Elemento principal

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Analogo de un número primo en un anillo conmutativo

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, un elemento primo de un anillo conmutativo es un objeto que satisface ciertas propiedades similares a los números primos en los números enteros ya los polinomios irreducibles. Se debe tener cuidado para distinguir los elementos primos de los elementos irreducibles, un concepto que es el mismo en los UFD pero no es el mismo en general.

Definición

Un elemento $p$ de un anillo conmutativo $R$ se dice que es primo si no es el elemento cero o una unidad y siempre que $p$ divide $ab$ para algunos $a$ y $b$ en $R$ , luego $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ . Con esta definición, el lema de Euclides es la afirmación de que los números primos son elementos primos en el anillo de los enteros. De manera equivalente, un elemento $p$ es primo si, y solo si, el ideal principal $(p)$ generado por $p$ es un ideal primo distinto de cero. (Tenga en cuenta que en un dominio integral, el ideal $(0)$ es un ideal primo, pero $0$ es una excepción en la definición de 'elemento principal').

El interés en los elementos primos proviene del teorema fundamental de la aritmética, que afirma que cada número entero distinto de cero se puede escribir esencialmente de una sola manera como 1 o −1 multiplicado por un producto de números primos positivos. Esto condujo al estudio de dominios de factorización únicos, que generalizan lo que se acaba de ilustrar en los números enteros.

Ser primo es relativo al anillo en el que se considera que está un elemento; por ejemplo, 2 es un elemento principal en $Z$ pero no está en $Z [i]$ , el anillo de enteros gaussianos, ya que $2 = (1 + i)(1 - i)$ y 2 no divide ningún factor de la derecha.

Conexión con ideales primos

Un $I$ ideal en el anillo $R$ (con unidad) es primo si el anillo factorial $R / I$ es un dominio integral.

En un dominio integral, un ideal principal distinto de cero es primo si y solo si es generado por un elemento primo.

Elementos irreductibles

Los elementos primos no deben confundirse con los elementos irreducibles. En un dominio integral, todo número primo es irreducible, pero lo contrario no es cierto en general. Sin embargo, en dominios de factorización única, o más generalmente en dominios GCD, primos e irreducibles son lo mismo.

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de elementos primos en anillos:

Los enteros $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ En el anillo de los enteros $Z$
los números complejos $(1 + i)$ , $19$ , y $(2 + 3 i)$ en el anillo de los enteros gausianos $Z [i]$
los polinomios $x 2 - 2$ y $x 2 + 1$ dentro $Z [x]$ , el anillo de polinomios sobre $Z$ .
2 en el anillo de cociente $Z /6 Z$
$x 2 + x 2 + x)$ es primo pero no irreducible en el anillo $Q [x]/ x 2 + x)$
En el anillo $Z 2$ de pares de enteros, $(1, 0)$ es primo pero no irreducible (uno tiene $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
En el anillo de los enteros algebraicos ${displaystyle mathbf {Z} [{sqrt {-5}}],}$ el elemento $3$ es irreducible pero no primo (como 3 divides ${displaystyle 9=(2+{sqrt {-5}})(2-{sqrt {-5}})}$ y 3 no divide ningún factor en la derecha).

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