El teorema de De Branges

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En análisis complejo, el teorema de De Branges, o la conjetura de Bieberbach, es un teorema que da una condición necesaria sobre una función holomorfa para que ésta mapear el disco unitario abierto del plano complejo inyectivamente al plano complejo. Fue planteada por Ludwig Bieberbach (1916) y finalmente demostrada por Louis de Branges (1985).

La declaración se refiere a los coeficientes de Taylor $a_{n}$ de una función univalent, es decir, una función holomorfa única que mapea el disco unitario en el plano complejo, normalizado como siempre es posible para que $a_{0}=0$ y $a_1=1$ . Es decir, consideramos una función definida en el disco de unidad abierta que es holomorfa e inyectable (univalent) con la serie Taylor de la forma

{displaystyle f(z)=z+sum _{ngeq 2}a_{n}z^{n}.}

Tales funciones se llaman schlicht. El teorema entonces establece que

{displaystyle |a_{n}|leq nquad {text{for all }}ngeq 2.}

La función Koebe (ver abajo) es una función en la que ${displaystyle a_{n}=n}$ para todos $n$ , y es schlicht, por lo que no podemos encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del $n$ T coeficiente.

Funciones Schlicht

Las normalizaciones

{displaystyle a_{0}=0 {text{and}} a_{1}=1}

significa que

{displaystyle f(0)=0 {text{and}} f'(0)=1.}

Esto siempre se puede obtener por una transformación afine: comenzando con una función holomorfa inyector arbitraria $g$ definido en el disco de unidad abierta y el ajuste

{displaystyle f(z)={frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}

Tales funciones $g$ son de interés porque aparecen en el teorema de cartografía Riemann.

A función schlicht se define como una función analítica $f$ que es uno a uno y satisfice $f(0)=0$ y $f'(0)=1$ . Una familia de funciones de schlicht son las funciones de Koebe rotadas

f_alpha(z)=frac{z}{(1-alpha z)^2}=sum_{n=1}^infty nalpha^{n-1} z^n

con $alpha$ un número complejo de valor absoluto $1$ . Si $f$ es una función schlicht y ${displaystyle |a_{n}|=n}$ para algunos $ngeq 2$ , entonces $f$ es una función de Koebe rotada.

La condición de de Branges' teorema no es suficiente para mostrar que la función es schlicht, ya que la función

{displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}

muestra: es holomorfa en el disco de unidad y satisfios ${displaystyle |a_{n}|leq n}$ para todos $n$ , pero no es inyectable desde ${displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}$ .

Historia

Koepf (2007) ofrece un estudio de la historia.

Bieberbach (1916) probada ${displaystyle |a_{2}|leq 2}$ , y declaró la conjetura que ${displaystyle |a_{n}|leq n}$ . Löwner (1917) y Nevanlinna (1921) demostraron de forma independiente la conjetura de funciones estrella. Entonces Charles Loewner (Löwner (1923) demostró ${displaystyle |a_{3}|leq 3}$ , usando la ecuación de Löwner. Su trabajo fue utilizado por más adelante intentos, y también se aplica en la teoría de la evolución Schramm-Loewner.

Littlewood (1925, teorema 20) demostró que ${displaystyle |a_{n}|leq en}$ para todos $n$ , mostrando que la conjetura de Bieberbach es verdadera hasta un factor de ${displaystyle e=2.718ldots }$ Varios autores redujeron posteriormente la constante en la desigualdad siguiente $e$ .

Si ${displaystyle f(z)=z+cdots }$ es una función schlicht entonces ${displaystyle varphi (z)=f(z^{2})^{1/2}}$ es una función rara schlicht. Paley y Littlewood (1932) mostraron que sus coeficientes Taylor satisfacen ${displaystyle b_{k}leq 14}$ para todos $k$ . Conjetaron que $14$ puede ser reemplazado por $1$ como generalización natural de la conjetura de Bieberbach. La conjetura Littlewood-Paley implica fácilmente la conjetura Bieberbach usando la desigualdad Cauchy, pero pronto fue refutada por Fekete " Szegő (1933), quien mostró que hay una extraña función schlicht con ${displaystyle b_{5}=1/2+exp(-2/3)=1.013ldots }$ , y que este es el valor máximo posible $b_{5}$ . Isaak Milin más tarde mostró que $14$ puede ser reemplazado por ${displaystyle 1.14}$ , y Hayman mostró que los números $b_{k}$ tienen un límite inferior a $1$ si $f$ no es una función Koebe (para la cual ${displaystyle b_{2k+1}}$ Todos $1$ ). Así que el límite es siempre menor o igual a $1$ , lo que significa que la conjetura de Littlewood y Paley es verdadera para todos, pero un número finito de coeficientes. Una forma más débil de la conjetura de Littlewood y Paley fue encontrada por Robertson (1936).

La conjetura de Robertson establece que si

phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+cdots

es una extraña función schlicht en el disco de unidad con ${displaystyle b_{1}=1}$ entonces para todos los enteros positivos $n$ ,

sum _{{k=1}}^{n}|b_{{2k+1}}|^{2}leq n.

Robertson observó que su conjetura sigue siendo lo suficientemente fuerte como para implicar la conjetura de Bieberbach, y lo demostró para $n=3$ . Esta conjetura introdujo la idea clave de vincular varias funciones cuadráticas de los coeficientes en lugar de los propios coeficientes, lo que equivale a normas de elementos ligados en ciertos espacios Hilbert de funciones schlicht.

Había varias pruebas de la conjetura de Bieberbach para ciertos valores superiores de $n$ , en particular Garabedian " Schiffer (1955) probado ${displaystyle |a_{4}|leq 4}$ , Ozawa (1969) y Pederson (1968) probaron ${displaystyle |a_{6}|leq 6}$ , y Pederson " Schiffer (1972) probado ${displaystyle |a_{5}|leq 5}$ .

Hayman (1955) demostró que el límite ${displaystyle a_{n}/n}$ existe, y tiene valor absoluto menos que $1$ a) $f$ es una función Koebe. En particular esto mostró que para cualquier $f$ puede haber en la mayoría un número finito de excepciones a la conjetura de Bieberbach.

El Conjetura de Milin afirma que para cada función schlicht en el disco unidad, y para todos los enteros positivos $n$ ,

sum _{{k=1}}^{n}(n-k+1)(k|gamma _{k}|^{2}-1/k)leq 0

Donde coeficientes logarítmicos $gamma _{n}$ de $f$ son dados por

log(f(z)/z)=2sum _{{n=1}}^{infty }gamma _{n}z^{n}.

Milin (1977) mostró usando la desigualdad de Lebedev-Milin que la conjetura de Milin (posteriormente demostrada por de Branges) implica la conjetura de Robertson y por lo tanto la conjetura de Bieberbach.

Finalmente de Branges (1987) probada ${displaystyle |a_{n}|leq n}$ para todos $n$ .

La prueba de De Branges

La prueba usa un tipo de espacio de Hilbert de funciones enteras. El estudio de estos espacios se convirtió en un subcampo de análisis complejo y los espacios han llegado a ser llamados espacios de Branges. De Branges demostró la conjetura de Milin más fuerte (Milin 1977) sobre coeficientes logarítmicos. Ya se sabía que esto implicaba la conjetura de Robertson (Robertson 1936) sobre funciones univalentes impares, que a su vez implicaba la conjetura de Bieberbach sobre funciones schlicht (Bieberbach 1916). Su prueba utiliza la ecuación de Loewner, la desigualdad de Askey-Gasper sobre polinomios de Jacobi y la desigualdad de Lebedev-Milin sobre series de potencias exponenciadas.

De Branges redujo la conjetura a algunas desigualdades para los polinomios de Jacobi y verificó las primeras a mano. Walter Gautschi verificó más de estas desigualdades por computadora para de Branges (probando la conjetura de Bieberbach para los primeros 30 o más coeficientes) y luego le preguntó a Richard Askey si conocía alguna desigualdad similar. Askey señaló que Askey & Gasper (1976) había demostrado las desigualdades necesarias ocho años antes, lo que permitió a de Branges completar su demostración. La primera versión era muy larga y tenía algunos errores menores que causaron cierto escepticismo al respecto, pero estos fueron corregidos con la ayuda de miembros del seminario de Leningrado sobre Teoría de Funciones Geométricas (Departamento de Leningrado del Instituto Matemático Steklov) cuando de Branges visitó en 1984.

De Branges demostró el siguiente resultado, que para $nu =0$ implica la conjetura Milin (y por lo tanto la conjetura Bieberbach). Supongamos que $-3/2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. ■− − 3/2{displaystyle nu >-3/2}-3/2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fb6efab35b6f4653c1d318f54ef0972b8c2bfd" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.626ex; height:2.843ex;"/>$ y $sigma_n$ son números reales para números enteros positivos $n$ con límite ${displaystyle 0}$ y tal que

rho _{n}={frac {Gamma (2nu +n+1)}{Gamma (n+1)}}(sigma _{n}-sigma _{{n+1}})

no negativo, no creciente, y tiene límite ${displaystyle 0}$ . Entonces para todas las funciones de mapeo Riemann ${displaystyle F(z)=z+cdots }$ univalent en el disco de unidad con

{frac {F(z)^{nu }-z^{nu }}{nu }}=sum _{{n=1}}^{{infty }}a_{n}z^{{nu +n}}

el valor máximo de

sum _{{n=1}}^{infty }(nu +n)sigma _{n}|a_{n}|^{2}

se logra por la función Koebe ${displaystyle z/(1-z)^{2}}$ .

En 1985, Carl FitzGerald y Christian Pommerenke (FitzGerald & Pommerenke (1985)) publicaron una versión simplificada de la demostración, y Jacob Korevaar (Korevaar (1986)) realizó una descripción aún más breve.

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