Elipse

Un elipse (rojo) obtenido como la intersección de un cono con un plano inclinado.

Elipse: notaciones

Elipses: ejemplos con creciente excentricidad

En matemáticas, un elipse es una curva de plano que rodea dos puntos focales, tal que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo, que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son los mismos. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad ${displaystyle e}$, un número que va desde ${displaystyle e=0}$ (el caso límite de un círculo) a ${displaystyle e=1}$ (el caso limitante de la elongación infinita, ya no es una elipse sino una parabola).

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero solo aproximaciones para su perímetro (también conocido como circunferencia), para lo cual se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente, la ecuación de un elipse estándar centrado en el origen con ancho ${displaystyle 2a}$ y altura ${displaystyle 2b}$ es:

${fnMicroc} {x^{2}{a^{2}}+{frac} {y^{2}{b^{2}}=1.}$

Sumas ${displaystyle ageq b}$, el foci son ${displaystyle (pm c,0)}$ para ${textstyle c={sqrt {a^{2}-b^{2}}}$. La ecuación paramétrica estándar es:

${displaystyle (x,y)=(acos(t),bsin(t))quad {text{for}quad 0leq tleq 2pi.}$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica: una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, parábolas e hipérbolas, las cuales son abiertas e ilimitadas. Una sección transversal en ángulo de un cilindro también es una elipse.

Una elipse también se puede definir en términos de un punto focal y una línea fuera de la elipse denominada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es una constante. Esta relación constante es la excentricidad antes mencionada:

${displaystyle e={frac {c}{a}={sqrt {1-{frac {B^{2}}}}}}}$

Las elipses son comunes en física, astronomía e ingeniería. Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas suelen estar bien descritas por elipsoides. Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo una proyección paralela o en perspectiva. La elipse es también la figura de Lissajous más simple que se forma cuando los movimientos horizontal y vertical son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en la óptica.

El nombre, ἔλλειψις (élleipsis, "omisión"), fue dada por Apolonio de Perge en sus Cónicas.

Definición como lugar geométrico de los puntos

Elipse: definición por suma de distancias a foci

Elipse: definición por enfoque y directrix circular

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

Dados dos puntos fijos ${displaystyle F_{1},F_{2}$ llamada foci y una distancia ${displaystyle 2a}$ que es mayor que la distancia entre el foci, el elipse es el conjunto de puntos ${displaystyle P}$ tal que la suma de las distancias ${fnMicrosoft Sans Serif}$ es igual a ${displaystyle 2a}$:${displaystyle E=left{Pin mathbb {R} ^{2},mid , WordPressPF_{2}Sobrevivir=2aright}}$

El punto medio ${displaystyle C}$ del segmento de línea que une el foci se llama centro de la elipse. La línea a través de la foci se llama eje principal, y la línea perpendicular a él a través del centro es el eje menor. El eje principal interseca el elipse en dos vertices ${displaystyle V_{1},V_{2}$, que tienen distancia ${displaystyle a}$ al centro. La distancia ${displaystyle c}$ del foci al centro se llama el distancia focal o excentricidad lineal. El cociente ${displaystyle e={tfrac {c}{a}}$ es excentricidad.

El caso ${displaystyle F_{1}=F_{2}$ produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse.

La ecuación ${displaystyle Silencio.$ se puede ver de una manera diferente (véase la figura):

Si ${displaystyle c_{2}$ es el círculo con el centro ${displaystyle F_{2}$ y radio ${displaystyle 2a}$, entonces la distancia de un punto ${displaystyle P}$ al círculo ${displaystyle c_{2}$ iguala la distancia al foco ${displaystyle F_{1}$:

${displaystyle Silencio.$

${displaystyle c_{2}$ se llama circular directrix (relacionado con la concentración ${displaystyle F_{2}$De la elipse. Esta propiedad no debe confundirse con la definición de un elipse utilizando una línea directrix a continuación.

Usando esferas de Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

En coordenadas cartesianas

Parámetros de forma:

• a: eje semi-major,
• b: semi-minor axis,
• c: excentricidad lineal,
• p: semi-latus recto (normalmente ${displaystyle ell }$).

Ecuación estándar

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

los puntos ${displaystyle F_{1}=(c,,0), F_{2}=(-c,,0)}$,

los vértices son ${displaystyle V_{1}=(a,,0), V_{2}=(-a,$