Elementos maximos y minimos

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Elemento que no es ≤ (o ≥) ningún otro elemento

En matemáticas, especialmente en la teoría de orden, un elemento máximo de un subconjunto s de algún conjunto preordenado es un elemento de s que es no más pequeño que cualquier otro elemento en s . A Elemento mínimo de un subconjunto s de algún conjunto preordenado se define dualmente como un elemento de s que no es mayor que ningún otro elemento en s .

Las nociones de elementos máximos y mínimos son más débiles que las de mayor elemento y menos elemento que también se conocen, respectivamente, como máximo y mínimo. El máximo de un subconjunto $S$ de un conjunto preordenado es un elemento $S$ que es mayor o igual a cualquier otro elemento $S,$ y el mínimo $S$ se define de nuevo dualmente. En el caso particular de un conjunto parcialmente ordenado, mientras que puede haber en la mayoría de un máximo y en la mayoría de un mínimo puede haber múltiples elementos máximos o mínimos. Especializando más a conjuntos totalmente ordenados, las nociones de elemento maximal y la máxima coincidencia, y las nociones de elemento mínimo y coincidencia mínima.

Como ejemplo, en la colección

{displaystyle S:=left{{d,o},{d,o,g},{g,o,a,d},{o,a,f}right}}

dogoaddogoaf

S.

El lema de Zorn establece que todo conjunto parcialmente ordenado para el cual todo subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior contiene al menos un elemento máximo. Este lema es equivalente al teorema del buen orden y al axioma de elección e implica resultados importantes en otras áreas matemáticas como el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Kirszbraun, el teorema de Tychonoff, la existencia de una base de Hamel para todo vector espacio, y la existencia de una clausura algebraica para cada campo.

Definición

Vamos ${displaystyle (P,leq)}$ ser un set preordenado y dejar ${displaystyle Ssubseteq P.}$ A elemento maximal de $S$ con respecto a ${displaystyle ,leq ,}$ es un elemento ${displaystyle min S}$ tales que

sin S

satisfizo

{displaystyle mleq s,}

entonces necesariamente

{displaystyle sleq m.}

Análogamente, a elemento mínimo de $S$ con respecto a ${displaystyle ,leq ,}$ es un elemento ${displaystyle min S}$ tales que

sin S

satisfizo

{displaystyle sleq m,}

entonces necesariamente

{displaystyle mleq s.}

Equivalentemente, ${displaystyle min S}$ es un elemento mínimo $S$ con respecto a ${displaystyle ,leq ,}$ si $m$ es un elemento maximal $S$ con respecto a ${displaystyle ,geq,}$ Donde por definición, $qgeq p$ si ${displaystyle pleq q}$ (para todos) ${displaystyle p,qin P}$ ).

Si el subconjunto $S$ no se especifica entonces debe asumir que ${displaystyle S:=P.}$ Explícitamente, a elemento maximal (respectivamente, elemento mínimo) de ${displaystyle (P,leq)}$ es un elemento maximal (resp. mínimo) ${displaystyle S:=P}$ con respecto a ${displaystyle ,leq.}$

Si el set preordenado ${displaystyle (P,leq)}$ también resulta ser un conjunto parcialmente ordenado (o más generalmente, si la restricción ${displaystyle (S,leq)}$ es un conjunto parcialmente ordenado) entonces ${displaystyle min S}$ es un elemento maximal $S$ si $S$ no contiene ningún elemento estrictamente superior ${displaystyle m;}$ explícitamente, esto significa que no existe ningún elemento $sin S$ tales que ${displaystyle mleq s}$ y ${displaystyle mneq s.}$ La caracterización de elementos mínimos se obtiene utilizando ${displaystyle ,geq ,}$ en lugar de ${displaystyle ,leq.}$

Existencia y unicidad

No es necesario que existan elementos máximos.

Ejemplo 1: Vamos ${displaystyle S=[1,infty)subseteq mathbb {R} }$ Donde $mathbb {R}$ denota los números reales. Para todos ${displaystyle min S,}$ ${displaystyle s=m+1in S}$ pero $<math alttext="{displaystyle m m.s{displaystyle m grabaciones} <img alt="{displaystyle m$ ~~(es decir, ${displaystyle mleq s}$ pero no $m = s$ ).~~
Ejemplo 2: Vamos ${displaystyle S={sin mathbb {Q} ~:~1leq s^{2}leq 2},}$ Donde $mathbb {Q}$ denota los números racionales y dónde ${sqrt {2}}$ es irracional.

En general ${displaystyle ,leq ,}$ es sólo una orden parcial en $S.$ Si $m$ es un elemento maximal y ${displaystyle sin S,}$ entonces sigue siendo posible que ni ${displaystyle sleq m}$ ni ${displaystyle mleq s.}$ Esto deja abierta la posibilidad de que existan más de un elemento maximal.

Ejemplo 3: En la valla $<math alttext="{displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}ldots}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a1.b1■a2.b2■a3.b3■...... ,{displaystyle a_{1} obtenidosb_{1} {2} {2} {2} títuloa_{3}<img alt="{displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}ldots}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7244cd2b9244e513094bafc89c2c7d1157a67d4c" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.355ex; height:2.509ex;"/>$ todos $a_{i}$ son mínimos y todos $b_{i}$ son máximas, como se muestra en la imagen.
Ejemplo 4: Vamos A ser un conjunto con al menos dos elementos y dejar ${displaystyle S={{a}~:~ain A}}$ ser el subconjunto del sistema de energía ${displaystyle wp (A)}$ compuesto por subconjuntos de un solotón, parcialmente ordenado por ${displaystyle ,subseteq.}$ Esta es la postura discreta donde no hay dos elementos comparables y por lo tanto cada elemento ${displaystyle {a}in S}$ es máxima (y mínima); además, para cualquier diferencia ${displaystyle a,bin A,}$ ninguno ${displaystyle {a}subseteq {b}}$ ni ${displaystyle {b}subseteq {a}.}$

Los mejores elementos

Para un conjunto parcialmente ordenado ${displaystyle (P,leq),}$ el núcleo irreflexivo ${displaystyle ,leq ,}$ es denotado como $<math alttext="{displaystyle ,.{displaystyle ,tratado,} <img alt="{displaystyle ,$ y se define por $<math alttext="{displaystyle xx.Sí.{displaystyle xtraducidos} <img alt="x$ si $xleq y$ y ${displaystyle xneq y.}$ For arbitrary members ${displaystyle x,yin P,}$ exactamente uno de los siguientes casos se aplica:

~~$<math alttext="{displaystyle xx.Sí.{displaystyle xtraducidos} <img alt="x$ ;~~
~~$x=y$ ;~~
~~$<math alttext="{displaystyle ySí..x{displaystyle y wonx} <img alt="{displaystyle y$ ;~~
~~$x$ y $y$ son incomparables.~~

~~Dado un subconjunto ${displaystyle Ssubseteq P}$ y algunos ${displaystyle xin S,}$~~

~~si el caso 1 nunca se aplica ${displaystyle yin S,}$ entonces $x$ es un elemento maximal $S,$ como se define anteriormente;~~
~~si el caso 1 y 4 nunca se aplica ${displaystyle yin S,}$ entonces $x$ se llama mayor elemento de $S.$~~

~~Por lo tanto, la definición de un elemento mayor es más fuerte que la de un elemento máximo.~~

Equivalentemente, un elemento más grande de un subconjunto $S$ puede definirse como un elemento $S$ que es mayor que cualquier otro elemento $S.$ Un subconjunto puede tener al máximo un elemento más grande.

El mayor elemento de $S,$ si existe, es también un elemento maximal $S,$ y el único. Por contraposición, si $S$ tiene varios elementos maximales, no puede tener un elemento más grande; vea el ejemplo 3. Si $P$ satisface la condición de cadena ascendente, un subconjunto $S$ de $P$ tiene un elemento más grande si, y sólo si, tiene un elemento maximal.

Cuando la restricción ${displaystyle ,leq ,}$ a $S$ es un orden total ( ${displaystyle S={1,2,4}}$ en la imagen más alta es un ejemplo), entonces las nociones de elemento maximal y el elemento más grande coinciden. Esta no es una condición necesaria: $S$ tiene un elemento más grande, las nociones coinciden, también, como se indicó anteriormente. Si las nociones de elemento maximal y mayor elemento coinciden en cada subconjunto de dos elementos $S$ de $P.$ entonces ${displaystyle ,leq ,}$ es un pedido total $P.$

Escenografías dirigidas

En un conjunto totalmente ordenado, los términos elemento máximo y elemento mayor coinciden, por lo que ambos términos se usan indistintamente en campos como el análisis, donde solo se consideran órdenes totales. Esta observación se aplica no solo a los subconjuntos totalmente ordenados de cualquier conjunto parcialmente ordenado, sino también a su generalización teórica del orden a través de conjuntos dirigidos. En un conjunto dirigido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) tiene un límite superior común dentro del conjunto. Si un conjunto dirigido tiene un elemento máximo, también es su mayor elemento y, por lo tanto, su único elemento máximo. Para un conjunto dirigido sin elementos máximos o máximos, consulte los ejemplos 1 y 2 anteriores.

~~Conclusiones similares son válidas para elementos mínimos.~~

~~Encontrará más información introductoria en el artículo sobre la teoría del orden.~~

Propiedades

Cada subconjunto no vacío finito $S$ tiene elementos máximos y mínimos. Un subconjunto infinito no necesita tener ninguno de ellos, por ejemplo, los enteros $mathbb {Z}$ con la orden habitual.
~~El conjunto de elementos maximales de un subconjunto $S$ es siempre un antichain, es decir, no dos elementos maximales diferentes $S$ son comparables. Lo mismo se aplica a elementos mínimos.~~

Ejemplos

En la eficiencia de Pareto, a Pareto óptimo es un elemento maximal con respecto al orden parcial de mejora de Pareto, y el conjunto de elementos maximales se llama el Frontera de Pareto.
En la teoría de la decisión, una Regla de decisión admisible es un elemento maximal con respecto al orden parcial dominando la regla de la decisión.
En la teoría moderna de la cartera, el conjunto de elementos maximales con respecto al orden de producto sobre riesgo y retorno se llama la frontera eficiente.
~~En la teoría de conjuntos, un conjunto es finito si y sólo si cada familia no vacía de subconjuntos tiene un elemento mínimo cuando se ordena por la relación de inclusión.~~
En álgebra abstracta, se necesita el concepto de un divisor común maximal para generalizar los divisores más comunes a los sistemas de números en los que los divisores comunes de un conjunto de elementos pueden tener más de un elemento maximal.
~~En la geometría computacional, las máximas de un conjunto de puntos son máximas respecto al orden parcial de la dominación coordenada.~~

Teoría del consumidor

En economía, se puede relajar el axioma de la antisimetría, usando órdenes anticipadas (generalmente órdenes anticipadas totales) en lugar de órdenes parciales; la noción análoga al elemento máximo es muy similar, pero se usa una terminología diferente, como se detalla a continuación.

En la teoría del consumidor el espacio de consumo es un conjunto $X$ , generalmente el ortano positivo de algún espacio vectorial para que cada $xin X$ representa una cantidad de consumo especificada para cada mercancía existente en el economía. Las preferencias de un consumidor suelen estar representadas por un preorden total $preceq$ así $x, y in X$ y $x preceq y$ reads: $x$ es como preferido $y$ . Cuando $xpreceq y$ y $ypreceq x$ se interpreta que el consumidor es indiferente entre $x$ y $y$ pero no es razón para concluir que ${displaystyle x=y.}$ las relaciones preferenciales nunca se supone que sean antisimétricas. En este contexto, para cualquier ${displaystyle Bsubseteq X,}$ un elemento $xin B$ se dice que es un elemento maximal si

{displaystyle yin B}

$ypreceq x$ ${displaystyle xprec y,}$ $x preceq y$ ${displaystyle ypreceq x.}$
Cabe señalar que la definición formal se parece mucho a la de un elemento más grande para un conjunto ordenado. Sin embargo, cuando $preceq$ es sólo un preorden, un elemento $x$ con la propiedad arriba se comporta mucho como un elemento maximal en un pedido. Por ejemplo, un elemento maximal $xin B$ no es único $ypreceq x$ no excluye la posibilidad de que $x preceq y$ (mientras) $ypreceq x$ y $x preceq y$ no implica $x=y$ pero simplemente indiferencia $xsim y$ ). La noción de mayor elemento para un preorden de preferencia sería la de más preferido elección. Eso es, algunos $xin B$ con
${displaystyle yin B}$ ${displaystyle yprec x.}$
Una aplicación obvia es la definición de correspondencia de demanda. Vamos $P$ ser la clase de funcionales en $X$ . Un elemento $pin P$ se llama precio funcional o sistema de precios y mapas cada paquete de consumo $xin X$ en su valor de mercado ${displaystyle p(x)in mathbb {R} _{+}}$ . El correspondencia presupuestaria es una correspondencia ${displaystyle Gamma colon Ptimes mathbb {R} _{+}rightarrow X}$ mapear cualquier sistema de precios y cualquier nivel de ingresos en un subconjunto
${displaystyle Gamma (p,m)={xin X~:~p(x)leq m}.}$
El demanda correspondencia mapas de cualquier precio $p$ y cualquier nivel de ingresos $m$ en el conjunto de $preceq$ - elementos aproximados de ${displaystyle Gamma (p,m)}$ .
${displaystyle D(p,m)=left{xin X~:~x{text{ is a maximal element of }}Gamma (p,m)right}.}$
Se llama correspondencia de demanda porque la teoría predice que para $p$ y $m$ dado, la elección racional de un consumidor $x^{*}$ será algún elemento ${displaystyle x^{*}in D(p,m).}$
Nociones relacionadas
Un subconjunto $Q$ de un conjunto parcialmente ordenado $P$ se dice que es cofinal si por cada $xin P$ existe $y in Q$ tales que ${displaystyle xleq y.}$ Cada subconjunto de cofinal de un conjunto parcialmente ordenado con elementos maximales debe contener todos los elementos maximales.
Un subconjunto $L$ de un conjunto parcialmente ordenado $P$ se dice que es un conjunto inferior $P$ si está cerrado hacia abajo: si $y in L$ y $xleq y$ entonces ${displaystyle xin L.}$ Cada set inferior $L$ de un conjunto ordenado finito $P$ es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos maximales $L.$

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