El quinto problema de Hilbert

El quinto problema de Hilbert es el quinto problema matemático de la lista de problemas publicada en 1900 por el matemático David Hilbert, y se refiere a la caracterización de los grupos de Lie.

La teoría de los grupos de Lie describe la simetría continua en matemáticas; su importancia allí y en la física teórica (por ejemplo, la teoría de los quarks) creció constantemente en el siglo XX. En términos generales, la teoría de grupos de Lie es el terreno común de la teoría de grupos y la teoría de las variedades topológicas. La pregunta que hizo Hilbert fue aguda al precisar esto: ¿hay alguna diferencia si se impone una restricción para suavizar las variedades?

La respuesta esperada era negativa (los grupos clásicos, los ejemplos más centrales en la teoría de grupos de Lie, son variedades suaves). Esto finalmente se confirmó a principios de la década de 1950. Dado que la noción precisa de "múltiple" no estaba disponible para Hilbert, hay espacio para cierto debate sobre la formulación del problema en el lenguaje matemático contemporáneo.

Formulación del problema

Una formulación moderna del problema (en su interpretación más simple) es la siguiente:

Vamos G{displaystyle G. ser un grupo topológico que también es un conjunto topológico (es decir, localmente homeomorfo a un espacio euclidiano). ¿Sigue eso? G{displaystyle G. debe ser isomorfo (como grupo topológico) a un grupo Lie?

Una formulación equivalente de este problema más cercana a la de Hilbert, en términos de leyes de composición, es la siguiente:

Vamos V⊆ ⊆ U{displaystyle Vsubseteq U} ser subconjuntos abiertos del espacio Euclideano, tal que hay una función continua f:V× × V→ → U{displaystyle f:Vtimes Vto U} satisfaciendo el axioma grupal de la asociatividad. ¿Sigue eso? f{displaystyle f} debe ser suave (hasta la reparametrización continua)?

De esta forma, el problema fue resuelto por Montgomery–Zippin y Gleason.

Una interpretación más fuerte (ver G{displaystyle G. como un grupo de transformación en lugar de un grupo abstracto) resulta en la conjetura de Hilbert-Smith acerca de las acciones de grupo en los manifolds, que en plena generalidad todavía está abierta. Es conocido clásicamente por las acciones en los manifolds de 2 dimensiones y ha sido resuelto recientemente por tres dimensiones por John Pardon.

Solución

El primer gran resultado fue el de John von Neumann en 1933, para grupos compactos. El caso del grupo abeliano localmente compacto fue resuelto en 1934 por Lev Pontryagin. La resolución final, al menos en la interpretación de lo que Hilbert quiso decir antes, llegó con el trabajo de Andrew Gleason, Deane Montgomery y Leo Zippin en la década de 1950.

En 1953, Hidehiko Yamabe obtuvo más resultados sobre grupos topológicos que pueden no ser variedades:

Se deduce que todo grupo localmente compacto contiene un subgrupo abierto que es un límite proyectivo de los grupos de Lie, por el teorema de van Dantzig (esta última afirmación se denomina Teorema de Gleason-Yamabe en Tao (2014, Teorema 1.1.1). 17)).

No subgrupos pequeños

Una condición importante en la teoría es no hay subgrupos pequeños. Un grupo topológico G, o una parte parcial de un grupo como F anterior, se dice que no tiene subgrupos pequeños si hay un vecindario N de e que no contiene ningún subgrupo mayor que {e}. Por ejemplo, el grupo círculo satisface la condición, mientras que los enteros p-ádicos Z_p ya que el grupo aditivo no lo hace, porque N contendrá los subgrupos: p^k Z_p, para todos los grandes enteros k. Esto da una idea de cómo es la dificultad en el problema. En el caso de la conjetura de Hilbert-Smith se trata de una reducción conocida a si Z_p puede actuar fielmente en una variedad cerrada. Gleason, Montgomery y Zippin caracterizaron a los grupos de Lie entre los grupos localmente compactos, como aquellos que no tienen subgrupos pequeños.

Dimensiones infinitas

Los investigadores también han considerado el quinto problema de Hilbert sin suponer una dimensionalidad finita. Este fue el tema de la tesis doctoral de Per Enflo; su trabajo se discute en Benyamini & Lindenstrauss (2000, Capítulo 17).