El teorema de bezout

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Número de puntos de intersección de curvas algebraicas e hipersuperficies

El teorema de Bézout es un enunciado en geometría algebraica sobre el número de ceros comunes de $n$ polinomios en $n$ indeterminados. En su forma original, el teorema establece que en general el número de ceros comunes es igual al producto de los grados de los polinomios. Lleva el nombre de Étienne Bézout.

En algunos textos elementales, el teorema de Bézout se refiere sólo al caso de dos variables, y afirma que, si dos curvas algebraicas plano de grados $d_{1}$ y $d_{2}$ no tienen componente en común, tienen ${displaystyle d_{1}d_{2}}$ puntos de intersección, contados con su multiplicidad, e incluyendo puntos en infinito y puntos con coordenadas complejas.

En su formulación moderna, el teorema establece que, si $N$ es el número de puntos comunes sobre un campo algebraicamente cerrado de $n$ hipersuperficies proyectivas definidas por polinomios homogéneos en $n + 1$ indeterminados, entonces $N$ es infinito o es igual al producto de los grados de los polinomios. Además, el caso finito ocurre casi siempre.

En el caso de dos variables y en el caso de hipersuperficies afines, si no se cuentan las multiplicidades y los puntos en el infinito, este teorema proporciona solo un límite superior del número de puntos, que casi siempre se alcanza. Este límite a menudo se denomina límite de Bézout.

El teorema de Bézout es fundamental en álgebra computacional y geometría algebraica efectiva, al mostrar que la mayoría de los problemas tienen una complejidad computacional que es al menos exponencial en el número de variables. De ello se deduce que en estas áreas, la mayor complejidad que se puede esperar ocurrirá con algoritmos que tengan una complejidad polinomial en el límite de Bézout.

Historia

En el caso de las curvas planas, el teorema de Bézout fue establecido esencialmente por Isaac Newton en su demostración del lema 28 del volumen 1 de sus Principia en 1687, donde afirma que dos curvas tienen un número de puntos de intersección dado por el producto de sus grados.

El teorema general se publicó más tarde en 1779 en la Théorie générale des équations algébriques de Étienne Bézout. Supuso que las ecuaciones eran "completas", lo que en la terminología moderna se traduciría como genérica. Dado que con los polinomios genéricos no hay puntos en el infinito y todas las multiplicidades son iguales a uno, la formulación de Bézout es correcta, aunque su demostración no sigue los requisitos modernos de rigor.

Esto y el hecho de que el concepto de multiplicidad de intersección estaba fuera del conocimiento de su época llevó a que algunos autores expresaran el sentimiento de que su prueba no era correcta ni la primera prueba que se daba.

La demostración del enunciado que incluye multiplicidades requiere una definición precisa de las multiplicidades de intersección y, por lo tanto, no era posible antes del siglo XX.

Las definiciones de multiplicidades que se dieron durante la primera mitad del siglo XX implicaban deformaciones continuas e infinitesimales. De ello se deduce que las pruebas de este período se aplican sólo sobre el campo de los números complejos.

Recién en 1958, Jean-Pierre Serre dio una definición puramente algebraica de multiplicidades, lo que condujo a una prueba válida sobre cualquier campo algebraicamente cerrado.

Declaración

Curvas planas

Supongamos que X e Y son dos curvas proyectivas planas definidas sobre un campo F que no tienen un componente común (esta condición significa que X e Y están definidos por polinomios, sin divisor común de grado positivo). Entonces el número total de puntos de intersección de X e Y con coordenadas en un campo algebraicamente cerrado E que contiene F, contado con sus multiplicidades, es igual al producto de los grados de X y Y.

Caso general

La generalización en una dimensión superior se puede establecer como:

Vamos n hipersuperficies proyectivas se dan en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un campo algebraicamente cerrado, que se define por n polinomios homogéneos en n + 1 variables, de grados $d_{1},ldotsd_{n}.$ Entonces el número de puntos de intersección es infinito, o el número de puntos de intersección, contado con multiplicidad, es igual al producto $d_{1}cdots d_{n}.$ Si las hipersuperficies están en posición general relativa, entonces hay $d_{1}cdots d_{n}$ puntos de intersección, todos con multiplicidad 1.

Hay varias demostraciones de este teorema, que se expresan en términos puramente algebraicos o utilizan el lenguaje o la geometría algebraica. A continuación se bosquejan tres demostraciones algebraicas.

El teorema de Bézout se ha generalizado como el llamado teorema de Bézout multihomogéneo.

Caso afín

El caso afín del teorema es el siguiente enunciado, que ha sido probado en 1983 por David Masser y Gisbert Wüstholz.

Vamos $n$ hipersuperficies afines que se definen sobre un campo algebraicamente cerrado por $n$ polinomios en $n$ variables, de grados $d_{1},ldotsd_{n}.$ Entonces el número de puntos de intersección es infinito, o el número de puntos de intersección, contado con sus multiplicidades, es en la mayoría del producto $d_{1}cdots d_{n}.$ Si las hipersuperficies están en posición general relativa, entonces hay exactamente $d_{1}cdots d_{n}$ puntos de intersección, todos con multiplicidad 1.

Esta versión no es una consecuencia directa del caso general, porque es posible tener un número finito de puntos de intersección en el espacio afín, con infinitos puntos de intersección en el infinito. El enunciado anterior es un caso especial de un enunciado más general, que es el resultado que demostraron Masser y Wüstholz.

Para establecer el resultado general, se debe recordar que los puntos de intersección forman un conjunto algebraico, y que hay un número finito de puntos de intersección si y solo si todos los componentes de la intersección tienen una dimensión cero (un conjunto algebraico de dimensión positiva tiene una infinidad de puntos sobre un campo algebraicamente cerrado). Un punto de intersección se dice aislado si no pertenece a una componente de dimensión positiva de la intersección; la terminología tiene sentido, ya que un punto de intersección aislado tiene vecindades (para la topología de Zariski o para la topología habitual en el caso de hipersuperficies complejas) que no contiene ningún otro punto de intersección.

Vamos $n$ hipersuperficies proyectivas que se definen sobre un campo cerrado algebraicamente por $n$ polinomios homogéneos en $n+1$ variables, de grados $d_{1},ldotsd_{n}.$ Entonces, la suma de las multiplicidades de sus puntos de intersección aislados es en la mayoría del producto $d_{1}cdots d_{n}.$ El resultado sigue siendo válido para cualquier número $m$ de hipersuperficies, si uno se pone ${displaystyle d_{m+1}=0}$ en el caso $<math alttext="{displaystyle mm.n,{displaystyle m maden,} <img alt="{displaystyle m$ y, de lo contrario, si uno ordena los grados por tener ${displaystyle d_{2}geq d_{3}geq cdots geq d_{m}geq d_{1}.}$ Es decir, no hay punto de intersección aislado si $<math alttext="{displaystyle mm.n,{displaystyle m maden,} <img alt="{displaystyle m$ y, de lo contrario, el límite es el producto del menor grado y el $n-1$ mayores grados.

Ejemplos (curvas planas)

Dos líneas

La ecuación de una recta en un plano euclidiano es lineal, es decir, iguala a cero un polinomio de grado uno. Entonces, el límite de Bézout para dos líneas es $1$ , lo que significa que dos líneas se cruzan en un solo punto o no se cruzan. En este último caso, las líneas son paralelas y se encuentran en un punto en el infinito.

Uno puede verificar esto con ecuaciones. La ecuación de una primera línea se puede escribir en forma de inclinación-intercepto ${displaystyle y=sx+m}$ o, en coordenadas proyectivas ${displaystyle y=sx+mt}$ (si la línea es vertical, se puede cambiar $x$ y $Sí.$ ). Si la ecuación de una segunda línea es (en coordenadas proyectivas) ${displaystyle ax+by+ct=0,}$ por sustitución ${displaystyle sx+mt}$ para $Sí.$ en él, uno se pone ${displaystyle (a+bs)x+(c+bm)t=0.}$ Si ${displaystyle a+bsneq 0,}$ uno consigue el $x$ -coordinado del punto de intersección resolviendo la última ecuación en $x$ y poner $t = 1.$

Si ${displaystyle a+bs=0,}$ eso es ${displaystyle s=-a/b,}$ las dos líneas son paralelas a tener la misma pendiente. Si ${displaystyle mneq -c/b,}$ son distintos, y la ecuación sustituida da $t = 0$ . Esto da el punto de infinidad de coordenadas proyectivas $(1, s, 0)$ .

Una línea y una curva

Como arriba, se puede escribir la ecuación de la línea en coordenadas proyectivas como ${displaystyle y=sx+mt.}$ Si la curva se define en coordenadas proyectivas por un polinomio homogéneo $p(x,y,t)$ grado $n$ , la sustitución de $Sí.$ proporciona un polinomio homogéneo de grado $n$ dentro $x$ y $t$ . El teorema fundamental del álgebra implica que puede ser factorado en factores lineales. Cada factor da la relación de la $x$ y $t$ coordenadas de un punto de intersección, y la multiplicidad del factor es la multiplicidad del punto de intersección.

Si $t$ se ve como la coordenada del infinito, un factor igual a $t$ representa un punto de intersección en el infinito.

Si al menos una derivada parcial del polinomio $p$ no es cero en un punto de intersección, entonces la tangente de la curva en este punto está definida (ver Curva algebraica § Tangente en un punto), y la multiplicidad de la intersección es mayor que uno si y solo si la recta es tangente a la curva. Si todas las derivadas parciales son cero, el punto de intersección es un punto singular y la multiplicidad de intersección es al menos dos.

Dos secciones cónicas

Dos secciones cónicas generalmente se cortan en cuatro puntos, algunos de los cuales pueden coincidir. Para tener en cuenta correctamente todos los puntos de intersección, puede ser necesario permitir coordenadas complejas e incluir los puntos en la línea infinita en el plano proyectivo. Por ejemplo:

Dos círculos nunca se intersectan en más de dos puntos en el avión, mientras que el teorema de Bézout predice cuatro. La discrepancia viene del hecho de que cada círculo pasa a través de los mismos dos puntos complejos en la línea al infinito. Escribir el círculo ${displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$ en coordenadas homogéneas, obtenemos ${displaystyle (x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,}$ desde el cual está claro que los dos puntos $(1: i : 0)$ y $(1: - i : 0)$ miente en cada círculo. Cuando dos círculos no se encuentran en absoluto en el plano real, las otras dos intersecciones tienen coordenadas no reales, o si los círculos son concéntricos entonces se reúnen exactamente en los dos puntos en la línea en infinito con una multiplicidad de intersección de dos.
Cualquier cónico debe cumplir la línea en infinito en dos puntos según el teorema. Una hiperbola lo encuentra en dos puntos reales correspondientes a las dos direcciones de los asintotos. Un elipse lo encuentra en dos puntos complejos que se conjugan entre sí —en el caso de un círculo, los puntos $(1: i : 0)$ y $(1: - i : 0)$ . Una parabola lo encuentra en un solo punto, pero es un punto de tangencia y por lo tanto cuenta dos veces.
Las siguientes imágenes muestran ejemplos en los que el círculo $x 2 + Sí. 2 - 1 = 0$ encuentra otro elipse en menos puntos de intersección porque al menos uno de ellos tiene multiplicidad mayor que uno:

Intersección de un elipse y del círculo de la unidad

Dos intersecciones de multiplicidad 2
${displaystyle x^{2}+4y^{2}-1=0}$
Dos intersecciones de multiplicidades 3 y 1
${displaystyle 5x^{2}+6xy+5y^{2}+6y-5=0}$
Una intersección de la multiplicidad 4
${displaystyle 4x^{2}+y^{2}+6x+2=0}$

Multiplicidad

El concepto de multiplicidad es fundamental para el teorema de Bézout, ya que permite tener una igualdad en lugar de una desigualdad mucho más débil.

Intuitivamente, la multiplicidad de un cero común de varios polinomios es el número de ceros en los que el cero común se puede dividir cuando los coeficientes se modifican ligeramente. Por ejemplo, una tangente a una curva es una línea que corta la curva en un punto que se divide en varios puntos si la línea se mueve ligeramente. Este número es dos en general (puntos ordinarios), pero puede ser mayor (tres para puntos de inflexión, cuatro para puntos de ondulación, etc.). Este número es la "multiplicidad de contactos" de la tangente.

Esta definición de multiplicidades por deformación fue suficiente hasta finales del siglo XIX, pero tiene varios problemas que llevaron a definiciones modernas más convenientes: las deformaciones son difíciles de manipular; por ejemplo, en el caso de una raíz de un polinomio univariante, para probar que la multiplicidad obtenida por deformación es igual a la multiplicidad del factor lineal correspondiente del polinomio, hay que saber que las raíces son funciones continuas de los coeficientes. No se pueden utilizar deformaciones sobre campos de característica positiva. Además, hay casos en los que es difícil definir una deformación conveniente (como en el caso de más de dos curvas planas que tienen un punto de intersección común), e incluso casos en los que no es posible ninguna deformación.

Actualmente, siguiendo a Jean-Pierre Serre, una multiplicidad se define generalmente como la longitud de un anillo local asociado con el punto donde se considera la multiplicidad. Se puede demostrar que la mayoría de las definiciones específicas son un caso especial de la definición de Serre.

En el caso del teorema de Bézout, se puede evitar la teoría general de la intersección, ya que existen pruebas (ver más abajo) que asocian a cada dato de entrada para el teorema un polinomio en los coeficientes de las ecuaciones, que factoriza en factores lineales, cada uno correspondiente a un único punto de intersección. Entonces, la multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad del factor correspondiente. La prueba de que esta multiplicidad es igual a la que se obtiene por deformación, resulta entonces del hecho de que los puntos de intersección y el polinomio factorizado dependen continuamente de las raíces.

Pruebas

Usando la resultante (curvas planas)

Sea $P$ y $Q$ sean dos polinomios homogéneos en los indeterminados $x, y, t$ de los respectivos grados $p$ y $q$ . Sus ceros son las coordenadas homogéneas de dos curvas proyectivas. Así, las coordenadas homogéneas de sus puntos de intersección son los ceros comunes de $P$ y $Q$ .

Al reunir las potencias de un indeterminado, digamos $y$ , se obtienen polinomios univariados cuyos coeficientes son polinomios homogéneos en $x$ y $t$ .

Por razones técnicas, se debe cambiar de coordenadas para que los grados en $y$ de $P$ y $Q$ equivalen a sus grados totales ( $p$ y $q$ ), y cada La línea que pasa por dos puntos de intersección no pasa por el punto $(0, 1, 0)$ (esto significa que no hay dos puntos que tengan la misma coordenada x cartesiana.

El resultado $R () x t)$ de $P$ y $Q$ con respecto a $Sí.$ es un polinomio homogéneo en $x$ y $t$ que tiene la siguiente propiedad: ${displaystyle R(alphatau)=0}$ con ${displaystyle (alphatau)neq (0,0)}$ si existiera $beta$ tales que ${displaystyle (alphabetatau)}$ es un cero común $P$ y $Q$ (ver Resultant § Zeros). La condición técnica anterior garantiza que $beta$ es único. La primera condición técnica anterior significa que los grados utilizados en la definición del resultado son $p$ y $q$ ; esto implica que el grado de $R$ es $pq$ (ver Resultant § Homogeneity).

Como $R$ es un polinomio homogéneo en dos indeterminados, el teorema fundamental del álgebra implica que $R$ es un producto de $pq$ polinomios lineales. Si se define la multiplicidad de un cero común de $P$ y $Q$ como el número de ocurrencias del factor correspondiente en el producto, queda demostrado el teorema de Bézout.

Para probar que la multiplicidad de intersección que se acaba de definir es igual a la definición en términos de una deformación, basta señalar que la resultante y, por lo tanto, sus factores lineales son funciones continuas de los coeficientes de $P$ y $Q$ .

Demostrar la igualdad con otras definiciones de multiplicidades de intersección se basa en los aspectos técnicos de estas definiciones y, por lo tanto, está fuera del alcance de este artículo.

Uso de U-resultante

A principios del siglo XX, Francis Sowerby Macaulay introdujo la resultante multivariada (también conocida como resultante de Macaulay) de $n$ polinomios homogéneos en $n$ indeterminados, que es la generalización de la resultante habitual de dos polinomios. La resultante de Macaulay es una función polinomial de los coeficientes de $n$ polinomios homogéneos que es cero si y solo los polinomios tienen un no trivial (es decir, algún componente es distinto de cero) cero común en un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.

El $U$ -resultant es una instancia particular del resultado de Macaulay, introducido también por Macaulay. Dado $n$ polinomios homogéneos $f_{1},ldotsf_{n}$ dentro $n + 1$ indeterminados ${displaystyle x_{0},ldotsx_{n},}$ el $U$ -resultant es el resultado de ${displaystyle f_{1},ldotsf_{n},}$ y ${displaystyle U_{0}x_{0}+cdots +U_{n}x_{n},}$ donde los coeficientes ${displaystyle U_{0},ldotsU_{n}}$ son indeterminados auxiliares. El $U$ -resultant es un polinomio homogéneo en ${displaystyle U_{0},ldotsU_{n},}$ cuyo grado es el producto de los grados ${displaystyle f_{i}.}$

Aunque un polinomio multivariable es generalmente irreducible, el $U$ - se puede factorizar en lineal (en el $U_{i}$ ) polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los ${displaystyle f_{i}.}$ Estos factores lineales corresponden a los ceros comunes de los $f_{i}$ de la siguiente manera: a cada uno común cero ${displaystyle (alpha _{0},ldotsalpha _{n})}$ corresponde a un factor lineal ${displaystyle (alpha _{0}U_{0}+cdots +alpha _{n}U_{n}),}$ y al revés.

Esto demuestra el teorema de Bézout, si la multiplicidad de un cero común se define como la multiplicidad del factor lineal correspondiente del $U$ -resultante. En cuanto a la prueba anterior, la igualdad de esta multiplicidad con la definición por deformación resulta de la continuidad de la $U$ -resultante como función de los coeficientes de los ${displaystyle f_{i}.}$

Esta prueba del teorema de Bézout parece la prueba más antigua que satisface los criterios modernos de rigor.

Usando el grado de un ideal

El teorema de Bézout puede demostrarse mediante recurrencia en el número de polinomios usando el siguiente teorema.

Vamos $V$ ser un conjunto algebraico proyecto de dimensión $delta$ y grado $d_{1}$ , y $H$ ser una hipersuperficie (definida por un solo polinomio) de grado $d_{2}$ , que no contiene ningún componente irreducible $V$ ; bajo estas hipótesis, la intersección de $V$ y $H$ tiene dimensión $delta -1$ y grado $d_{1}d_{2}.$

Para ver una prueba (bocetada) usando series de Hilbert, consulte Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert § Grado de una variedad proyectiva y el teorema de Bézout.

Además de permitir una demostración conceptualmente simple del teorema de Bézout, este teorema es fundamental para la teoría de la intersección, ya que esta teoría se dedica esencialmente al estudio de las multiplicidades de intersección cuando las hipótesis del teorema anterior no se aplican.

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