Elemento algebraico

En matemáticas, si L es una extensión de campo de K, entonces un elemento a de L se denomina elemento algebraico sobre K, o simplemente algebraico sobre K, si existe algún polinomio distinto de cero g(x) con coeficientes en K tales que g(a) = 0. Los elementos de L que no son algebraicos sobre K se llaman trascendental sobre K.

Estas nociones generalizan los números algebraicos y los números trascendentales (donde la extensión del campo es C/Q, C siendo el campo de números complejos y Q siendo el campo de numeros racionales).

Ejemplos

• La raíz cuadrada de 2 es algebraica sobre Q, ya que es la raíz del polinomio g()x) x² − 2 cuyos coeficientes son racionales.
• Pi es trascendental sobre Q pero algebraico sobre el campo de números reales R: es la raíz de g()x) x − π, cuyos coeficientes (1 y −π) son ambos reales, pero no de ningún polinomio con sólo coeficientes racionales. (La definición del término número trascendental utiliza C/Q, no C/R.)

Propiedades

Las siguientes condiciones son equivalentes para un elemento a{displaystyle a} de L{displaystyle L.:

• a{displaystyle a} es algebraico sobre K{displaystyle K},
• la extensión sobre el terreno K()a)/K{displaystyle K(a)/K} es algebraico, es decir. cada uno elemento K()a){displaystyle K(a)} es algebraico sobre K{displaystyle K} (Aquí) K()a){displaystyle K(a)} denota el subcampo más pequeño L{displaystyle L. que contiene K{displaystyle K} y a{displaystyle a}),
• la extensión sobre el terreno K()a)/K{displaystyle K(a)/K} tiene un grado finito, es decir, la dimensión K()a){displaystyle K(a)} como K{displaystyle K}- El espacio del vencedor es finito,
• K[a]=K()a){displaystyle K[a]=K(a)}, donde K[a]{displaystyle K[a]} es el conjunto de todos los elementos de L{displaystyle L. que se puede escribir en la forma g()a){displaystyle g(a)} con un polinomio g{displaystyle g} cuyos coeficientes se encuentran K{displaystyle K}.

Para hacer esto más explícito, considere la evaluación polinomio ε ε a:K[X]→ → K()a),P↦ ↦ P()a){displaystyle varepsilon _{a}:K[X]rightarrow K(a),,Pmapsto P(a)}. Esto es un homomorfismo y su núcleo es {}P▪ ▪ K[X]▪ ▪ P()a)=0}{displaystyle {Pin K[X]mid P(a)=0}. Si a{displaystyle a} es algebraico, este ideal contiene polinomios no cero, pero como K[X]{displaystyle K[X]} es un dominio euclidiano, contiene un polinomio único p{displaystyle p} con un grado mínimo y coeficiente líder 1{displaystyle 1}, que entonces también genera el ideal y debe ser irreducible. El polinomio p{displaystyle p} se llama el polinomio mínimo de a{displaystyle a} y codifica muchas propiedades importantes de a{displaystyle a}. De ahí el isomorfismo del anillo K[X]/()p)→ → im()ε ε a){displaystyle K[X]/(p)rightarrow mathrm {im} (varepsilon _{a})} obtenido por el teorema homomorfismo es un isomorfismo de campos, donde podemos observar entonces que im()ε ε a)=K()a){displaystyle mathrm {im} (varepsilon _{a})=K(a)}. De lo contrario, ε ε a{displaystyle varepsilon _{a} es inyectable y por lo tanto obtenemos un isomorfismo de campo K()X)→ → K()a){displaystyle K(X)rightarrow K(a)}, donde K()X){displaystyle K(X)} es el campo de las fracciones de K[X]{displaystyle K[X]}, es decir, el campo de las funciones racionales K{displaystyle K}, por la propiedad universal del campo de las fracciones. Podemos concluir que en cualquier caso, encontramos un isomorfismo K()a).. K[X]/()p){displaystyle K(a)cong K[X]/(p)} o K()a).. K()X){displaystyle K(a)cong K(X)}. Investigar esta construcción produce los resultados deseados.

Esta caracterización se puede utilizar para demostrar que la suma, diferencia, producto y cociente de elementos algebraicos sobre K{displaystyle K} son algebraica otra vez K{displaystyle K}. Por si a{displaystyle a} y b{displaystyle b} son ambos algebraicos, entonces ()K()a))()b){displaystyle (K(a))(b)} es finito. Como contiene las combinaciones mencionadas a{displaystyle a} y b{displaystyle b}, junto a uno de ellos K{displaystyle K} también produce una extensión finita, y por lo tanto estos elementos son algebraicos también. Así conjunto de todos los elementos L{displaystyle L. que son algebraicos sobre K{displaystyle K} es un campo que se encuentra entre L{displaystyle L. y K{displaystyle K}.

Campos que no permiten ningún elemento algebraico sobre ellos (excepto sus propios elementos) se llaman algebraicamente cerrado. El campo de los números complejos es un ejemplo. Si L{displaystyle L. es algebraicamente cerrado, entonces el campo de los elementos algebraicos de L{displaystyle L. sobre K{displaystyle K} es algebraicamente cerrado, que puede ser demostrado directamente utilizando la caracterización de simples extensiones algebraicas arriba. Un ejemplo para esto es el campo de los números algebraicos.