Élie Cartan

Élie Joseph Cartan ForMemRS (Francés: [kaʁtɑ̃]; 9 de abril de 1869 – 6 de mayo de 1951) fue un influyente matemático francés que realizó un trabajo fundamental en la teoría de los grupos de Lie, los sistemas diferenciales (formulación geométrica sin coordenadas de PDE) y la geometría diferencial. También hizo importantes contribuciones a la relatividad general e indirectamente a la mecánica cuántica. Es ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos del siglo XX.

Su hijo Henri Cartan fue un matemático influyente que trabajó en topología algebraica.

Vida

Élie Cartan nació el 9 de abril de 1869 en el pueblo de Dolomieu, Isère, hijo de Joseph Cartan (1837-1917) y Anne Cottaz (1841-1927). Joseph Cartan era el herrero del pueblo; Élie Cartan recordó que su infancia transcurrió bajo "golpes de yunque, que comenzaban cada mañana desde el amanecer", y que "su madre, durante esos raros minutos en los que estaba libre de cuidar de la los niños y el casa, estaba trabajando con una rueca". Élie tenía una hermana mayor, Jeanne-Marie (1867-1931), que se convirtió en modista; un hermano menor, Léon (1872-1956), que se convirtió en herrero trabajando en la herrería de su padre; y una hermana menor, Anna Cartan (1878-1923), quien, en parte bajo la influencia de Élie, ingresó en la École Normale Supérieure (como lo había hecho antes Élie) y eligió una carrera como profesora de matemáticas en un lycée (escuela secundaria).

Élie Cartan ingresó a una escuela primaria en Dolomieu y fue el mejor alumno de la escuela. Uno de sus profesores, el señor Dupuis, recordaba que “Élie Cartan era un estudiante tímido, pero en sus ojos brillaba una luz inusual de gran intelecto, y esto se combinaba con una excelente memoria”. Antonin Dubost, entonces representante de Isère, visitó la escuela y quedó impresionado por las inusuales habilidades de Cartan. Recomendó a Cartan que participara en un concurso para obtener una beca en un liceo. Cartan se preparó para el concurso bajo la supervisión del señor Dupuis y aprobó a la edad de diez años. Pasó cinco años (1880-1885) en el Colegio de Viena y luego dos años (1885-1887) en el Liceo de Grenoble. En 1887 se trasladó al Lycée Janson de Sailly de París para estudiar ciencias durante dos años; allí conoció y se hizo amigo de su compañero de clase Jean-Baptiste Perrin (1870-1942), quien más tarde se convirtió en un físico famoso en Francia.

Cartan se matriculó en la École Normale Supérieure en 1888. Asistió allí a conferencias de Charles Hermite (1822-1901), Jules Tannery (1848-1910), Gaston Darboux (1842-1917), Paul Appell (1855-1930), Émile Picard (1856-1941), Edouard Goursat (1858-1936) y Henri Poincaré (1854-1912), cuyas conferencias eran lo que Cartan tenía en mayor estima.

Después de graduarse de la École Normale Superieure en 1891, Cartan fue reclutado por el ejército francés, donde sirvió un año y alcanzó el rango de sargento. Durante los dos años siguientes (1892-1894) Cartan regresó a la ENS y, siguiendo el consejo de su compañero de clase Arthur Tresse (1868-1958), que estudió con Sophus Lie en los años 1888-1889, trabajó en el tema de la clasificación de grupos de Lie simples., que fue iniciado por Wilhelm Killing. En 1892, Lie llegó a París, invitado por Darboux y Tannery, y conoció a Cartan por primera vez.

Cartan defendió su disertación, La estructura de grupos finitos y continuos de transformaciones en 1894 en la Facultad de Ciencias de la Sorbona. Entre 1894 y 1896 Cartan fue profesor en la Universidad de Montpellier; Durante los años 1896 a 1903 fue profesor en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Lyon.

En 1903, mientras estaba en Lyon, Cartan se casó con Marie-Louise Bianconi (1880-1950); ese mismo año, Cartan se convirtió en profesor de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Nancy. En 1904 nació el primer hijo de Cartan, Henri Cartan, quien más tarde se convirtió en un matemático influyente; en 1906 nació otro hijo, Jean Cartan, que se convirtió en compositor. En 1909 Cartan se mudó con su familia a París y trabajó como profesor en la Facultad de Ciencias de la Sorbona. En 1912, Cartan se convirtió en profesor allí, basándose en la referencia que recibió de Poincaré. Permaneció en la Sorbona hasta su jubilación en 1940 y pasó los últimos años de su vida enseñando matemáticas en la École Normale Supérieure para niñas.

Como alumno de Cartan, el geómetra Shiing-Shen Chern escribió:

Por lo general el día después [reunión con Cartan] Le recibiría una carta. Él diría, “Después de que te fuiste, pensé más en tus preguntas...” – él tenía algunos resultados, y algunas preguntas más, y así sucesivamente. Conocía todos estos papeles en simples grupos de mentira, álgebras de Lie, todo de corazón. Cuando lo viste en la calle, cuando aparece un problema, sacaba un sobre viejo y escribía algo y te daba la respuesta. Y a veces me llevó horas o incluso días conseguir la misma respuesta... Tuve que trabajar muy duro.

En 1921 se convirtió en miembro extranjero de la Academia Polaca de Estudios y en 1937 en miembro extranjero de la Real Academia Holandesa de Artes y Ciencias. En 1938 participó en el Comité Internacional compuesto para organizar los Congresos Internacionales por la Unidad de la Ciencia.

Murió en 1951 en París tras una larga enfermedad.

En 1976, un cráter lunar recibió su nombre. Antes, fue designado Apolonio D.

Trabajo

En los Travaux, Cartan divide su trabajo en 15 áreas. Usando terminología moderna, son:

1. Teoría de mentiras
2. Representaciones de grupos de Lie
3. Números hipercomplex, álgebras de división
4. Sistemas de PDE, Teorema Cartan-Kähler
5. Teoría de equivalencia
6. Sistemas integrados, teoría de la prolongación y sistemas en la involución
7. Grupos infinitos y pseudogrupos
8. Geometría diferencial y marcos móviles
9. Espacios generalizados con grupos de estructura y conexiones, conexión Cartan, holonomía, Weyl tensor
10. Geometría y topología de grupos de Lie
11. Geometría Riemanniana
12. Espacios simétricos
13. Topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos
14. Invariantes integrales y mecánica clásica
15. Relatividad, espinas

El trabajo matemático de Cartan puede describirse como el desarrollo del análisis de variedades diferenciables, que muchos consideran ahora la parte central y más vital de las matemáticas modernas y en la que él fue el más destacado en darle forma y avanzar. Este campo se centra en grupos de Lie, sistemas diferenciales parciales y geometría diferencial; estos, principalmente a través de las contribuciones de Cartan, ahora están estrechamente entrelazados y constituyen una herramienta unificada y poderosa.

Grupos de mentiras

Cartan estuvo prácticamente solo en el campo de los grupos de Lie durante los treinta años posteriores a su tesis. Lie había considerado estos grupos principalmente como sistemas de transformaciones analíticas de una variedad analítica, que dependían analíticamente de un número finito de parámetros. Un enfoque muy fructífero para el estudio de estos grupos se abrió en 1888 cuando Wilhelm Killing comenzó sistemáticamente a estudiar el grupo en sí mismo, independientemente de sus posibles acciones sobre otras variedades. En aquella época (y hasta 1920) sólo se consideraban propiedades locales, por lo que el principal objeto de estudio de Killing fue el álgebra de Lie del grupo, que refleja exactamente las propiedades locales en términos puramente algebraicos. El gran logro de Killing fue la determinación de todas las álgebras de Lie simples y complejas; sus pruebas, sin embargo, eran a menudo defectuosas, y la tesis de Cartan se dedicó principalmente a dar una base rigurosa a la teoría local y a demostrar la existencia de álgebras de Lie excepcionales pertenecientes a cada uno de los tipos de álgebras de Lie complejas simples que Matar había demostrado ser posible. Posteriormente Cartan completó la teoría local resolviendo explícitamente dos problemas fundamentales, para los cuales tuvo que desarrollar métodos completamente nuevos: la clasificación de álgebras de Lie reales simples y la determinación de todas las representaciones lineales irreducibles de álgebras de Lie simples, mediante la noción de peso. de una representación, que presentó a tal efecto. Fue en el proceso de determinar las representaciones lineales de los grupos ortogonales cuando Cartan descubrió en 1913 los espinores, que más tarde desempeñaron un papel tan importante en la mecánica cuántica.

Después de 1925, Cartan se interesó cada vez más en las cuestiones topológicas. Estimulado por los brillantes resultados de Weyl en grupos compactos, desarrolló nuevos métodos para el estudio de las propiedades globales de los grupos de Lie; en particular, demostró que topológicamente un grupo de Lie conectado es producto de un espacio euclidiano y un grupo compacto, y para grupos de Lie compactos descubrió que los posibles grupos fundamentales de la variedad subyacente se pueden leer a partir de la estructura del álgebra de Lie de la grupo. Finalmente, esbozó un método para determinar los números de Betti de grupos compactos de Lie, reduciendo nuevamente el problema a una cuestión algebraica sobre sus álgebras de Lie, que desde entonces ha sido completamente resuelta.

Live pseudo groups

Después de resolver el problema de la estructura de los grupos de Lie que Cartan (siguiendo la mentira) llamado "grupos continuos definitivos" (o "grupos de transformación definitiva"), Cartan planteó el problema similar para "grupos continuos infinitos", que ahora se denominan pseudogrupos Lie, un análogo infinito de grupos de Lie (hay otras generalizaciones infinitas de grupos de Lie). El pseudogrupo Lie considerado por Cartan es un conjunto de transformaciones entre subconjuntos de un espacio que contiene la transformación idéntica y posee la propiedad que el resultado de la composición de dos transformaciones en este conjunto (cuando esto sea posible) pertenece al mismo conjunto. Puesto que la composición de dos transformaciones no siempre es posible, el conjunto de transformaciones no es un grupo (pero un groupoid en terminología moderna), así el nombre pseudogrupo. Cartan consideraba sólo las transformaciones de los múltiples para los cuales no hay subdivisión de los múltiples en las clases transpuestas por las transformaciones en consideración. Tales pseudogrupos de transformaciones se llaman primitivos. Cartan mostró que cada pseudogrupo primitivo infinito de transformaciones analíticas complejas pertenece a una de las seis clases: 1) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de variables complejas; 2) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de variables complejas con una constante Jacobian (es decir, transformaciones que multiplican todos los volúmenes por el mismo número complejo); 3) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de variables complejas cuyo Jacobiano es igual a una (es decir, transformaciones que conservan volúmenes); 4) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas 4}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2n■4{displaystyle 2n confianza4}4}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9b7a314190625bab33b0d133eb885fff46a0c8" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;"/> variables complejas que conservan un cierto doble integral (el pseudogrupo simpléctico); 5) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de 4}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2n■4{displaystyle 2n confianza4}4}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9b7a314190625bab33b0d133eb885fff46a0c8" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;"/> variables complejas que multiplican el doble integral mencionado por una función compleja; 6) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de 2n+1{displaystyle 2n+1} variables complejas que multiplican una determinada forma por una función compleja (el pseudogrupo de contacto). Hay clases similares de pseudogrupos para pseudogrupos primitivos de transformaciones reales definidas por funciones analíticas de variables reales.

Sistemas diferenciales

Los métodos de Cartan en la teoría de sistemas diferenciales son quizás su logro más profundo. Rompiendo con la tradición, buscó desde el principio formular y resolver los problemas de una manera completamente invariante, independiente de cualquier elección particular de variables y funciones desconocidas. De este modo pudo dar por primera vez una definición precisa de lo que es un concepto "general" Solución de un sistema diferencial arbitrario. Su siguiente paso fue tratar de determinar todos los caracteres "singulares". soluciones también, mediante un método de "prolongación" que consiste en añadir nuevas incógnitas y nuevas ecuaciones al sistema dado de tal manera que cualquier solución singular del sistema original se convierta en una solución general del nuevo sistema. Aunque Cartan demostró que en cada ejemplo que trató su método conducía a la determinación completa de todas las soluciones singulares, no logró demostrar en general que este sería siempre el caso para un sistema arbitrario; Masatake Kuranishi obtuvo tal prueba en 1955.

La principal herramienta de Cartan fue el cálculo de formas diferenciales exteriores, que ayudó a crear y desarrollar en los diez años posteriores a su tesis y luego procedió a aplicarlo a una variedad de problemas de geometría diferencial, grupos de Lie, análisis dinámica y relatividad general. Discutió una gran cantidad de ejemplos, tratándolos en un estilo extremadamente elíptico que sólo fue posible gracias a su asombrosa visión algebraica y geométrica.

Geometría diferencial

Las contribuciones de Cartan a la geometría diferencial no son menos impresionantes, y se puede decir que revitalizó todo el tema, ya que el trabajo inicial de Riemann y Darboux se estaba perdiendo en cálculos aburridos y resultados menores, al igual que lo había hecho antes. Esto sucedió con la geometría elemental y la teoría invariante una generación antes. Su principio rector fue una extensión considerable del método de "marcos en movimiento" de Darboux y Ribaucour, a los que dio una tremenda flexibilidad y potencia, mucho más allá de todo lo que se había hecho en geometría diferencial clásica. En términos modernos, el método consiste en asociar a un haz de fibras E el haz de fibras principal que tiene la misma base y que tiene en cada punto de la base una fibra igual al grupo que actúa sobre la fibra de E en el mismo punto. Si E es el paquete tangente sobre la base (que desde Lie se conocía esencialmente como la variedad de "elementos de contacto"), el grupo correspondiente es el grupo lineal general (o el grupo ortogonal en la geometría clásica euclidiana o riemanniana).). La capacidad de Cartan para manejar muchos otros tipos de fibras y grupos permite atribuirle la primera idea general de un haz de fibras, aunque nunca lo definió explícitamente. Este concepto se ha convertido en uno de los más importantes en todos los campos de las matemáticas modernas, principalmente en geometría diferencial global y en topología algebraica y diferencial. Cartan lo usó para formular su definición de conexión, que ahora se usa universalmente y ha reemplazado intentos anteriores de varios geómetras, realizados después de 1917, para encontrar un tipo de "geometría" más general que el modelo de Riemann y quizás mejor adaptado a una descripción del universo siguiendo las líneas de la relatividad general.

Cartan mostró cómo utilizar su concepto de conexión para obtener una presentación mucho más elegante y sencilla de la geometría riemanniana. Su principal contribución a esto último, sin embargo, fue el descubrimiento y estudio de los espacios simétricos de Riemann, uno de los pocos casos en los que el iniciador de una teoría matemática fue también quien la llevó a su finalización. Los espacios simétricos de Riemann se pueden definir de varias maneras, la más simple de las cuales postula la existencia alrededor de cada punto del espacio de una "simetría" que sea involutivo, deje el punto fijo y preserve las distancias. El hecho inesperado descubierto por Cartan es que es posible dar una descripción completa de estos espacios mediante la clasificación de los grupos de Lie simples; Por lo tanto, no debería sorprender que en diversas áreas de las matemáticas, como las funciones automórficas y la teoría analítica de números (aparentemente muy alejada de la geometría diferencial), estos espacios desempeñen un papel cada vez más importante.

Teoría alternativa a la relatividad general

Cartan creó una teoría de la gravedad competidora, también la teoría de Einstein-Cartan.

Publicaciones

Los trabajos de Cartan han sido recopilados en sus Oeuvres complètes, 6 vols. (París, 1952-1955). Dos excelentes obituarios son S. S. Chern y C. Chevalley, en Bulletin of the American Mathematical Society, 58 (1952); y J. H. C. Whitehead, en Obituary Notices of the Royal Society (1952).