Elasticidad (física)

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Propiedad física cuando materiales o objetos vuelven a la forma original después de la deformación

En física y ciencia de los materiales, la elasticidad es la capacidad de un cuerpo para resistir una influencia distorsionadora y volver a su tamaño y forma originales cuando se elimina esa influencia o fuerza. Los objetos sólidos se deformarán cuando se les apliquen las cargas adecuadas; si el material es elástico, el objeto volverá a su forma y tamaño inicial después de retirarlo. Esto contrasta con la plasticidad, en la que el objeto no lo hace y, en cambio, permanece en su estado deformado.

Las razones físicas del comportamiento elástico pueden ser muy diferentes para diferentes materiales. En los metales, la red atómica cambia de tamaño y forma cuando se aplican fuerzas (se agrega energía al sistema). Cuando se eliminan las fuerzas, la red vuelve al estado original de menor energía. Para cauchos y otros polímeros, la elasticidad es causada por el estiramiento de las cadenas de polímeros cuando se aplican fuerzas.

La ley de Hooke establece que la fuerza requerida para deformar objetos elásticos debe ser directamente proporcional a la distancia de deformación, independientemente de cuán grande sea esa distancia. Esto se conoce como elasticidad perfecta, en la que un objeto dado volverá a su forma original sin importar cuán fuertemente se deforme. Este es un concepto ideal solamente; la mayoría de los materiales que poseen elasticidad en la práctica siguen siendo puramente elásticos solo hasta deformaciones muy pequeñas, después de lo cual se produce una deformación plástica (permanente).

En ingeniería, la elasticidad de un material se cuantifica mediante el módulo de elasticidad, como el módulo de Young, el módulo de volumen o el módulo de corte, que miden la cantidad de tensión necesaria para lograr una unidad de deformación; un módulo más alto indica que el material es más difícil de deformar. La unidad SI de este módulo es el pascal (Pa). El límite elástico o límite elástico del material es la tensión máxima que puede surgir antes del inicio de la deformación plástica. Su unidad SI es también el pascal (Pa).

Resumen

Cuando un material elástico se deforma debido a una fuerza externa, experimenta una resistencia interna a la deformación y lo restaura a su estado original si ya no se aplica la fuerza externa. Hay varios módulos elásticos, como el módulo de Young, el módulo de corte y el módulo de volumen, todos los cuales son medidas de las propiedades elásticas inherentes de un material como resistencia a la deformación bajo una carga aplicada. Los diversos módulos se aplican a diferentes tipos de deformación. Por ejemplo, el módulo de Young se aplica a la extensión/compresión de un cuerpo, mientras que el módulo de corte se aplica a su corte. El módulo de Young y el módulo de corte son solo para sólidos, mientras que el módulo de volumen es para sólidos, líquidos y gases.

La elasticidad de los materiales se describe mediante una curva de tensión-deformación, que muestra la relación entre la tensión (la fuerza interna restauradora promedio por unidad de área) y la deformación (la deformación relativa). La curva generalmente no es lineal, pero puede (mediante el uso de una serie de Taylor) aproximarse como lineal para deformaciones suficientemente pequeñas (en las que los términos de orden superior son despreciables). Si el material es isótropo, la relación tensión-deformación linealizada se denomina ley de Hooke, que a menudo se supone que se aplica hasta el límite elástico para la mayoría de los metales o materiales cristalinos, mientras que la elasticidad no lineal generalmente se requiere para modelar grandes deformaciones de caucho. materiales incluso en el rango elástico. Para esfuerzos aún más altos, los materiales exhiben un comportamiento plástico, es decir, se deforman irreversiblemente y no vuelven a su forma original después de que ya no se aplica el estrés. Para los materiales similares al caucho, como los elastómeros, la pendiente de la curva tensión-deformación aumenta con el esfuerzo, lo que significa que los cauchos se vuelven cada vez más difíciles de estirar, mientras que para la mayoría de los metales, el gradiente disminuye con esfuerzos muy altos, lo que significa que se vuelven progresivamente más fáciles de estirar. estirar. La elasticidad no la exhiben solo los sólidos; Los fluidos no newtonianos, como los fluidos viscoelásticos, también exhibirán elasticidad en ciertas condiciones cuantificadas por el número de Deborah. En respuesta a una pequeña tensión, aplicada y eliminada rápidamente, estos fluidos pueden deformarse y luego volver a su forma original. Bajo tensiones mayores, o tensiones aplicadas durante períodos de tiempo más prolongados, estos fluidos pueden comenzar a fluir como un líquido viscoso.

Debido a que la elasticidad de un material se describe en términos de una relación tensión-deformación, es esencial que los términos tensión y deformación se definan sin ambigüedad. Típicamente, se consideran dos tipos de relación. El primer tipo trata con materiales que son elásticos solo para pequeñas deformaciones. El segundo trata de materiales que no se limitan a pequeñas deformaciones. Claramente, el segundo tipo de relación es más general en el sentido de que debe incluir al primer tipo como un caso especial.

Para deformaciones pequeñas, la medida de tensión que se utiliza es la tensión de Cauchy, mientras que la medida de tensión que se utiliza es el tensor de deformación infinitesimal; el comportamiento material resultante (predicho) se denomina elasticidad lineal, que (para medios isotrópicos) se denomina ley de Hooke generalizada. Los materiales elásticos e hipoelásticos de Cauchy son modelos que amplían la ley de Hooke para permitir la posibilidad de grandes rotaciones, grandes distorsiones y anisotropía intrínseca o inducida.

Para situaciones más generales, se puede utilizar cualquiera de una serie de medidas de tensión, y generalmente se desea (pero no se requiere) que la relación tensión-deformación elástica se exprese en términos de una medida de deformación finita que es trabajo conjugado a la medida de tensión seleccionada, es decir, la integral de tiempo del producto interno de la medida de tensión con la velocidad de la medida de deformación debe ser igual al cambio en la energía interna para cualquier proceso adiabático que permanezca por debajo del límite elástico.

Unidades

Sistema Internacional

La unidad SI para la elasticidad y el módulo elástico es el pascal (Pa). Esta unidad se define como fuerza por unidad de área, generalmente una medida de presión, que en mecánica corresponde al estrés. El pascal y por lo tanto la elasticidad tienen la dimensión L⁻¹⋅M⋅T⁻².

Para los materiales de ingeniería más utilizados, el módulo elástico está en la escala de gigapascales (GPa, 10⁹ Pa).

Elasticidad lineal

Como se ha señalado anteriormente, para pequeñas deformaciones, la mayoría de materiales elásticos como los muelles exhiben elasticidad lineal y pueden describirse por una relación lineal entre el estrés y la tensión. Esta relación se conoce como la ley de Hooke. Una versión geometría-dependiente de la idea fue formulada por Robert Hooke en 1675 como un anagrama latino, "ceiiinosssttuv". Publicó la respuesta en 1678: "Ut tensio, sic vis"que significa "Como la extensión, así la fuerza", una relación lineal comúnmente conocida como la ley de Hooke. Esta ley puede ser declarada como una relación entre la fuerza tensil $F$ y desplazamiento de extensión correspondiente $x$ ,

{displaystyle F=kx,}

Donde $k$ es una constante conocida como Tasa o primavera constante. También se puede decir como una relación entre estrés $sigma$ y tensión $varepsilon$ :

sigma =Evarepsilon

donde E se conoce como módulo de Young.

Aunque la constante de proporcionalidad general entre la tensión y la deformación en tres dimensiones es un tensor de cuarto orden llamado rigidez, los sistemas que exhiben simetría, como una barra unidimensional, a menudo se pueden reducir a aplicaciones de la ley de Hooke.

Elasticidad finita

El comportamiento elástico de los objetos que sufren deformaciones finitas se ha descrito utilizando varios modelos, como los modelos de materiales elásticos de Cauchy, los modelos de materiales hipoelásticos y los modelos de materiales hiperelásticos. El gradiente de deformación (F) es la principal medida de deformación utilizada en la teoría de la deformación finita.

Materiales elásticos Cauchy

Se dice que un material es elástico de Cauchy si el tensor de tensión de Cauchy σ es una función del gradiente de deformación F solo:

{boldsymbol {sigma }}={mathcal {G}}({boldsymbol {F}})

En general, es incorrecto afirmar que la tensión de Cauchy es una función simplemente de un tensor de deformación, ya que dicho modelo carece de información crucial sobre la rotación del material necesaria para producir resultados correctos para un medio anisotrópico sujeto a extensión vertical en comparación con la misma extensión. aplicado horizontalmente y luego sometido a una rotación de 90 grados; ambas deformaciones tienen los mismos tensores de deformación espacial pero deben producir valores diferentes del tensor de tensión de Cauchy.

Aunque la tensión en un material elástico de Cauchy depende únicamente del estado de deformación, el trabajo realizado por las tensiones puede depender de la trayectoria de la deformación. Por lo tanto, la elasticidad de Cauchy incluye "no hiperelástica" modelos (en los que el trabajo de deformación depende de la trayectoria), así como modelos conservadores de "material hiperelástico" modelos (para los cuales la tensión se puede derivar de una función escalar de "potencial elástico").

Materiales hipoelásticos

Un material hipoelástico se puede definir rigurosamente como aquel que se modela mediante una ecuación constitutiva que cumple los siguientes dos criterios:

El estrés de la Cauchy ${boldsymbol {sigma }}$ a la vez $t$ depende solamente del orden en el que el cuerpo ha ocupado sus configuraciones pasadas, pero no del tiempo en el que estas configuraciones pasadas fueron transitadas. Como caso especial, este criterio incluye un material elástico Cauchy, para el cual el estrés actual sólo depende de la configuración actual en lugar de la historia de configuraciones pasadas.
Hay una función de valor tensor $G$ tales que ${displaystyle {dot {boldsymbol {sigma }}}=G({boldsymbol {sigma }},{boldsymbol {L}}),,}$ en que ${dot {{boldsymbol {sigma }}}}$ es la tasa material del tensor de estrés de Cauchy, y ${boldsymbol {L}}$ es el tensor gradiente de velocidad espacial.

Si solo se utilizan estos dos criterios originales para definir la hipoelasticidad, la hiperelasticidad se incluiría como un caso especial, lo que lleva a algunos modeladores constitutivos a agregar un tercer criterio que requiere específicamente que un modelo hipoelástico no Ser hiperelástico (es decir, la hipoelasticidad implica que el estrés no es derivable de un potencial de energía). Si se adopta este tercer criterio, se sigue que un material hipoelástico podría admitir caminos de carga adiabáticos no conservativos que comienzan y terminan con el mismo gradiente de deformación pero no comienzan y terminan con la misma energía interna.

Tenga en cuenta que el segundo criterio requiere sólo que la función $G$ existe. Como se detalla en el artículo principal del material hipoelástico, formulaciones específicas de modelos hipoelásticos emplean típicamente las llamadas tasas objetivas para que el $G$ la función existe sólo implícitamente y normalmente se necesita explícitamente sólo para las actualizaciones de estrés numérico realizadas mediante la integración directa de la tasa de estrés real (no objetiva).

Materiales hiperelásticos

Los materiales hiperelásticos (también llamados materiales elásticos verdes) son modelos conservadores que se derivan de una función de densidad de energía de deformación (W). Un modelo es hiperelástico si y solo si es posible expresar el tensor de tensión de Cauchy en función del gradiente de deformación a través de una relación de la forma

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}={cfrac {1}{J}}~{cfrac {partial W}{partial {boldsymbol {F}}}}{boldsymbol {F}}^{textsf {T}}quad {text{where}}quad J:=det {boldsymbol {F}},.}

Esta formulación toma el potencial energético (W) como una función del gradiente de deformación ( ${boldsymbol {F}}$ ). Al requerir también satisfacción de la objetividad material, el potencial energético puede ser considerado alternativamente como una función del tensor de deformación Cauchy-Green ( ${displaystyle {boldsymbol {C}}:={boldsymbol {F}}^{textsf {T}}{boldsymbol {F}}}$ ), en cuyo caso el modelo hiperelástico puede ser escrito alternativamente como

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}={cfrac {2}{J}}~{boldsymbol {F}}{cfrac {partial W}{partial {boldsymbol {C}}}}{boldsymbol {F}}^{textsf {T}}quad {text{where}}quad J:=det {boldsymbol {F}},.}

Aplicaciones

La elasticidad lineal se usa ampliamente en el diseño y análisis de estructuras como vigas, placas y láminas, y materiales compuestos tipo sándwich. Esta teoría es también la base de gran parte de la mecánica de las fracturas.

La hiperelasticidad se usa principalmente para determinar la respuesta de objetos basados en elastómeros, como juntas, y de materiales biológicos, como tejidos blandos y membranas celulares.

Factores que afectan la elasticidad

Para materiales isotrópicos, la presencia de fracturas afecta los módulos de Young y de corte perpendiculares a los planos de las grietas, que disminuyen (el módulo de Young es más rápido que el módulo de corte) a medida que aumenta la densidad de la fractura, lo que indica que el la presencia de grietas hace que los cuerpos sean más frágiles. Microscópicamente, la relación tensión-deformación de los materiales se rige en general por la energía libre de Helmholtz, una cantidad termodinámica. Las moléculas se asientan en la configuración que minimiza la energía libre, sujetas a restricciones derivadas de su estructura y, dependiendo de si la energía o el término de entropía dominan la energía libre, los materiales pueden clasificarse en términos generales como energía-elásticos y entropía-elástica. Como tal, los factores microscópicos que afectan la energía libre, como la distancia de equilibrio entre las moléculas, pueden afectar la elasticidad de los materiales: por ejemplo, en los materiales inorgánicos, a medida que aumenta la distancia de equilibrio entre las moléculas a 0 K, el módulo de volumen disminuye. El efecto de la temperatura sobre la elasticidad es difícil de aislar, porque hay numerosos factores que lo afectan. Por ejemplo, el módulo de volumen de un material depende de la forma de su red, su comportamiento bajo expansión, así como de las vibraciones de las moléculas, todo lo cual depende de la temperatura.

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