Elasticidad de sustitución constante

La elasticidad de sustitución constante (CES), en economía, es una propiedad de algunas funciones de producción y funciones de utilidad. Varios economistas han intervenido en el tema y han contribuido al hallazgo final de la constante. Incluyen a Tom McKenzie, John Hicks y Joan Robinson. El elemento económico vital de la medida es que proporcionó al productor una imagen clara de cómo moverse entre diferentes modos o tipos de producción.

Específicamente, surge en un tipo particular de función agregadora que combina dos o más tipos de bienes de consumo, o dos o más tipos de insumos de producción en una cantidad agregada. Esta función agregadora exhibe una elasticidad de sustitución constante.

Función de producción CES

A pesar de tener varios factores de producción en sustituibilidad, los más comunes son las formas de elasticidad de sustitución. Al contrario de restringir la evaluación empírica directa, la elasticidad de sustitución constante es fácil de utilizar y, por tanto, se utiliza ampliamente. McFadden afirma que;

La suposición E.S constante es una restricción en la forma de posibilidades de producción, y se puede caracterizar la clase de funciones de producción que tienen esta propiedad. Esto ha sido hecho por Arrow-Chenery-Minhas-Solow para el caso de producción de dos factores.

La función de producción CES es una función de producción neoclásica que muestra una elasticidad de sustitución constante. En otras palabras, la tecnología de producción tiene un cambio porcentual constante en las proporciones de los factores (por ejemplo, trabajo y capital) debido a un cambio porcentual en la tasa marginal de sustitución técnica. La función de producción CES de dos factores (capital, trabajo) introducida por Solow y luego popularizada por Arrow, Chenery, Minhas y Solow es:

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot ¿Qué?$

dónde

• ${\displaystyle Q}$ = Cantidad de salida
• ${\displaystyle F}$ = Productividad del factor
• ${\displaystyle a}$ = parámetro compartido
• ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L.$ = Cuantidades de los factores de producción primaria (Capital y Laboral)
• ${\displaystyle \rho }$ = ${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }$ = Parámetro de sustitución
• ${\displaystyle \sigma }$ = ${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho}} {\f}}$ = Elasticidad de sustitución
• ${\displaystyle \upsilon }$ = grado de homogeneidad de la función de producción. Donde ${\displaystyle \upsilon }$ = 1 (Regreso constante a la escala), ${\displaystyle \upsilon }$ 1 (Disminución del regreso a la escala), ${\displaystyle \upsilon }$ ■ 1 (Aumento del regreso a la escala).

Como sugiere su nombre, la función de producción CES exhibe una elasticidad de sustitución constante entre capital y trabajo. Las funciones de Leontief, lineal y Cobb-Douglas son casos especiales de la función de producción CES. Eso es,

• Si ${\displaystyle \rho }$ enfoques 1, tenemos una función de sustitutos lineales o perfectos;
• Si ${\displaystyle \rho }$ se acerca a cero en el límite, obtenemos la función de producción de Cobb-Douglas;
• Si ${\displaystyle \rho }$ aborda el infinito negativo obtenemos la función de producción de Leontief o complementos perfectos.

La forma general de la función de producción CES, con n entradas, es:

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum ¿Qué? \right]^{\frac {1} {} {}}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$ = Cantidad de salida
• ${\displaystyle F}$ = Productividad del factor
• ${\displaystyle A_{i}$ = Parámetro de la entrada i, ${\displaystyle \sum ¿Qué?$
• ${\displaystyle X_{i}$ = Cuantidades de factores de producción (i = 1,2...n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}$ = Elasticidad de sustitución.

Extender la forma funcional CES (Solow) para acomodar múltiples factores de producción crea algunos problemas. Sin embargo, no existe una forma completamente general de hacer esto. Uzawa demostró que las únicas funciones de producción de n factores posibles (n>2) con elasticidades parciales de sustitución constantes requieren que todas las elasticidades entre pares de factores sean idénticas o, si alguna difiere, todas deben ser iguales entre sí y todas las elasticidades restantes deben ser iguales. unidad. Esto es válido para cualquier función de producción. Esto significa que el uso de la forma funcional CES para más de 2 factores generalmente significará que no hay una elasticidad de sustitución constante entre todos los factores.

Las funciones CES anidadas se encuentran comúnmente en modelos de equilibrio parcial y de equilibrio general. Diferentes nidos (niveles) permiten la introducción de la elasticidad de sustitución adecuada.

Función de utilidad CES

La misma forma funcional CES surge como una función de utilidad en la teoría del consumidor. Por ejemplo, si existe ${\displaystyle n}$ tipos de bienes de consumo ${\displaystyle x_{i}}$, luego consumo agregado ${\displaystyle X}$ podría definirse usando el agregador CES:

${\displaystyle X=\left[\sum ¿Qué? {1} {}x_{i} {\fnMic} {S-1}{s}\fn} \right]^{\frac {s}{s-1}}$

Aquí de nuevo, los coeficientes ${\displaystyle A_{i}$ son parámetros de acción, y ${\displaystyle s}$ es la elasticidad de la sustitución. Por consiguiente, el consumo de bienes ${\displaystyle x_{i}}$ son sustitutos perfectos cuando ${\displaystyle s}$ enfoques infinito y complementos perfectos cuando ${\displaystyle s}$ enfoques cero. En el caso en que ${\displaystyle s}$ se acerca una vez más es un caso limitado donde se aplica la Regla de L'Hôpital. El agregador CES también se llama a veces Armington aggregator, que fue discutido por Armington (1969).

Las funciones de utilidad CES son un caso especial de preferencias homotéticas.

Lo siguiente es un ejemplo de una función de utilidad CES para dos mercancías, ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$, con partes iguales:

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r})^{1/r}$

La función de gasto en este caso es:

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}{r/(r-1)}+p_{y}{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

La función de utilidad indirecta es su inversa:

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}{r/(r-1)}+p_{y}{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

Las funciones de demanda son:

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}{r/(r-1)}+p_{y}{r/(r-1)}}}}\cdot}}\cdot Yo...$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}{r/(r-1)}+p_{y}{r/(r-1)}}}}\cdot}}\cdot I.}$

Una función de utilidad CES es uno de los casos considerados por Dixit y Stiglitz (1977) en su estudio de la diversidad óptima de productos en un contexto de competencia monopolística.

Obsérvese la diferencia entre utilidad CES y utilidad isoelástica: la función de utilidad CES es una función de utilidad ordinal que representa preferencias sobre paquetes de bienes de consumo seguros, mientras que la función de utilidad isoelástica es una función de utilidad cardinal que representa preferencias en loterías. Se ha utilizado una función de utilidad indirecta (dual) CES para derivar sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad donde las demandas de categoría están determinadas endógenamente por una función de utilidad indirecta (dual) CES de múltiples categorías. También se ha demostrado que las preferencias CES son autoduales y que tanto las preferencias CES primarias como las duales producen sistemas de curvas de indiferencia que pueden exhibir cualquier grado de convexidad.