El problema del ganado de Arquímedes.

El problema del ganado de Arquímedes (o el problema bovinum o problema Archimedis) es un problema en el análisis diofántico , el estudio de ecuaciones polinomiales con soluciones enteras. El problema, atribuido a Arquímedes, consiste en calcular el número de cabezas de ganado en un rebaño del dios Sol a partir de un conjunto determinado de restricciones. El problema fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que contenía un poema de cuarenta y cuatro líneas, en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel, Alemania, en 1773.

El problema permaneció sin resolver durante varios años, debido en parte a la dificultad de calcular los enormes números que implica la solución. La solución general fue encontrada en 1880 por Carl Ernst August Amthor [de] (1845-1916), director del Gymnasium zum Heiligen Kreuz (Gymnasio de la Santa Cruz) en Dresde, Alemania. Usando tablas logarítmicas, calculó los primeros dígitos de la solución más pequeña, mostrando que se trata de 7.76×10²⁰⁶⁵⁴⁴ ganado, mucho más de lo que cabría en el universo observable. La forma decimal es demasiado larga para que los humanos calculen exactamente, pero los paquetes aritméticos de múltiples apreciaciones en las computadoras pueden escribirlo explícitamente.

Historia

En 1769, Gotthold Ephraim Lessing fue nombrado bibliotecario de la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel, Alemania, que contenía muchos manuscritos griegos y latinos. Unos años más tarde, Lessing publicó traducciones de algunos de los manuscritos con comentarios. Entre ellos se encontraba un poema griego de cuarenta y cuatro versos que contenía un problema aritmético que pedía al lector encontrar el número de cabezas de ganado en el rebaño del dios del sol. En la actualidad, generalmente se le atribuye a Arquímedes.

Problema

El problema, traducido al inglés por Ivor Thomas, dice:

Si eres diligente y sabio, oh extraño, computa el número de ganado del Sol, que una vez en un tiempo pastó en los campos de la isla Thrinacian de Sicilia, dividido en cuatro manadas de diferentes colores, una leche blanca, otra un negro brillante, un tercer amarillo y el último dappled. En cada manada había toros, poderosos en número según estas proporciones: Entender, extraño, que los toros blancos eran iguales a medio y un tercio de los negros junto con todo el amarillo, mientras que los negros eran iguales a la cuarta parte del dappled y una quinta, junto con, una vez más, todo el amarillo. Observe además que los toros restantes, los zafrados, eran iguales a una sexta parte del blanco y una séptima, junto con todo el amarillo. Estas eran las proporciones de las vacas: Los blancos eran precisamente iguales a la tercera parte y una cuarta parte de toda la manada de los negros; mientras que los negros eran iguales a la cuarta parte una vez más de los descamados y con ella una quinta parte, cuando todos, incluyendo los toros, iban a pastar juntos. Ahora el dappled en cuatro partes era igual en número a una quinta parte y una sexta parte de la manada amarilla. Finalmente el amarillo era en número igual a una sexta parte y un séptimo de la manada blanca. Si usted puede decir con precisión, oh extraño, el número de ganado del Sol, dando por separado el número de toros bien alimentados y otra vez el número de hembras según cada color, usted no sería llamado sin matar ni ignorante de números, pero aún no será contado entre los sabios.

Pero venga, entienda también todas estas condiciones con respecto al ganado del Sol. Cuando los toros blancos mezclaban su número con los negros, se mantenían firmes, iguales en profundidad y amplitud, y las llanuras de Thrinacia, que se extendían lejos en todos los sentidos, estaban llenas de su multitud. Una vez más, cuando los toros amarillos y dappled fueron reunidos en una manada se pusieron de tal manera que su número, comenzando por uno, creció lentamente más grande hasta que completó una figura triangular, no habiendo toros de otros colores en medio de ellos ni falta ninguno de ellos. Si eres capaz, oh forastero, de descubrir todas estas cosas y reunirlas en tu mente, dando todas las relaciones, partirás coronado de gloria y sabiendo que has sido juzgado perfecto en esta especie de sabiduría.

Solución

La primera parte del problema se puede resolver fácilmente estableciendo un sistema de ecuaciones. Si el número de toros blancos, negros, dappled y amarillos está escrito como ${\displaystyle W,B,D,}$ y ${\displaystyle Sí.$, y el número de vacas blancas, negras, dappled y amarillas se escriben como ${\displaystyle w,b,d,}$ y ${\displaystyle y}$, el problema es simplemente encontrar una solución

${\displaystyle {\begin{aligned}W limit={\frac Y... {9}{20}D+Y,\\D {13}{42} ¿Qué?$

que es un sistema de siete ecuaciones con ocho desconocidos. Es indeterminado y tiene infinitamente muchas soluciones. Los números menos positivos que satisfacen las siete ecuaciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}B plural=7\,460\,514=4657\times 1602,\\w=10\,366\,482=4657\times 2226,\D recur=7\,358\,060=4657\times 1580,\\\\\\,149\,387=4657\times 891,\bign=4\,893\,246,\w=7\,206\,360\$

que es un total de 50389< /span>082 ganado, y las otras soluciones son múltiplos integrales de estas. Tenga en cuenta que dado el número primo p = 4657, entonces los primeros cuatro números son múltiplos de p, y tanto p como p+1 aparecerá repetidamente a continuación.

La segunda parte del problema afirma que ${\displaystyle W+B.$ es un número cuadrado, y ${\displaystyle Y+D}$ es un número triangular. La solución general a esta parte del problema fue encontrada por primera vez por A. Amthor en 1880. La siguiente versión fue descrita por H. W. Lenstra, basada en la ecuación de Pell: la solución dada anteriormente para la primera parte del problema debe ser multiplicada por

${\displaystyle n={\frac {{4658j}-w^{-4658j}{2}{(4657)(79072)}}}$

Donde j es cualquier entero positivo y

${\displaystyle w=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}+84\,129\,507\,858\,393\,258{\sqrt {7766}}}$

Equivalentemente, cuadrillando w resultados en

${\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766}}}}$

Donde ${\displaystyle (u,v)}$ es la solución fundamental de la ecuación Pell

${\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.}$

El tamaño de la manada más pequeña que podría satisfacer las partes primera y segunda del problema es entonces dado por j = 1 y es sobre ${\displaystyle 7.76\times 10^{206\,544}$ (primer resuelto por Amthor). Las computadoras modernas pueden imprimir fácilmente todos los dígitos de la respuesta. Esto fue hecho por primera vez en la Universidad de Waterloo, en 1965 por Hugh C. Williams, R. A. German, y Charles Robert Zarnke. Usaron una combinación de las computadoras IBM 7040 e IBM 1620.

Ecuación de Pell

Las restricciones de la segunda parte del problema son sencillas y se puede dar fácilmente la ecuación de Pell real que debe resolverse. Primero, si uno pregunta que B + W debe ser un cuadrado, o usando los valores dados anteriormente,

${\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k,}$

por lo tanto, se debe establecer k = (3)(11)(29)(4657)q² para algún número entero q. Eso resuelve la primera condición. Para el segundo, requiere que D + Y sea un número triangular:

${\displaystyle D+Y={\frac {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Solving for t,

${\displaystyle t={\frac {-1\pm {1+8(D+Y)} {2}}}$

Sustituyendo el valor de D + Y y k y encontrando un valor de q² tal que el discriminante de esta cuadrática sea un cuadrado perfecto p² implica resolver la ecuación de Pell

${\displaystyle p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.}$

El enfoque de Amthor discutido en la sección anterior era esencialmente para encontrar el más pequeño ${\displaystyle v}$ tal que es totalmente divisible por ${\displaystyle 2\times 4657}$. La solución fundamental de esta ecuación tiene más de 100.000 dígitos decimales.