El séptimo problema de Hilbert

El séptimo problema de Hilbert es uno de la lista de problemas matemáticos abiertos de David Hilbert planteado en 1900. Se trata de la irracionalidad y la trascendencia de ciertos números (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen).

Declaración del problema

Se formulan dos preguntas equivalentes específicas:

1. En un triángulo isosceles, si la relación del ángulo base al ángulo del vértice es algebraica pero no racional, es entonces la relación entre base y lado siempre trascendental?
2. I ab{displaystyle a^{b} siempre trascendental, para algebraico a∉{}0,1}{displaystyle anot in {0,1} y algebraica irracional b{displaystyle b}?

Solución

La pregunta (en la segunda forma) fue contestada en la afirmación de Aleksandr Gelfond en 1934, y refinada por Theodor Schneider en 1935. Este resultado se conoce como teorema de Gelfond o teorema de Gelfond-Schneider. (La restricción a irracional b es importante, ya que es fácil ver que ab{displaystyle a^{b} es algebraico para algebraico a y racionales b.)

Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso

bIn⁡ ⁡ α α +In⁡ ⁡ β β =0{beta}=0}

de la forma lineal general en logaritmos que fue estudiada por Gelfond y luego resuelta por Alan Baker. Se llama conjetura de Gelfond o teorema de Baker. Baker recibió una medalla Fields en 1970 por este logro.