Eliminación de disyunción

En lógica proposicional, Eliminación de la disyunción (a veces llamado prueba de casos, análisis de casos, o o eliminación), es la forma de argumento válida y la regla de inferencia que permite eliminar una declaración disyuntiva de una prueba lógica. Es la inferencia que si una declaración P{displaystyle P} implica una declaración Q{displaystyle Q} y una declaración R{displaystyle R. también implica Q{displaystyle Q}, entonces si P{displaystyle P} o R{displaystyle R. es verdad, entonces Q{displaystyle Q} tiene que ser verdad. El razonamiento es simple: ya que al menos una de las declaraciones P y R es verdad, y ya que cualquiera de ellas sería suficiente para implicar Q, Q es ciertamente cierto.

Un ejemplo en inglés:

Si estoy dentro, tengo mi billetera encima.

Si estoy fuera, tengo mi billetera encima.

Es verdad que o estoy dentro o fuera.

Por lo tanto, tengo mi billetera encima.

Es la regla se puede establecer como:

P→ → Q,R→ → Q,PAlternativa Alternativa R▪ ▪ Q{displaystyle {frac {to Q,Rto Q,Plor R}{therefore Q}

donde la regla es que cada instancia de "P→ → Q{displaystyle Pto Q}", y "R→ → Q{displaystyle Rto Q}"y"PAlternativa Alternativa R{displaystyle Plor R}"parecen en líneas de una prueba, "Q{displaystyle Q}"se puede colocar en una línea posterior.

Notación formal

La regla de eliminación de la disyunción se puede escribir en notación consecutiva:

()P→ → Q),()R→ → Q),()PAlternativa Alternativa R)⊢ ⊢ Q{displaystyle (Pto Q),(Rto Q),(Plor R)vdash Q}

Donde ⊢ ⊢ {displaystyle vdash } es un símbolo metalógico que significa que Q{displaystyle Q} es una consecuencia sintáctica de P→ → Q{displaystyle Pto Q}, y R→ → Q{displaystyle Rto Q} y PAlternativa Alternativa R{displaystyle Plor R} en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología funcional veritativa o teorema de lógica proposicional:

()()()P→ → Q)∧ ∧ ()R→ → Q))∧ ∧ ()PAlternativa Alternativa R))→ → Q{displaystyle ((Pto Q)land (Rto Q))land (Plor R))to Q}

Donde P{displaystyle P}, Q{displaystyle Q}, y R{displaystyle R. son propuestas expresadas en algún sistema formal.