Elipsoide

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Superficie cuádrica que parece una esfera deformada

Ejemplos de elipsoides con ecuación

x 2 / a 2 + Sí. 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1

Sphere, $a = b = c = 4$ , arriba;
Spheroid, $a = b = 5$ , $c = 3$ , inferior izquierdo;
Tri-axial Ellipsoide, $a 4.5$ , $b = 6$ ; $c = 3$ , inferior derecho

Un elipsoide es una superficie que se puede obtener de una esfera deformándola mediante escalas direccionales, o más generalmente, de una transformación afín.

Un elipsoide es una superficie cuádrica; es decir, una superficie que se puede definir como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse, o está vacía, o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "similar a una elipse"). Está acotado, lo que significa que puede estar encerrado en una esfera suficientemente grande.

Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares que se intersecan en un centro de simetría, llamado centro del elipsoide. Los segmentos de recta que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se denominan ejes principales, o simplemente ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen diferentes longitudes, la figura es un elipsoide triaxial (raramente elipsoide escaleno), y los ejes están definidos de manera única.

Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un elipsoide de revolución, también llamado esferoide. En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje y, por lo tanto, hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado; si es más largo, es un esferoide alargado. Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera.

Ecuación estándar

El elipsoide general, también conocido como elipsoide triaxial, es una superficie cuadrática que se define en coordenadas cartesianas como:

{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}+{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}

Donde $a$ , $b$ y $c$ son la longitud de los semi-axes.

Los puntos ${displaystyle (a,0,0)}$ , ${displaystyle (0,b,0)}$ y ${displaystyle (0,0,c)}$ miente sobre la superficie. Los segmentos de línea del origen a estos puntos se denominan los semi-axies principales del ellipsoide, porque $a, b, c$ son la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al eje semi-major y al eje semi-minor de un elipse.

En el sistema de coordinación esférica para el cual ${displaystyle (x,y,z)=(rsin theta cos varphirsin theta sin varphircos theta)}$ , el elipsoide general se define como:

{displaystyle {r^{2}sin ^{2}theta cos ^{2}varphi over a^{2}}+{r^{2}sin ^{2}theta sin ^{2}varphi over b^{2}}+{r^{2}cos ^{2}theta over c^{2}}=1,}

Donde $theta$ es el ángulo polar y $varphi$ es el ángulo azimutal.

Cuando $a=b=c$ El elipsoide es una esfera.

Cuando ${displaystyle a=bneq c}$ , el elipsoide es un espheroid o ellipsoide de la revolución. En particular, si $c}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a=b■c{displaystyle a=b confidencial}c}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4e2c770be564fcc272802932f2139280fb5720" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.431ex; height:2.176ex;"/>$ , es un esferoide oblato; si $<math alttext="{displaystyle a=ba=b.c{displaystyle a=b <img alt="{displaystyle a=b$ , es un esferoide prolato.

Parametrización

El elipsoide se puede parametrizar de varias maneras, que son más sencillas de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una elección común es

{displaystyle {begin{aligned}x&=asin(theta)cos(varphi),\y&=bsin(theta)sin(varphi),\z&=ccos(theta),end{aligned}},!}

dónde

<math alttext="{displaystyle 0leq theta leq piqquad 0leq varphi 0\leq \leq Silencio Silencio \leq \leq π π ,0\leq \leq φ φ .2π π .{displaystyle 0leq theta leq piqquad 0leq varphi -2pi.} <img alt="{displaystyle 0leq theta leq piqquad 0leq varphi

Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas, donde $θ$ es el ángulo polar y $φ$ es el ángulo acimutal del punto $(x, y, z)$ del elipsoide.

Midiendo desde el ecuador en lugar de un polo,

{displaystyle {begin{aligned}x&=acos(theta)cos(lambda),\y&=bcos(theta)sin(lambda),\z&=csin(theta),end{aligned}},!}

dónde

<math alttext="{displaystyle -{tfrac {pi }{2}}leq theta leq {tfrac {pi }{2}},qquad 0leq lambda − − π π 2≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ π π 2,0≤ ≤ λ λ .2π π ,{displaystyle - ¿Qué? }{2}leq theta leq {tfrac {pi }{2},qquad 0leq lambda<img alt="{displaystyle -{tfrac {pi }{2}}leq theta leq {tfrac {pi }{2}},qquad 0leq lambda

$θ$ es la latitud reducida, la latitud paramétrica o la anomalía excéntrica y $λ$ es acimut o longitud.

Midiendo ángulos directamente a la superficie del elipsoide, no a la esfera circunscrita,

{displaystyle {begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}}=R{begin{bmatrix}cos(gamma)cos(lambda)\cos(gamma)sin(lambda)\sin(gamma)end{bmatrix}},!}

dónde

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}R={}&{frac {abc}{sqrt {c^{2}left(b^{2}cos ^{2}lambda +a^{2}sin ^{2}lambda right)cos ^{2}gamma +a^{2}b^{2}sin ^{2}gamma }}},\[3pt]&-{tfrac {pi }{2}}leq gamma leq {tfrac {pi }{2}},qquad 0leq lambda R=abcc2()b2#2⁡ ⁡ λ λ +a2pecado2⁡ ⁡ λ λ )#2⁡ ⁡ γ γ +a2b2pecado2⁡ ⁡ γ γ ,− − π π 2≤ ≤ γ γ ≤ ≤ π π 2,0≤ ≤ λ λ .2π π .{displaystyle {begin{aligned}R={}{frac {abc}{sqrt {c^{2}left(b^{2}cos ^{2}lambda +a^{2}sin ^{2}lambda right)cos ^{2}gamma ## a^{2}b^{2}sin ^{2}gamma {fnMicrosoft Sans Serif} }{2}leq gamma leq {tfrac {pi }{2},qquad 0leq lambda.2pi.end{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}R={}&{frac {abc}{sqrt {c^{2}left(b^{2}cos ^{2}lambda +a^{2}sin ^{2}lambda right)cos ^{2}gamma +a^{2}b^{2}sin ^{2}gamma }}},\[3pt]&-{tfrac {pi }{2}}leq gamma leq {tfrac {pi }{2}},qquad 0leq lambda

$γ$ sería la latitud geocéntrica de la Tierra, y $λ$ es la longitud. Estas son coordenadas esféricas verdaderas con origen en el centro del elipsoide.

En geodesia, la latitud geodésica se usa más comúnmente, como el ángulo entre la vertical y el plano ecuatorial, definido para un elipsoide biaxial. Para un elipsoide triaxial más general, consulte latitud elipsoidal.

Volumen

El volumen acotado por el elipsoide es

{displaystyle V={tfrac {4}{3}}pi abc.}

En términos de los diámetros principales $A, B, C$ (donde A = 2a, B = 2b, $C = 2 c$ ), el volumen es

{displaystyle V={tfrac {pi }{6}}ABC}

Esta ecuación se reduce al volumen de una esfera cuando los tres radios elípticos son iguales, y al de un esferoide achatado o alargado cuando dos de ellos son iguales.

El volumen de un elipsoide es 2/3 el volumen de un cilindro elíptico circunscrito, y $π$ /6 el volumen de la caja circunscrita. Los volúmenes de las cajas inscritas y circunscritas son respectivamente:

{displaystyle V_{text{inscribed}}={frac {8}{3{sqrt {3}}}}abc,qquad V_{text{circumscribed}}=8abc.}

Superficie

El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es

{displaystyle S=2pi c^{2}+{frac {2pi ab}{sin(varphi)}}left(E(varphik),sin ^{2}(varphi)+F(varphik),cos ^{2}(varphi)right),}

dónde

{displaystyle cos(varphi)={frac {c}{a}},qquad k^{2}={frac {a^{2}left(b^{2}-c^{2}right)}{b^{2}left(a^{2}-c^{2}right)}},qquad ageq bgeq c,}

y donde $F (φ, k)$ y $E (φ, k)$ son integrales elípticas incompletas de primer y segundo tipo respectivamente. El área de superficie de este elipsoide general también se puede expresar usando $R F$ y $R D$ Formas simétricas de Carlson de las integrales elípticas simplemente sustituyendo la fórmula anterior por la respectiva definiciones:

{displaystyle S=2pi c^{2}+2pi ableft[R_{F}left({frac {c^{2}}{a^{2}}},{frac {c^{2}}{b^{2}}},1right)-{frac {1}{3}}left(1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}right)left(1-{frac {c^{2}}{b^{2}}}right)R_{D}left({frac {c^{2}}{a^{2}}},{frac {c^{2}}{b^{2}}},1right)right].}

A diferencia de la expresión con $F (φ, k)$ y $E (φ, k)$ , la variante basada en las integrales simétricas de Carlson produce resultados válidos para una esfera y solo el eje $c$ debe ser el más pequeño, el orden entre los dos ejes más grandes, $a$ y $b$ pueden ser arbitrarios.

El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide) se puede expresar en términos de funciones elementales:

<math alttext="{displaystyle S_{text{oblate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {c^{2}}{ea^{2}}}operatorname {artanh} eright),qquad {text{where }}e^{2}=1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}{text{ and }}(cSoblación=2π π a2()1+c2ea2Artanh⁡ ⁡ e),Dondee2=1− − c2a2y()c.a),{displaystyle S_{text{oblate}=2pi a^{2}left(1+{frac {c^{2}{ea^{2}}}operatorname {artanh} eright),qquad {text{where} }e^{2}=1-{frac {c^{2}{2} {text{ >} {y} {c<a}} {c}} {c} {c}} {c}} {c}} {c}} {c}}} {c}} {c} {c} {c}} {c}}} {c} {c}}}}{c}}}}{c}}}}} {c}} {c}{c}}}}}} {c}}}}}{c} {c}{c}}}}}} {c}}}}}}}}}}{c}{c}}}}{c}}}}}{c} {c}} {c}}}{c}{c}}}}}}}}}}}}}}}}}{c} {c}}}}}}}}}}}}{c}}}}{c}}<img alt="{displaystyle S_{text{oblate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {c^{2}}{ea^{2}}}operatorname {artanh} eright),qquad {text{where }}e^{2}=1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}{text{ and }}(c

{displaystyle S_{text{oblate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {1-e^{2}}{e}}operatorname {artanh} eright)}

{displaystyle S_{text{oblate}}=2pi a^{2} +{frac {pi c^{2}}{e}}ln {frac {1+e}{1-e}}}

a),}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Sprolate=2π π a2()1+caearcsin⁡ ⁡ e)Dondee2=1− − a2c2y()c■a),{displaystyle S_{text{prolate}=2pi a^{2}left(1+{frac}arcsin eright)qquad {text{where }e^{2}=1-{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}a),}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0cceaa306b862122dffccac32b8b0f3d73178e" style="vertical-align: -2.171ex; width:69.318ex; height:6.009ex;"/>

que, como sigue de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para $S oblate$ puede ser utilizado para calcular el área de superficie de un elipsoide alargado y viceversa). En ambos casos, $e$ puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo, Mathworld.

Fórmula aproximada

{displaystyle Sapprox 4pi {sqrt[{p}]{frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.,!}

Aquí $p \approx 1,6075$ arroja un error relativo de 1,061 % como máximo; un valor de $p = 8 / 5 = 1,6$ es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de 1,178 como máximo %

En el "piso" límite de $c$ mucho menor que $a$ y $b$ , el área es aproximadamente $2π ab$ , equivalente a $p = log 2 3 \approx 1,5849625007$ .

Secciones del plano

Sección plana de un elipsoide

La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de algún otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines asignan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un solo punto, o está vacía. Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para elipsoides triaxiales (ver Sección circular).

Determinación de la elipse de una sección plana

Sección plana de un elipsoide (ver ejemplo)

Dado: Elipsoide $x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1$ y el plano con ecuación $n x x + n y y + n z z = d$ , que tienen una elipse en común.

Se busca: Tres vectores $f 0$ (centro) y $f 1$ , $f 2$ (vectores conjugados), tales que la elipse puede ser representada por la ecuación paramétrica

{displaystyle mathbf {x} =mathbf {f} _{0}+mathbf {f} _{1}cos t+mathbf {f} _{2}sin t}

(ver puntos suspensivos).

Sección de planos de la esfera de unidad (véase el ejemplo)

Solución: La escala $u = x / a, v = y / b, w = z / c$ transforma el elipsoide en la esfera unitaria $u 2 + v 2 + w 2 = 1$ y el plano dado sobre el plano con ecuacion

{displaystyle n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}

Sea $m u u + m v v + m w w = δ$ sea la forma normal de Hesse del nuevo plano y

{displaystyle ;mathbf {m} ={begin{bmatrix}m_{u}\m_{v}\m_{w}end{bmatrix}};}

su vector unitario normal. Por eso

{displaystyle mathbf {e} _{0}=delta mathbf {m} ;}

es el centro del círculo de intersección y

{displaystyle ;rho ={sqrt {1-delta ^{2}}};}

su radio (ver diagrama).

Donde $m w = \pm1$ (es decir, el plano es horizontal), sea

{displaystyle mathbf {e} _{1}={begin{bmatrix}rho \0\0end{bmatrix}},qquad mathbf {e} _{2}={begin{bmatrix}0\rho \0end{bmatrix}}.}

Donde $m w \neq \pm1$ , sea

{displaystyle mathbf {e} _{1}={frac {rho }{sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}},{begin{bmatrix}m_{v}\-m_{u}\0end{bmatrix}},,qquad mathbf {e} _{2}=mathbf {m} times mathbf {e} _{1}.}

En cualquier caso, los vectores $e 1, e 2$ son ortogonales, paralelas al plano de intersección y tienen una longitud $ρ$ (radio del círculo). Por lo tanto, el círculo de intersección se puede describir mediante la ecuación paramétrica

{displaystyle ;mathbf {u} =mathbf {e} _{0}+mathbf {e} _{1}cos t+mathbf {e} _{2}sin t;.}

La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo en el elipsoide y los vectores $e 0, e 1, e 2$ se asignan a los vectores $f 0, f 1, f 2$ , que se buscaban para la representación paramétrica de la elipse de intersección.

Cómo encontrar los vértices y los semiejes de la elipse se describe en elipse.

Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes $a = 4, b = 5, c = 3$ que es cortado por el plano $x + y + z = 5$ .

Construcción con alfileres y cuerdas

Pins-and-string construction of an ellipse:

Silencio S 1 S 2 Silencio

, longitud de la cadena (rojo)

Pins-and-string construction of an ellipsoid, blue: focal conics

Determinación del semi eje del ellipsoide

La construcción de alfileres y cuerdas de un elipsoide es una transferencia de la idea de construir una elipse usando dos alfileres y una cuerda (ver diagrama).

Una construcción de pasadores y cuerdas de un elipsoide de revolución viene dada por la construcción de pasadores y cuerdas de la elipse rotada.

La construcción de puntos de un elipsoide triaxial es más complicada. Las primeras ideas se deben al físico escocés J. C. Maxwell (1868). Las investigaciones principales y la extensión a las cuádricas fueron realizadas por el matemático alemán O. Staude en 1882, 1886 y 1898. La descripción de la construcción de alfileres y cuerdas de elipsoides e hiperboloides se encuentra en el libro Geometría y la imaginación escrito por D. Hilbert & S. Vossen también.

Pasos de la construcción

Elija un elipse $E$ y a hiperbola $H$ , que son un par de conics focal: ${displaystyle {begin{aligned}E(varphi)&=(acos varphibsin varphi0)\H(psi)&=(ccosh psi0,bsinh psi),quad c^{2}=a^{2}-b^{2}end{aligned}}}$ con los vértices y foci de la elipse ${displaystyle S_{1}=(a,0,0),quad F_{1}=(c,0,0),quad F_{2}=(-c,0,0),quad S_{2}=(-a,0,0)}$ y a cuerda (en el diagrama rojo) de longitud $l$ .
Pin un extremo de la cadena al vértice $S 1$ y el otro para centrarse $F 2$ . La cuerda se mantiene apretada en un punto $P$ positivo $Sí.$ - y $z$ -coordinados, tal que la cuerda corre de $S 1$ a $P$ detrás de la parte superior de la hiperbola (ver diagrama) y es libre de deslizarse sobre la hiperbola. La parte de la cuerda de $P$ a $F 2$ corre y se desliza delante de la elipse. La cuerda pasa por ese punto de la hiperbola, para el cual la distancia $Silencio S 1 P Silencio$ sobre cualquier punto de hiperbola es como mínimo. La declaración analógica de la segunda parte de la cuerda y la elipse también tiene que ser verdad.
Entonces: $P$ es un punto del elipsoide con ecuación ${displaystyle {begin{aligned}&{frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\&r_{x}={frac {1}{2}}(l-a+c),quad r_{y}={sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}},quad r_{z}={sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}.end{aligned}}}$
Los puntos restantes del elipsoide pueden ser construidos por cambios adecuados de la cadena en el conics focal.

Semirejes

Las ecuaciones para los semiejes del elipsoide generado se pueden derivar mediante elecciones especiales para el punto $P$ :

{displaystyle Y=(0,r_{y},0),quad Z=(0,0,r_{z}).}

La parte inferior del diagrama muestra que $F 1$ y $F 2$ son los focos de la elipse en el $xy$ -avión, también. Por lo tanto, es confocal a la elipse dada y la longitud de la cadena es $l = 2 r x + (a - c)$ . Resolviendo para $r x$ se obtiene $r x = 1 / 2 (l - a + c); además r 2 y = r 2 x - c 2 .$

En el diagrama superior vemos que $S 1$ y $S 2$ son los focos de la sección de elipse del elipsoide en el $xz$ -plane y que $r 2 z = r 2 x - a 2$ .

Conversar

Si, por el contrario, un elipsoide triaxial viene dado por su ecuación, entonces a partir de las ecuaciones del paso 3 se pueden derivar los parámetros $a$ , $b$ , $l$ para una construcción de alfileres y cuerdas.

Elipsoides confocales

Si E es una elipsoide confocal a E con los cuadrados de sus semiejes

{displaystyle {overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-lambdaquad {overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-lambdaquad {overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-lambda }

luego de las ecuaciones de E

{displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}

se encuentra que las cónicas focales correspondientes utilizadas para la construcción de pasadores y cuerdas tienen los mismos semiejes $a, b, c$ como elipsoide E. Por lo tanto (análogamente a los focos de una elipse) uno considera las cónicas focales de un elipsoide triaxial como los (muchos infinitos) focos y los llama las curvas focales del elipsoide.

La declaración inversa también es cierta: si uno elige una segunda cadena de longitud $l$ y define

{displaystyle lambda =r_{x}^{2}-{overline {r}}_{x}^{2}}

entonces las ecuaciones

{displaystyle {overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-lambdaquad {overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-lambda }

son válidos, lo que significa que los dos elipsoides son confocales.

Caso límite, elipsoide de revolución

En el caso de $a = c$ (un esferoide) se obtiene $S 1 = F 1$ y $S 2 = F 2$ , lo que significa que la elipse focal degenera a un segmento de línea y la hipérbola focal colapsa a dos segmentos de línea infinitos en el eje $x$ . El elipsoide es rotacionalmente simétrico alrededor del eje $x$ y

{displaystyle r_{x}={frac {l}{2}},quad r_{y}=r_{z}={sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}

Propiedades de la hipérbola focal

Top: Ellipsoide 3-axial con su hiperbola focal.
Tema: proyección paralela y central del elipsoide tal que parece una esfera, es decir, su forma aparente es un círculo

Curva de verdad: Si uno ve un ellipsoide desde un punto externo $V$ de su hiperbola focal, que parece ser una esfera, que es su forma aparente es un círculo. Equivalentemente, los tangentes del punto que contiene ellipsoide $V$ son las líneas de un cono circular, cuyo eje de rotación es la línea tangente de la hiperbola $V$ . Si uno permite el centro $V$ para desaparecer en el infinito, se obtiene una proyección ortogonal paralela con el correspondiente asintoto de la hiperbola focal como su dirección. El verdadera curva de forma No es un círculo.
La parte inferior del diagrama muestra a la izquierda una proyección paralela de un ellipsoide (con semi-axes 60, 40, 30) a lo largo de un asintoto y a la derecha una proyección central con centro $V$ y punto principal $H$ en el tangente de la hiperbola en el punto $V$ . () $H$ es el pie del perpendicular desde $V$ en el plano de imagen.) Para ambas proyecciones la forma aparente es un círculo. En el caso paralelo la imagen del origen $O$ es el centro del círculo; en el punto principal del caso central $H$ es el centro.
Puntos umbilicales: El hiperbola focal intersecta el ellipsoide en sus cuatro puntos umbilicales.

Propiedad de la elipse focal

La elipse focal junto con su parte interior se puede considerar como la superficie límite (un elipsoide infinitamente delgado) del lápiz de elipsoides confocales determinada por $a, b$ para $r z \to 0$ . Para el caso límite se obtiene

{displaystyle r_{x}=a,quad r_{y}=b,quad l=3a-c.}

En posición general

Como cuádrica

Si $v$ es un punto y $A$ es una matriz definida positiva, simétrica y real, entonces el conjunto de puntos $x$ que satisfacen la ecuación

{displaystyle (mathbf {x} -mathbf {v})^{mathsf {T}}!{boldsymbol {A}},(mathbf {x} -mathbf {v})=1}

es un elipsoide centrado en $v$ . Los vectores propios de $A$ son los ejes principales del elipsoide y los valores propios de $A$ son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes: $a -2$ , $b -2$ y c⁻².

Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que se puede llevar a la forma estándar anterior mediante una rotación adecuada, una consecuencia de la descomposición polar (también, consulte el teorema espectral). Si la transformación lineal está representada por una matriz simétrica de 3 × 3, entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición en valores singulares y la descomposición polar son descomposiciones de matrices estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.

Representación paramétrica

ellipsoide como imagen afinada de la esfera unidad

La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en posición general es la definición alternativa:

Un ellipsoide es una imagen afinada de la esfera de unidad.

Una transformación afín se puede representar mediante una traslación con un vector $f 0$ y una matriz regular de 3 × 3 $A$ :

{displaystyle mathbf {x} mapsto mathbf {f} _{0}+{boldsymbol {A}}mathbf {x} =mathbf {f} _{0}+xmathbf {f} _{1}+ymathbf {f} _{2}+zmathbf {f} _{3}}

donde $f 1, f 2, f 3$ son los vectores columna de la matriz $A$ .

Se puede obtener una representación paramétrica de un elipsoide en posición general mediante la representación paramétrica de una esfera unitaria (ver arriba) y una transformación afín:

<math alttext="{displaystyle mathbf {x} (thetavarphi)=mathbf {f} _{0}+mathbf {f} _{1}cos theta cos varphi +mathbf {f} _{2}cos theta sin varphi +mathbf {f} _{3}sin thetaqquad -{tfrac {pi }{2}}<theta <{tfrac {pi }{2}},quad 0leq varphi x()Silencio Silencio ,φ φ )=f0+f1#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ +f2#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ +f3pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ,− − π π 2.Silencio Silencio .π π 2,0≤ ≤ φ φ .2π π {displaystyle mathbf {x} (thetavarphi)=mathbf {f} ¿Qué? _{1}cos theta cos varphi +mathbf {f} _{2}cos theta sin varphi +mathbf {f} Sin thetaqquad - {tfrac {pi}{2} {theta {tfrac {pi}{2}}quad 0leq varphi<img alt="{displaystyle mathbf {x} (thetavarphi)=mathbf {f} _{0}+mathbf {f} _{1}cos theta cos varphi +mathbf {f} _{2}cos theta sin varphi +mathbf {f} _{3}sin thetaqquad -{tfrac {pi }{2}}<theta <{tfrac {pi }{2}},quad 0leq varphi

Si los vectores $f 1, f 2, f 3$ forman un sistema ortogonal, los seis puntos con vectores $f 0 \pm f 1,2,3$ son los vértices del elipsoide y $| f 1 |, | f 2 |, | f 3 |$ son los ejes semiprincipales.

Un vector normal de superficie en el punto $x (θ, φ)$ es

{displaystyle mathbf {n} (thetavarphi)=mathbf {f} _{2}times mathbf {f} _{3}cos theta cos varphi +mathbf {f} _{3}times mathbf {f} _{1}cos theta sin varphi +mathbf {f} _{1}times mathbf {f} _{2}sin theta.}

Para cualquier elipsoide existe una representación implícita $F (x, y, z) = 0$ . Si por simplicidad el centro del elipsoide es el origen, $f 0 = 0$ , la siguiente ecuación describe el elipsoide de arriba:

{displaystyle F(x,y,z)=operatorname {det} left(mathbf {x}mathbf {f} _{2},mathbf {f} _{3}right)^{2}+operatorname {det} left(mathbf {f} _{1},mathbf {x}mathbf {f} _{3}right)^{2}+operatorname {det} left(mathbf {f} _{1},mathbf {f} _{2},mathbf {x} right)^{2}-operatorname {det} left(mathbf {f} _{1},mathbf {f} _{2},mathbf {f} _{3}right)^{2}=0}

Aplicaciones

La forma elipsoidal encuentra muchas aplicaciones prácticas:

Geodesia

Elipsoide de la Tierra, una figura matemática que aproxima la forma de la Tierra.
Ellipsoide de referencia, una figura matemática que aproxima la forma de los cuerpos planetarios en general.

Mecánica

Elipsoide de Poinsot, un método geométrico para visualizar el movimiento sin par de un cuerpo rígido rotativo.
Ellipsoide de estrés de Lamé, una alternativa al círculo de Mohr para la representación gráfica del estado de estrés en un momento.
Elipsoide de manipulación, utilizado para describir la libertad de movimiento de un robot.
Jacobi ellipsoide, un ellipsoide triaxial formado por un fluido giratorio

Cristalografía

Ellipsoide de índice, un diagrama de un ellipsoide que representa la orientación y magnitud relativa de los índices refractivos en un cristal.
Elipsoide térmico, ellipsoides utilizados en la cristalografía para indicar las magnitudes y direcciones de la vibración térmica de los átomos en las estructuras de cristal.

Iluminación

Ellipsoidal reflector floodlight
Ellipsoidal reflector spotlight

Medicina

Las mediciones obtenidas a partir de imágenes de resonancia magnética de la próstata pueden utilizarse para determinar el volumen de la glándula utilizando la aproximación $L \times W \times H \times 0,522$ (donde 0.52 es una aproximación para $π$ /6)

Propiedades dinámicas

La masa de un elipsoide de densidad uniforme $ρ$ es

{displaystyle m=Vrho ={tfrac {4}{3}}pi abcrho.}

Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son

{displaystyle {begin{aligned}I_{mathrm {xx} }&={tfrac {1}{5}}mleft(b^{2}+c^{2}right),&I_{mathrm {yy} }&={tfrac {1}{5}}mleft(c^{2}+a^{2}right),&I_{mathrm {zz} }&={tfrac {1}{5}}mleft(a^{2}+b^{2}right),\[3pt]I_{mathrm {xy} }&=I_{mathrm {yz} }=I_{mathrm {zx} }=0.end{aligned}}}

Para $a = b = c$ estos momentos de inercia se reducen a los de una esfera de densidad uniforme.

La concepción del artista de Haumea, un planeta enano Jacobi-ellipsoide, con sus dos lunas

Los elipsoides y los cuboides giran de manera estable a lo largo de sus ejes mayor o menor, pero no a lo largo de su eje mediano. Esto se puede ver experimentalmente lanzando un borrador con algo de giro. Además, las consideraciones del momento de inercia significan que la rotación a lo largo del eje mayor se perturba más fácilmente que la rotación a lo largo del eje menor.

Un efecto práctico de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos como Haumea generalmente giran a lo largo de sus ejes menores (al igual que la Tierra, que es meramente achatada); además, debido al bloqueo de las mareas, las lunas en órbita sincrónica como Mimas orbitan con su eje principal alineado radialmente con su planeta.

Un cuerpo giratorio de fluido autogravitatorio homogéneo asumirá la forma de un esferoide de Maclaurin (esferoide achatado) o un elipsoide de Jacobi (elipsoide escaleno) cuando esté en equilibrio hidrostático y para velocidades de rotación moderadas. A rotaciones más rápidas, se pueden esperar formas piriformes u oviformes no elipsoidales, pero no son estables.

Dinámica de fluidos

El elipsoide es la forma más general para la que ha sido posible calcular el flujo progresivo de fluido alrededor de la forma sólida. Los cálculos incluyen la fuerza requerida para trasladarse a través de un fluido y girar dentro de él. Las aplicaciones incluyen la determinación del tamaño y la forma de moléculas grandes, la tasa de hundimiento de partículas pequeñas y la capacidad de natación de los microorganismos.

En probabilidad y estadística

Las distribuciones elípticas, que generalizan la distribución normal multivariante y se utilizan en finanzas, se pueden definir en términos de sus funciones de densidad. Cuando existen, las funciones de densidad $f$ tienen la estructura:

{displaystyle f(x)=kcdot gleft((mathbf {x} -{boldsymbol {mu }}){boldsymbol {Sigma }}^{-1}(mathbf {x} -{boldsymbol {mu }})^{mathsf {T}}right)}

donde $k$ es un factor de escala, $x$ es un vector de fila aleatorio $n$ -dimensional con vector mediano $μ$ (que también es el vector medio si este último existe), $Σ$ es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe, y $g$ es una función que mapea de los reales no negativos a los reales no negativos dando una área finita bajo la curva. La distribución normal multivariada es el caso especial en el que $g (z) = exp(- z / 2)$ para la forma cuadrática $z$ .

Por lo tanto, la función de densidad es una transformación escalar a escalar de una expresión cuádrica. Además, la ecuación para cualquier superficie de isodensidad establece que la expresión cuádrica es igual a alguna constante específica para ese valor de la densidad, y la superficie de isodensidad es un elipsoide.

En dimensiones superiores

A hiperellipsoid, o elipsoide de la dimensión $n-1$ en un espacio euclidiano de dimensión $n$ , es una hipersuperficie cuádrica definida por un polinomio del grado dos que tiene una parte homogénea del grado dos que es una forma cuadrática definida positiva.

También se puede definir un hiperelipsoide como la imagen de una esfera bajo una transformación afín invertible. El teorema espectral se puede usar nuevamente para obtener una ecuación estándar de la forma

{displaystyle {frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+cdots +{frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}

El volumen de un hiperelipsoide $n$ -dimensional se puede obtener reemplazando $R n$ por el producto de los semiejes $a 1 a 2 ... a n$ en la fórmula para el volumen de una hiperesfera:

{displaystyle V={frac {pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac {n}{2}}+1right)}}a_{1}a_{2}cdots a_{n}}

(donde $Γ$ es la función gamma).

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