación será un punto en un anulus abierto topológico.

Por todo esto, cuando el vector de velocidad angular (o el vector de momento angular) no está cerca del eje de mayor o menor inercia, el cuerpo "da volteretas". La mayoría de las lunas giran más o menos alrededor de su eje de mayor inercia (debido a efectos viscosos), pero Hiperión (una luna de Saturno), dos lunas de Plutón y muchos otros cuerpos pequeños del Sistema Solar tienen rotaciones volteadas.

Si el cuerpo está girando en su eje principal intermedio, entonces la intersección del ellipsoide y la esfera es como dos lazos que cruzan en dos puntos, alineados con ese eje. Si la alineación con el eje intermedio no es perfecta entonces ${\displaystyle \mathbf {L}$ eventualmente se moverá de este punto a lo largo de una de las cuatro pistas que salen de este punto, y se dirigen al punto opuesto. Esto corresponde a ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$ moviéndose a su antipodo en el elipsoide Poinsot. Ver vídeo a la derecha y Tennis raqueta teorema.

Esta construcción difiere de la construcción de Poinsot porque considera el impulso angular vector ${\displaystyle \mathbf {L}$ más que el vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }$. Parece haber sido desarrollado por Jacques Philippe Marie Binet.

En el caso general de rotación de un cuerpo asimétrico, que tiene diferentes valores del momento de inercia sobre los tres ejes principales, el movimiento de rotación puede ser bastante complejo a menos que el cuerpo esté rotando alrededor de un eje principal. Como se describe en el teorema de la raqueta de tenis, la rotación de un objeto alrededor de su primer o tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es. El movimiento se simplifica en el caso de un cuerpo axisimétrico, en el que el momento de inercia es el mismo sobre dos de los ejes principales. Estos casos incluyen la rotación de un esferoide alargado (la forma de una pelota de fútbol americano) o la rotación de un esferoide achatado (la forma de una esfera aplanada). En este caso, la velocidad angular describe un cono y el polhode es un círculo. Este análisis es aplicable, por ejemplo, a la precesión axial de la rotación de un planeta (el caso de un esferoide achatado).

Una de las aplicaciones de la construcción de Poinsot es la visualización de la rotación de una nave espacial en órbita.

• Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des CorpsBachelier, París.
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mecánica3o. ed, Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) y ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica, 2. Ed, Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mecánica3o. Ed, Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

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