El sexto problema de Hilbert

El sexto problema de Hilbert es axiomatizar aquellas ramas de la física en las que prevalecen las matemáticas. Aparece en la lista ampliamente citada de problemas matemáticos de Hilbert que presentó en el año 1900. En su traducción común al inglés, la declaración explícita dice:

6. Tratamiento matemático de los Axiomas de la Física. Las investigaciones sobre las bases de la geometría sugieren el problema: Para tratar de la misma manera, por medio de axiomas, aquellas ciencias físicas en las que las matemáticas ya hoy juegan una parte importante; en el primer rango son la teoría de las probabilidades y la mecánica.

Hilbert dio una explicación más detallada de este problema y sus posibles formas específicas:

"En cuanto a los axiomas de la teoría de las probabilidades, me parece deseable que su investigación lógica sea acompañada por un desarrollo riguroso y satisfactorio del método de valores medios en la física matemática, y en particular en la teoría cinética de los gases.... El trabajo de Boltzmann sobre los principios de la mecánica sugiere el problema de desarrollar matemáticamente los procesos limitantes, allí meramente indicados, que conducen desde el punto de vista atomista a las leyes del movimiento de continua".

Historia

El propio David Hilbert dedicó gran parte de su investigación al sexto problema; en particular, trabajó en aquellos campos de la física que surgieron después de plantear el problema.

En la década de 1910, la mecánica celeste evolucionó hacia la relatividad general. Hilbert y Emmy Noether mantuvieron extensa correspondencia con Albert Einstein sobre la formulación de la teoría.

En la década de 1920, la mecánica de los sistemas microscópicos evolucionó hacia la mecánica cuántica. Hilbert, con la ayuda de John von Neumann, L. Nordheim y E. P. Wigner, trabajó sobre las bases axiomáticas de la mecánica cuántica (ver Espacio de Hilbert). Al mismo tiempo, pero de forma independiente, Dirac formuló la mecánica cuántica de una manera cercana a un sistema axiomático, al igual que Hermann Weyl con la ayuda de Erwin Schrödinger.

En la década de 1930, Andrey Kolmogorov puso la teoría de la probabilidad sobre una base axiomática, utilizando la teoría de la medida.

Desde la década de 1960, siguiendo el trabajo de Arthur Wightman y Rudolf Haag, la teoría cuántica de campos moderna también puede considerarse cercana a una descripción axiomática.

En los años 1990-2000, el problema de "los procesos limitantes, allí simplemente indicados, que conducen desde la visión atomista a las leyes del movimiento de los continuos" Fue abordado por muchos grupos de matemáticos. Laure Saint-Raymond, Marshall Slemrod, Alexander N. Gorban e Ilya Karlin resumen los principales resultados recientes.

Estado

El sexto problema de Hilbert fue una propuesta para expandir el método axiomático fuera de las disciplinas matemáticas existentes, a la física y más allá. Esta expansión requiere el desarrollo de la semántica de la física con el análisis formal de la noción de realidad física que se debe realizar. Dos teorías fundamentales capturan la mayoría de los fenómenos fundamentales de la física:

• Teoría de campo cuántico, que proporciona el marco matemático para el Modelo Estándar;
• Relatividad general, que describe el tiempo espacial y la gravedad a escala macroscópica.

Hilbert consideraba la relatividad general como una parte esencial de los fundamentos de la física. Sin embargo, la teoría cuántica de campos no es lógicamente consistente con la relatividad general, lo que indica la necesidad de una teoría aún desconocida de la gravedad cuántica, donde se espera que la semántica de la física desempeñe un papel central. El sexto problema de Hilbert permanece así abierto. Sin embargo, en los últimos años ha fomentado la investigación sobre los fundamentos de la física con especial énfasis en el papel de la lógica y la precisión del lenguaje, lo que ha llevado a algunos resultados interesantes, a saber. una realización directa del principio de incertidumbre a partir de la definición de Cauchy de "derivada"; y el desmoronamiento de un obstáculo semántico en el camino de cualquier teoría de la gravedad cuántica desde la perspectiva axiomática, desmoronamiento de una tautología lógica en las pruebas cuánticas del principio de equivalencia y de la indemostrabilidad formal de la primera ecuación de Maxwell.