El tercer problema de Hilbert

Dos poliedros de igual volumen, cortados en dos piezas que se pueden reensamblar en poliedro

El tercero de la lista de problemas matemáticos de Hilbert, presentado en 1900, fue el primero en resolverse. El problema está relacionado con la siguiente pregunta: dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar para producir el segundo? Basado en escritos anteriores de Carl Friedrich Gauss, David Hilbert conjeturó que esto no siempre es posible. Esto fue confirmado dentro del año por su alumno Max Dehn, quien demostró que la respuesta en general es "no" mediante la producción de un contraejemplo.

La respuesta a la pregunta análoga sobre polígonos en 2 dimensiones es "sí" y se conocía desde hacía mucho tiempo; este es el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien.

Desconocido para Hilbert y Dehn, el tercer problema de Hilbert también fue propuesto de forma independiente por Władysław Kretkowski para un concurso de matemáticas de 1882 de la Academia de Artes y Ciencias de Cracovia, y fue resuelto por Ludwik Antoni Birkenmajer con un método diferente. que el de Dehn. Birkenmajer no publicó el resultado y el manuscrito original que contenía su solución fue redescubierto años después.

Historia y motivación

La fórmula para el volumen de una pirámide,

zona de base× × altura3,{displaystyle {frac {text{base area}times {text{height}{3}}}}}

Había sido conocido por Euclides, pero todas las pruebas implican algún tipo de proceso o cálculo limitante, en particular el método de agotamiento o, en una forma más moderna, el principio de Cavalieri. Se pueden demostrar fórmulas similares en geometría plana con medios más elementales. Gauss lamentó este defecto en dos de sus cartas a Christian Ludwig Gerling, quien demostró que dos tetraedros simétricos son equidescomponibles.

Gauss' las letras fueron la motivación de Hilbert: ¿es posible demostrar la igualdad de volumen usando elementos elementales de "cortar y pegar" ¿métodos? Porque si no, entonces una demostración elemental del resultado de Euclides también es imposible.

La respuesta de Dehn

La prueba de Dehn es una instancia en la que se usa el álgebra abstracta para probar un resultado de imposibilidad en geometría. Otros ejemplos son doblar el cubo y trisecar el ángulo.

Dos poliedros se denominan tijeras congruentes si el primero se puede cortar en un número finito de piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar para producir el segundo. Cualquier par de poliedros congruentes con tijeras tienen el mismo volumen. Hilbert pregunta sobre lo contrario.

Por cada poliedro P{displaystyle P}, Dehn define un valor, ahora conocido como el invariante Dehn D⁡ ⁡ ()P){displaystyle operatorname {D} (P)}, con la propiedad que, si P{displaystyle P} se corta en piezas poliedral P1,P2,...... Pn{displaystyle P_{1},P_{2},dots P_{n}, entonces

D⁡ ⁡ ()P)=D⁡ ⁡ ()P1)+D⁡ ⁡ ()P2)+⋯ ⋯ +D⁡ ⁡ ()Pn).{displaystyle operatorname {D} (P)=operatorname {D} (P_{1})+operatorname {D} (P_{2})+cdots +operatorname {D} (P_{n}). }

El invariante de un poliedro se define sobre la base de las longitudes de sus bordes y los ángulos entre sus rostros. Si un poliedro se corta en dos, algunos bordes se cortan en dos, y las contribuciones correspondientes a los invariantes de Dehn deben ser aditivos en las longitudes del borde. Del mismo modo, si un poliedro se corta a lo largo de un borde, el ángulo correspondiente se corta en dos. Cortar un poliedro suele introducir nuevos bordes y ángulos; sus contribuciones deben cancelarse. Los ángulos introducidos cuando un corte pasa a través de una cara añadir a π π {displaystyle pi}, y los ángulos introducidos alrededor de un borde interior al poliedro añadir a 2π π {displaystyle 2pi}. Por lo tanto, el invariante Dehn se define de tal manera que los múltiples enteros de ángulos de π π {displaystyle pi} dar una contribución neta de cero.

Todos los requisitos mencionados pueden cumplirse definiendo D⁡ ⁡ ()P){displaystyle operatorname {D} (P)} como elemento del producto tensor de los números reales R{displaystyle mathbb {R} (representando longitudes de bordes) y el espacio cociente R/()Qπ π ){displaystyle mathbb {R} /(mathbb {Q} pi)} (representando ángulos, con todos los múltiplos racionales de π π {displaystyle pi} sustituido por cero). Para algunos propósitos, esta definición se puede hacer utilizando el producto tensor de módulos sobre Z{displaystyle mathbb {Z} (o equivalente a los grupos abelianos), mientras que otros aspectos de este tema hacen uso de una estructura espacial vectorial sobre los invariantes, obtenidas considerando los dos factores R{displaystyle mathbb {R} y R/()Qπ π ){displaystyle mathbb {R} /(mathbb {Q} pi)} ser espacios vectoriales Q{displaystyle mathbb {Q} y tomar el tensor producto de espacios vectoriales sobre Q{displaystyle mathbb {Q}. Esta elección de estructura en la definición no marca la diferencia en si dos invariantes Dehn, definidos de cualquier manera, son iguales o desiguales.

Para cualquier borde e{displaystyle e} de un poliedro P{displaystyle P}, vamos l l ()e){displaystyle ell (e)} ser su longitud y dejar Silencio Silencio ()e){displaystyle theta (e)} denota el ángulo dihedral de las dos caras P{displaystyle P} que se reúnen en e{displaystyle e}, medido en radianos y considerado modulo múltiplos racionales de π π {displaystyle pi}. El invariante de Dehn se define entonces como

D⁡ ⁡ ()P)=.. el l ()e)⊗ ⊗ Silencio Silencio ()e){displaystyle operatorname {D} (P)=sum _{e}ell (e)otimes theta (e)}

e{displaystyle e}

P{displaystyle P}

Más información

A la luz del teorema de Dehn anterior, uno podría preguntarse "¿qué poliedros son congruentes con las tijeras"? Sydler (1965) demostró que dos poliedros son congruentes en tijera si y solo si tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. Børge Jessen luego amplió los resultados de Sydler a cuatro dimensiones. En 1990, Dupont y Sah proporcionaron una demostración más simple del resultado de Sydler al reinterpretarlo como un teorema sobre la homología de ciertos grupos clásicos.

Debrunner demostró en 1980 que la invariante de Dehn de cualquier poliedro con el que todo el espacio tridimensional se puede teselar periódicamente es cero.

Jessen también planteó la cuestión de si el análogo de los resultados de Jessen seguía siendo cierto para la geometría esférica y la geometría hiperbólica. En estas geometrías, el método de Dehn sigue funcionando y muestra que cuando dos poliedros son congruentes en tijera, sus invariantes de Dehn son iguales. Sin embargo, sigue siendo un problema abierto si los pares de poliedros con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, en estas geometrías, son siempre congruentes en tijera.

Pregunta original

La pregunta original de Hilbert era más complicada: dados dos tetraedros T₁ y T₂ con igual área de base e igual altura (y por lo tanto igual volumen), siempre es posible encontrar un número finito de tetraedros, de modo que cuando estos tetraedros se pegan de alguna manera a T₁ y también pegado a T₂, los poliedros resultantes son congruentes con las tijeras?

La invariante de Dehn también se puede utilizar para dar una respuesta negativa a esta pregunta más fuerte.