El principio de D'Alembert

principio de D'Alembert, también conocido como principio de Lagrange-d'Alembert, es una declaración de las leyes clásicas fundamentales de movimiento. Lleva el nombre de su descubridor, el físico y matemático francés Jean le Rond d'Alembert, y del matemático ítalo-francés Joseph Louis Lagrange. El principio de D'Alembert generaliza el principio del trabajo virtual de sistemas estáticos a dinámicos mediante la introducción de fuerzas de inercia que, cuando se suman a las fuerzas aplicadas en un sistema, dan como resultado equilibrio dinámico.

El principio no se aplica a desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento, y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. El principio de D'Alembert es más general que el principio de Hamilton, ya que no se limita a restricciones holonómicas que dependen sólo de las coordenadas y el tiempo, pero no de las velocidades.

Declaración del principio

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas masivas y las derivadas temporales de los momentos del propio sistema proyectados sobre cualquier desplazamiento virtual consistente con las limitaciones del sistema es cero. Así, en notación matemática, el principio de d'Alembert se escribe de la siguiente manera,

$${displaystyle sum _{i}(mathbf {F} ¿Qué? {fnMitbf} }_{i}-{dot {m}_{i}mathbf {v} _{i})cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$$

donde:

• ${displaystyle i}$ es un entero usado para indicar (a través del subscript) una variable correspondiente a una partícula en particular en el sistema,
• ${displaystyle mathbf {F} _{i}$ es la fuerza total aplicada (excluyendo las fuerzas de restricción) ${displaystyle i}$- la partícula,
• ${displaystyle #$ es la masa de la ${displaystyle i}$- la partícula,
• ${displaystyle mathbf {v} _{i}$ es la velocidad de la ${displaystyle i}$- la partícula,
• ${displaystyle delta mathbf {r} _{i}$ es el desplazamiento virtual del ${displaystyle i}$-a partícula, consistente con las limitaciones.

La notación de puntos de Newton se utiliza para representar el derivado con respecto al tiempo. La ecuación anterior se llama a menudo principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma de variación por Joseph Louis Lagrange. La contribución de D'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción desaparecen. Es decir, las fuerzas generalizadas ${displaystyle mathbf {Q} _{j}$ no debe incluir fuerzas restrictivas. Es equivalente al principio algo más engorroso de Gauss de menor restricción.

Derivaciones

Caso general con masa variable

La declaración general del principio de D'Alembert menciona "los derivados del tiempo del momenta del sistema". Por la segunda ley de Newton, la primera vez derivada del impulso es la fuerza. El impulso del ${displaystyle i}$-la masa es el producto de su masa y velocidad:

$${displaystyle mathbf {p} ¿Qué? {fnK}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif} }_{i}={dot {m}_{i}mathbf {v} ¿Qué? {fnMitbf} - Sí.$$

En muchas aplicaciones, las masas son constantes y esta ecuación se reduce a

$${fnMicrosoft Sans Serif} }_{i}=m_{i}{dot {fnMitbf} - Sí.$$

Sin embargo, algunas aplicaciones implican el cambio de masas (por ejemplo, las cadenas que se están enrollando o que no están inscritas) y en esos casos ambos términos ${displaystyle { dot {}_{i}i} {fnK}$ y ${displaystyle m_{i}{dot {mathbf {v} }$ debe permanecer presente, dando

$${displaystyle sum _{i}(mathbf {F} ¿Qué? ¿Qué? {m}_{i}mathbf {v} _{i})cdot delta mathbf {r} _{i}=0.}$$

Caso especial con masa constante

Considere la ley de Newton para un sistema de partículas de masa constante, ${displaystyle i}$. La fuerza total en cada partícula es

$${displaystyle mathbf {F} _{i}=m_{i}mathbf {a} _{i}$$

• ${displaystyle mathbf {F} _{i}{(T)}$ son las fuerzas totales que actúan en las partículas del sistema,
• ${displaystyle ¿Qué?$ son las fuerzas inerciales que resultan de las fuerzas totales.

Mover las fuerzas de inercia hacia la izquierda da una expresión que puede considerarse que representa un equilibrio cuasiestático, pero que en realidad es solo una pequeña manipulación algebraica de la ley de Newton:

$${displaystyle mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? {0}$$

Considerando el trabajo virtual, ${displaystyle delta W.$, hecho por las fuerzas totales e inerciales juntas a través de un desplazamiento virtual arbitrario, ${displaystyle delta mathbf {r} _{i}$, del sistema conduce a una identidad cero, ya que las fuerzas involucradas suma a cero para cada partícula.

$${displaystyle delta W=sum _{i}mathbf {F} _{i}cdot delta mathbf {r} - Sí. ¿Por qué? ¿Qué?$$

La ecuación vectorial original podría recuperarse reconociendo que la expresión de trabajo debe contener desplazamientos arbitrarios. Separación de las fuerzas totales en las fuerzas aplicadas, ${displaystyle mathbf {F} _{i}$, y fuerzas de restricción, ${displaystyle mathbf {C}$, rendimientos

$${displaystyle delta W=sum _{i}mathbf {F} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué? ♪♪Mathbf {C} _{i}cdot delta mathbf {r} - Sí. ¿Por qué? _{i}=0.}$$

Si se supone que los desplazamientos virtuales arbitrarios están en direcciones ortogonales a las fuerzas de restricción (que no suele ser el caso, por lo que esta derivación funciona sólo para casos especiales), las fuerzas de restricción no hacen ningún trabajo, ${textstyle sum _{i}mathbf {C} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$. Such displacements are said to be coherente con las limitaciones. Esto conduce a la formulación de d'Alembert's principle, que afirma que la diferencia de fuerzas aplicadas y fuerzas inerciales para un sistema dinámico no hace trabajo virtual:

$${displaystyle delta W=sum _{i}(mathbf {F} _{i}-m_{i}mathbf {a} _{i})cdot delta mathbf {r} _{i}=0.}$$

También existe un principio correspondiente para sistemas estáticos llamado principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas.

Principio de fuerzas de inercia de D'Alembert

D'Alembert demostró que se puede transformar un cuerpo rígido en aceleración en un sistema estático equivalente añadiendo la llamada "fuerza de inercia" y "par de inercia" o momento. La fuerza de inercia debe actuar a través del centro de masa y el par de inercia puede actuar en cualquier lugar. Entonces, el sistema puede analizarse exactamente como un sistema estático sometido a esta "fuerza y momento de inercia"; y las fuerzas externas. La ventaja es que en el sistema estático equivalente se pueden tomar momentos respecto de cualquier punto (no sólo el centro de masa). Esto a menudo conduce a cálculos más simples porque cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones de momento eligiendo el punto apropiado sobre el cual aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en el curso de Fundamentos de Dinámica y Cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan sobre un eslabón de un mecanismo cuando éste está en movimiento. En los libros de texto de dinámica de ingeniería, esto a veces se denomina principio de d'Alembert.

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual indica que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Así, equilibrio dinámico de un sistema de ${displaystyle n}$ cuerpos rígidos con ${displaystyle m}$ coordenadas generalizadas requiere

$${displaystyle delta W=left(Q_{1}+Q_{1}{*}right)delta q_{1}+dots +left(Q_{m}+Q_{m}^{*}right)delta q_{m}=0,}$$

${displaystyle delta q_{j}$

${displaystyle Q_{j}$

${displaystyle ¿Qué?$

${displaystyle m}$

$${displaystyle Q_{j}+Q_{j}=0,quad j=1,ldotsm,}$$

$${displaystyle {frac {}{dt}{frac} {fnMicroc} {f}}} {fn}}}} {fn}} {fnMicroc}}}}}} {fnMicroc}}}}}}} {f}}}}}} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh} {fnMicrosoft}} {f}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}f}fnMicrosoft}} {f}f}}}}}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnf}f}\f}f}\f}fnfnf}fnMicronot}f}\\\fnMicronotf}}fnfnMicronot}fnhfn\fnMicronot}fnh}f}fn {q}_{j}}-{frac} {partial T}{partial q_{j}=Q_{j},quad j=1,ldotsm.}$$

Formulación utilizando el lagrangiano

d'n#39;Alembert se puede reescribir en términos del L=T-V lagrangiano del sistema como una versión generalizada del principio de Hamilton de la siguiente manera:

$${displaystyle delta int ¿Qué? {fnMitbf},t)dt+sum _{i}int ¿Qué? {F} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$$

• ${displaystyle mathbf {r} =(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{N})}$

• ${displaystyle mathbf {F} _{i}$ son las fuerzas aplicadas

• ${displaystyle delta mathbf {r} _{i}$ es el desplazamiento virtual del ${displaystyle i}$-a partícula, consistente con las limitaciones ${displaystyle sum _{i}mathbf {C} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$
• la curva crítica satisface las limitaciones ${displaystyle sum _{i}mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} }_{i}=0}$

Con el lagrangiano

$${displaystyle L(mathbf { dot {fnh},t)=sum _{i}{i}{frac {1}{2}m_{i}{} {dot} {f} {f}}m_{i}{i} {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f} {f}}}m}m_ {f}m} {f} {f}m} {f} {f}} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}} {f} {f} {f} {f}}} {f}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} {}m}m}m}m}m} {}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} {}m}m}m} {}m}m} {}m}m}m} {}m} {} {}m}m} {} {}m}m} {fnMitbf} }_{i} {2}$$

Generalizaciones

Restricciones no lineales

Termodinámica

Una extensión del principio de d'Alembert se puede utilizar en la termodinámica. Por ejemplo, para un sistema termodinámico adiabaticamente cerrado descrito por un lagrangiano dependiendo de una sola entropía S y con masas constantes ${displaystyle #$, como

$${displaystyle L(mathbf { dot {fnh},S,t)=sum _{i}{frac {1}{2}m_{i}{} {dot} {f} {f}}m_{i}{i} {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f} {f}}}m}m_ {f}m} {f} {f}m} {f} {f}} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}} {f} {f} {f} {f}}} {f}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} {}m}m}m}m}m} {}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} {}m}m}m} {}m}m} {}m}m}m} {}m} {} {}m}m} {} {}m}m} {fnMitbf} - Sí.$$

$${displaystyle delta int ¿Qué? ¿Qué? {F} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$$

${textstyle sum _{i}mathbf {C} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$

${textstyle sum _{i}mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} }_{i}=0}$

• ${displaystyle sum _{i}mathbf {C} _{i}cdot delta mathbf {r} ¿Qué?$
• ${displaystyle sum _{i}mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} ♪♪♪♪♪♪ {S}=0.}$

Aquí. ${displaystyle T=partial V/partial S}$ es la temperatura del sistema, ${displaystyle mathbf {F} _{i}$ son las fuerzas externas, ${displaystyle mathbf {C}$ son las fuerzas disipantes internas. Resulta en las ecuaciones de equilibrio mecánico y térmico:

$${displaystyle m_{i}mathbf {a} ¿Qué? {partial V}{partial mathbf {r} ¿Qué? {C} _{i}+mathbf {F} _{i},;;i=1,...,Nqquad qquad T{dot {S}=-sum _{i}mathbf {C} {fn}cdot {cH00} - Sí.$$

Para ${displaystyle delta S={dot {S}=0}$ el principio clásico d'Alembert y las ecuaciones se recuperan.