Elementos de Euclides

Los elementos de Euclides (griego antiguo: Στοιχεῖα Stoikheîa) son un tratado matemático que consta de 13 libros atribuidos al antiguo matemático griego Euclides en Alejandría, Egipto ptolemaico c. 300 a. Es una colección de definiciones, postulados, proposiciones (teoremas y construcciones) y pruebas matemáticas de las proposiciones. Los libros cubren geometría euclidiana plana y sólida, teoría elemental de números y líneas inconmensurables. Elements es el tratamiento deductivo a gran escala existente más antiguo de las matemáticas. Ha demostrado ser fundamental en el desarrollo de la lógica y la ciencia moderna, y su rigor lógico no fue superado hasta el siglo XIX.

Los Elementos de Euclides han sido referidos como el libro de texto más exitoso e influyente jamás escrito. Fue uno de los primeros trabajos matemáticos que se imprimió después de la invención de la imprenta y se estima que es superado solo por la Biblia en el número de ediciones publicadas desde la primera impresión en 1482, el número superó con creces los mil.. Durante siglos, cuando el quadrivium se incluyó en el plan de estudios de todos los estudiantes universitarios, se exigió a todos los estudiantes el conocimiento de al menos una parte de los Elementos de Euclides. No fue hasta el siglo XX, cuando su contenido se enseñó universalmente a través de otros libros de texto escolares, que dejó de ser considerado algo que todas las personas educadas habían leído.

Historia

Un fragmento de Euclides Elementos parte del Papyri Oxyrhynchus

Doble página de la traducción árabe del Ishaq ibn Hunayn de Elementa. Iraq, 1270. Chester Beatty Library

Basado en trabajos anteriores

Una iluminación de un manuscrito basado en la traducción de Adelard of Bath al Elementos, c. 1309–1316; Adelard es la traducción sobreviviente más antigua de la Elementos al latín, hecho en el trabajo del siglo XII y traducido del árabe.

Los eruditos creen que los Elementos son en gran parte una compilación de proposiciones basadas en libros de matemáticos griegos anteriores.

Proclo (412–485 d. C.), un matemático griego que vivió alrededor de siete siglos después de Euclides, escribió en su comentario sobre los Elementos: "Euclides, quien armó los Elementos, recopilando muchos de Eudoxus' teoremas, perfeccionando muchos de los de Teeteto, y también llevando a una demostración irrefutable las cosas que sus predecesores demostraron de forma vaga.

Pitágoras (c. 570–495 aC) fue probablemente la fuente de la mayoría de los libros I y II, Hipócrates de Quíos (c. 470–410 a. C., no el más conocido Hipócrates de Cos) para el libro III, y Eudoxo de Cnido (c. 408–355 a. C.) para el libro V, mientras que los libros IV, VI, XI y XII probablemente provienen de otros matemáticos pitagóricos o atenienses. Los Elementos pueden haberse basado en un libro de texto anterior de Hipócrates de Quíos, quien también pudo haber originado el uso de letras para referirse a figuras. También se informa que otras obras similares fueron escritas por Teudio de Magnesia, León y Hermótimo de Colofón.

Transmisión del texto

En el siglo IV d. C., Teón de Alejandría produjo una edición de Euclides que fue tan ampliamente utilizada que se convirtió en la única fuente sobreviviente hasta que François Peyrard descubrió en 1808 en el Vaticano un manuscrito que no se derivaba de Teón.;s. Este manuscrito, el manuscrito de Heiberg, procede de un taller bizantino alrededor del año 900 y es la base de las ediciones modernas. Papyrus Oxyrhynchus 29 es un pequeño fragmento de un manuscrito aún más antiguo, pero solo contiene la declaración de una proposición.

Aunque Euclides era conocido por Cicerón, por ejemplo, no existe registro de que el texto haya sido traducido al latín antes de Boecio en el siglo quinto o sexto. Los árabes recibieron los Elementos de los bizantinos alrededor del año 760; esta versión fue traducida al árabe bajo Harun al Rashid (c. 800). El erudito bizantino Arethas encargó la copia de uno de los manuscritos griegos existentes de Euclides a fines del siglo IX. Aunque conocido en Bizancio, los Elementos se perdieron en Europa occidental hasta alrededor de 1120, cuando el monje inglés Adelardo de Bath lo tradujo al latín a partir de una traducción árabe. Se hizo un descubrimiento relativamente reciente de una traducción del griego al latín del siglo XII en Palermo, Sicilia. No se conoce el nombre del traductor, salvo que se trataba de un anónimo estudiante de medicina de Salerno que estaba de visita en Palermo para traducir el Almagesto al latín. El manuscrito de Euclides se conserva y está bastante completo.

Euclidis – Elementorum libri XV Paris, Hieronymum de Marnef " Guillaume Cavelat, 1573 (segunda edición después de la edición 1557); en 8:350, (2)pp. THOMAS–STANFORD, Early Editions of Euclid's Elementos, n°32. Mencionado en la traducción de T.L. Heath. Colección privada Hector Zenil.

La primera edición impresa apareció en 1482 (basada en la edición de 1260 de Campanus de Novara), y desde entonces ha sido traducida a muchos idiomas y publicada en unas mil ediciones diferentes. La edición griega de Theon se recuperó en 1533. En 1570, John Dee proporcionó un 'Prefacio matemático' muy respetado, junto con abundantes notas y material complementario, a la primera edición en inglés de Henry Billingsley.

Todavía existen copias del texto griego, algunas de las cuales se pueden encontrar en la Biblioteca del Vaticano y la Biblioteca Bodleian en Oxford. Los manuscritos disponibles son de calidad variable e invariablemente incompletos. Mediante un análisis cuidadoso de las traducciones y los originales, se han formulado hipótesis sobre el contenido del texto original (cuyas copias ya no están disponibles).

Los textos antiguos que hacen referencia a los propios Elementos, ya otras teorías matemáticas vigentes en la época en que fue escrito, también son importantes en este proceso. Tales análisis son realizados por J. L. Heiberg y Sir Thomas Little Heath en sus ediciones del texto.

También son importantes los escolios o anotaciones al texto. Estas adiciones, que a menudo se distinguían del texto principal (según el manuscrito), se acumularon gradualmente con el tiempo a medida que las opiniones variaban sobre lo que valía la pena explicar o estudiar más a fondo.

Influencia

Una página con marginalidad de la primera edición impresa Elementos, impreso por Erhard Ratdolt en 1482

Los Elementos todavía se consideran una obra maestra en la aplicación de la lógica a las matemáticas. En el contexto histórico, ha demostrado tener una enorme influencia en muchas áreas de la ciencia. Los científicos Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei, Albert Einstein y Sir Isaac Newton fueron todos influenciados por los Elementos y aplicaron su conocimiento a su trabajo. Matemáticos y filósofos, como Thomas Hobbes, Baruch Spinoza, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, han intentado crear sus propios 'Elementos' fundamentales. para sus respectivas disciplinas, adoptando las estructuras deductivas axiomatizadas que introdujo la obra de Euclides.

La belleza austera de la geometría euclidiana ha sido vista por muchos en la cultura occidental como un atisbo de un sistema de perfección y certeza de otro mundo. Abraham Lincoln guardaba una copia de Euclides en su alforja y la estudiaba a altas horas de la noche a la luz de una lámpara; relató que se dijo a sí mismo, "Nunca se puede hacer abogado si no se entiende lo que significa demostrar; y dejé mi situación en Springfield, fui a la casa de mi padre y me quedé allí hasta que pude dar alguna proposición en los seis libros de Euclides a la vista. Edna St. Vincent Millay escribió en su soneto "Euclides solo ha contemplado la belleza desnuda", "¡Oh hora cegadora, oh santo, terrible día, cuando el rayo en su visión brilló por primera vez de luz anatomizada! ". Albert Einstein recordó una copia de los Elementos y una brújula magnética como dos regalos que tuvieron una gran influencia en él cuando era niño, refiriéndose a Euclides como el "pequeño libro sagrado de geometría".

El éxito de los Elementos se debe principalmente a su presentación lógica de la mayor parte del conocimiento matemático disponible para Euclides. Gran parte del material no es original suyo, aunque muchas de las pruebas son suyas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de Euclides de su tema, desde un pequeño conjunto de axiomas hasta resultados profundos, y la consistencia de su enfoque a lo largo de los Elementos, alentaron su uso como libro de texto durante unos 2000 años.. Los Elementos todavía influyen en los libros de geometría modernos. Además, su enfoque lógico, axiomático y pruebas rigurosas siguen siendo la piedra angular de las matemáticas.

En las matemáticas modernas

Una de las influencias más notables de Euclides en las matemáticas modernas es la discusión del postulado de las paralelas. En el Libro I, Euclides enumera cinco postulados, el quinto de los cuales estipula

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se reúnen en ese lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

Las diferentes versiones del postulado paralelo resultan en diferentes geometrías.

Este postulado atormentó a los matemáticos durante siglos debido a su aparente complejidad en comparación con los otros cuatro postulados. Se hicieron muchos intentos para probar el quinto postulado en base a los otros cuatro, pero nunca tuvieron éxito. Finalmente, en 1829, el matemático Nikolai Lobachevsky publicó una descripción de la geometría aguda (o geometría hiperbólica), una geometría que asumía una forma diferente del postulado paralelo. De hecho, es posible crear una geometría válida sin el quinto postulado por completo, o con diferentes versiones del quinto postulado (geometría elíptica). Si se toma el quinto postulado como dado, el resultado es la geometría euclidiana.

Contenido

• El libro 1 contiene 5 postulados (incluyendo el postulado paralelo infame) y 5 nociones comunes, y cubre temas importantes de geometría plana como el teorema pitagórico, igualdad de ángulos y áreas, paralelismo, la suma de los ángulos en un triángulo, y la construcción de varias figuras geométricas.
• El libro 2 contiene una serie de lemas referentes a la igualdad de rectángulos y cuadrados, a veces referidos como "álgebra geométrica", y concluye con una construcción de la relación de oro y una forma de construir un cuadrado igual en la zona a cualquier figura de plano rectilineal.
• El libro 3 trata de círculos y sus propiedades: encontrar el centro, ángulos inscritos, tangentes, el poder de un punto, el teorema de Thales.
• El libro 4 construye el círculo y el círculo de un triángulo, así como polígonos regulares con 4, 5, 6, y 15 lados.
• El libro 5, sobre proporciones de magnitud, da la teoría altamente sofisticada de la proporción probablemente desarrollada por Eudoxus, y demuestra propiedades como "alternación" (si a: b:: c: d, entonces a: c:: b: d).
• El libro 6 aplica proporciones a la geometría plana, especialmente la construcción y reconocimiento de cifras similares.
• El libro 7 trata de la teoría elemental de números: divisibilidad, números primos y su relación con números compuestos, algoritmo de Euclid para encontrar el mayor divisor común, encontrando el múltiplo menos común.
• El libro 8 trata de la construcción y existencia de secuencias geométricas de enteros.
• El libro 9 aplica los resultados de los dos libros anteriores y da la infinitud de números primos y la construcción de todos los números perfectos.
• El libro 10 demuestra la irracionalidad de las raíces cuadradas de los enteros no cuadrado (por ejemplo. 2{displaystyle {sqrt {2}}) y clasifica las raíces cuadradas de las líneas incommensurables en trece categorías disjoint. Euclid presenta aquí el término "irracional", que tiene un significado diferente al concepto moderno de números irracionales. También da una fórmula para producir triples pitagóricos.
• El libro 11 generaliza los resultados del libro 6 a figuras sólidas: perpendicularidad, paralelismo, volúmenes y similitud de paraleloides.
• El libro 12 estudia los volúmenes de conos, pirámides y cilindros en detalle utilizando el método de agotamiento, un precursor para la integración, y muestra, por ejemplo, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro correspondiente. Concluye mostrando que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio (en lenguaje moderno) aproximando su volumen por una unión de muchas pirámides.
• El libro 13 construye los cinco sólidos platónicos regulares inscritos en una esfera y compara las proporciones de sus bordes con el radio de la esfera.

Método y estilo de presentación de Euclides

Una animación que muestra cómo Euclid construyó un hexágono (Libro IV, Proposición 15). Cada figura bidimensional en la Elementos se puede construir utilizando sólo una brújula y una recta.

Codex Vaticanus 190

El enfoque axiomático y los métodos constructivos de Euclides fueron muy influyentes.

Muchas de las proposiciones de Euclides fueron constructivas, demostrando la existencia de alguna figura al detallar los pasos que usó para construir el objeto usando un compás y una regla. Su enfoque constructivo aparece incluso en sus postulados de geometría, ya que el primer y tercer postulado que establece la existencia de una línea y un círculo son constructivos. En lugar de afirmar que existen líneas y círculos según sus definiciones anteriores, afirma que es posible 'construir' una línea y un círculo. También parece que, para que use una figura en una de sus demostraciones, necesita construirla en una proposición anterior. Por ejemplo, demuestra el teorema de Pitágoras inscribiendo primero un cuadrado en los lados de un triángulo rectángulo, pero solo después de construir un cuadrado en una línea dada una proposición anterior.

Como era común en los textos matemáticos antiguos, cuando una proposición necesitaba prueba en varios casos diferentes, Euclides a menudo demostraba solo uno de ellos (a menudo el más difícil), dejando los demás al lector. Editores posteriores como Theon a menudo interpolaban sus propias pruebas de estos casos.

La presentación de Euclides estuvo limitada por las ideas y notaciones matemáticas de uso común en su época, y esto hace que el tratamiento parezca incómodo para el lector moderno en algunos lugares. Por ejemplo, no había noción de un ángulo mayor que dos ángulos rectos, el número 1 a veces se trataba por separado de otros números enteros positivos, y como la multiplicación se trataba geométricamente, no usaba el producto de más de 3 números diferentes. El tratamiento geométrico de la teoría de los números puede deberse a que la alternativa habría sido el extremadamente incómodo sistema de numeración alejandrino.

La presentación de cada resultado se da en una forma estilizada que, aunque no fue inventada por Euclides, se reconoce como típicamente clásica. Tiene seis partes diferentes: la primera es la 'enunciación', que establece el resultado en términos generales (es decir, el enunciado de la proposición). Luego viene el 'replanteo', que da la figura y denota objetos geométricos particulares por medio de letras. Luego viene la 'definición' o 'especificación', que reafirma la enunciación en términos de la figura particular. Entonces la 'construcción' o 'maquinaria' sigue. Aquí, la figura original se amplía para reenviar la prueba. Entonces, la 'prueba' mismo sigue. Finalmente, la 'conclusión' conecta la prueba con la enunciación enunciando las conclusiones específicas extraídas de la prueba, en los términos generales de la enunciación.

No se da ninguna indicación del método de razonamiento que condujo al resultado, aunque los Datos proporcionan instrucciones sobre cómo abordar los tipos de problemas encontrados en los primeros cuatro libros de la Elementos. Algunos eruditos han tratado de encontrar fallas en el uso de cifras por parte de Euclides en sus demostraciones, acusándolo de escribir demostraciones que dependían de las cifras específicas dibujadas en lugar de la lógica general subyacente, especialmente con respecto a la Proposición II del Libro I. Sin embargo, Euclides y La prueba original de #39 de esta proposición es general, válida y no depende de la figura utilizada como ejemplo para ilustrar una configuración dada.

Crítica

La lista de axiomas de Euclides en los Elementos no era exhaustiva, pero representaba los principios más importantes. Sus pruebas a menudo invocan nociones axiomáticas que no se presentaron originalmente en su lista de axiomas. Editores posteriores han interpolado los supuestos axiomáticos implícitos de Euclides en la lista de axiomas formales.

Por ejemplo, en la primera construcción del Libro 1, Euclides usó una premisa que no fue ni postulada ni probada: que dos círculos con centros a la distancia de su radio se intersecarán en dos puntos. Más tarde, en la cuarta construcción, usó la superposición (mover los triángulos uno encima del otro) para probar que si dos lados y sus ángulos son iguales, entonces son congruentes; durante estas consideraciones utiliza algunas propiedades de superposición, pero estas propiedades no se describen explícitamente en el tratado. Si la superposición se considera un método válido de prueba geométrica, toda la geometría estaría llena de tales pruebas. Por ejemplo, las proposiciones I.2 y I.3 pueden demostrarse de manera trivial usando la superposición.

El matemático e historiador W. W. Rouse Ball puso las críticas en perspectiva y señaló que "el hecho de que durante dos mil años [los Elementos] fuera el libro de texto habitual sobre el tema plantea una fuerte presunción de que no es inadecuado para ese propósito."

Apócrifos

No era raro en la antigüedad atribuir a autores célebres obras que no fueron escritas por ellos. Es por este medio que los libros apócrifos XIV y XV de los Elementos fueron incluidos en ocasiones en la colección. El espurio Libro XIV probablemente fue escrito por Hypsicles sobre la base de un tratado de Apolonio. El libro continúa la comparación de Euclides de sólidos regulares inscritos en esferas, con el resultado principal de que la razón de las superficies del dodecaedro y el icosaedro inscritos en la misma esfera es la misma que la razón de sus volúmenes, siendo la razón

103()5− − 5)=5+56.{fnMicroc}{3(5-{sqrt {}}}={sqrt {frac {5+{sqrt {5}} {6}}}}

El espurio libro XV probablemente fue escrito, al menos en parte, por Isidoro de Mileto. Este libro cubre temas como contar la cantidad de bordes y ángulos sólidos en los sólidos regulares, y encontrar la medida de los ángulos diédricos de caras que se encuentran en una ventaja.

ediciones

El jesuita italiano Matteo Ricci (izquierda) y el matemático chino Xu Guangqi (derecha) publicaron la edición china de Elementos de Euclid en 1607.

Prueba del teorema pitagórico en Byrne Los Elementos de Euclides y publicado en versión de colores en 1847.

• 1460s, Regiomontanus (incompleto)
• 1482, Erhard Ratdolt (Venecia), primera edición impresa
• 1533, editio princeps por Simon Grynäus
• 1557, por Jean Magnien y Pierre de Montdoré[fr], revisado por Stephanus Gracilis (sólo proposiciones, sin pruebas completas, incluye el griego original y la traducción latina)
• 1572, edición latina Commandinus
• 1574, Christoph Clavius

Traducciones

• 1505, Bartolomeo Zamberti[de] (Latín)
• 1543, Nicolo Tartaglia (Italiano)
• 1557, Jean Magnien y Pierre de Montdoré, revisados por Stephanus Gracilis (griego a latín)
• 1558, Johann Scheubel (alemán)
• 1562, Jacob Kündig (alemán)
• 1562, Wilhelm Holtzmann (Alemania)
• 1564-1566, Pierre Forcadel[fr] de Béziers (francés)
• 1570, Henry Billingsley (en inglés)
• 1572, Commandinus (Latín)
• 1575, Commandinus (Italiano)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (Español)
• 1594, Typographia Medicea (edición de la traducción al árabe de La Recensión de los "Elementos" de Euclides
• 1604, Jean Errard[fr] de Bar-le-Duc (francés)
• 1606, Jan Pieterszoon Dou (Dutch)
• 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (Chino)
• 1613, Pietro Cataldi (Italiano)
• 1615, Denis Henrion (francés)
• 1617, Frans van Schooten (Dutch)
• 1637, L. Carduchi (Español)
• 1639, Pierre Hérigone (francés)
• 1651, Heinrich Hoffmann (Alemania)
• 1651, Thomas Rudd (en inglés)
• 1660, Isaac Barrow (en inglés)
• 1661, John Leeke y Geo. Serle (inglés)
• 1663, Domenico Magni (italiano de latín)
• 1672, Claude François Milliet Dechales (francés)
• 1680, Vitale Giordano (Italiano)
• 1685, William Halifax (en inglés)
• 1689, Jacob Knesa (español)
• 1690, Vincenzo Viviani (Italiano)
• 1694, Ant. Ernst Burkh v. Pirckenstein (Alemania)
• 1695, Claes Jansz Vooght (Dutch)
• 1697, Samuel Reyher (alemán)
• 1702, Hendrik Coets (Dutch)
• 1705, Charles Scarborough (en inglés)
• 1708, John Keill (en inglés)
• 1714, Chr. Schessler (Alemania)
• 1714, W. Whiston (en inglés)
• 1720s, Jagannatha Samrat (Sanskrit, basado en la traducción al árabe de Nasir al-Din al-Tusi)
• 1731, Guido Grandi (abbreviación al italiano)
• 1738, Ivan Satarov (ruso de francés)
• 1744, Mårten Strömer (Suecia)
• 1749, Dechales (Italiano)
• 1749, Methodios Anthrakitis (Mεθόδιος Àνθρακίτcadeς) (Greek)
• 1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (Danish)
• 1752, Leonardo Ximenes (Italiano)
• 1756, Robert Simson (en inglés)
• 1763, Pibo Steenstra (Dutch)
• 1768, Angelo Brunelli (Portuguese)
• 1773, 1781, J. F. Lorenz (Alemania)
• 1780, Baruch Schick de Shklov (Hebreo)
• 1781, 1788 James Williamson (inglés)
• 1781, William Austin (en inglés)
• 1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (ruso de griego)
• 1795, John Playfair (en inglés)
• 1803, H.C. Linderup (Danish)
• 1804, François Peyrard (francés). Peyrard descubrió en 1808 el Vaticanus Graecus 190, que le permite proporcionar una primera versión definitiva en 1814-1818
• 1807, Józef Czech (Polish basado en ediciones griegas, latinas e inglesas)
• 1807, J. K. F. Hauff (Alemania)
• 1818, Vincenzo Flauti (Italiano)
• 1820, Benjamin de Lesbos (griego moderno)
• 1826, George Phillips (en inglés)
• 1828, Joh. Josh and Ign. Hoffmann (Alemania)
• 1828, Dionysius Lardner (en inglés)
• 1833, E. S. Unger (Alemania)
• 1833, Thomas Perronet Thompson (en inglés)
• 1836, H. Falk (Suecia)
• 1844, 1845, 1859, P. R. Bråkenhjelm (Suecia)
• 1850, F. A. A. Lundgren (Suecia)
• 1850, H. A. Witt y M. E. Areskong (Suecia)
• 1862, Isaac Todhunter (en inglés)
• 1865, Sámuel Brassai (Hungríano)
• 1873, Masakuni Yamada (Japón)
• 1880, Vachtchenko-Zakhartchenko (ruso)
• 1897, Thyra Eibe (Danish)
• 1901, Max Simon (alemán)
• 1907, František Servít (Czech)
• 1908, Thomas Little Heath (inglés)
• 1939, R. Catesby Taliaferro (inglés)
• 1953, 1958, 1975, Evangelos Stamatis (EUSPRγγελος egaταμctangu)
• 1999, Maja Hudoletnjak Grgić (Libro I-VI) (croata)
• 2009, Irineu Bicudo (Portuguese)
• 2019, Ali Sinan Sertöz (Turkish)
• 2022, Ján Čižmár (Eslovaco)

Actualmente en impresión

• Elementos de Euclid – Los trece libros completos en un solo volumen, Basado en la traducción de Heath, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
• Los Elementos: Libros I–XIII – Completo e Inaugurado, (2006) Traducido por Sir Thomas Heath, Barnes " Noble ISBN 0-7607-6312-7.
• Los 13 libros de los elementos de Euclides, traducción y comentarios de Heath, Thomas L. (1956) en tres volúmenes. Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3)

Versiones gratuitas

• Elementos de Euclides Redux, Volumen 1, contiene libros I-III, basados en la traducción de John Casey.
• Elementos de Euclides Redux, Volumen 2, contiene libros IV-VIII, basados en la traducción de John Casey.