El criterio de Eisenstein.

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Sufficient condition for polynomial irreducibility

En matemáticas, el criterio de Eisenstein da una condición suficiente para que un polinomio con coeficientes enteros sea irreducible sobre los números racionales, es decir, que no sea factorizable en el producto de polinomios no constantes con coeficientes racionales.

Este criterio no es aplicable a todos los polinomios con coeficientes enteros que son irreducibles sobre los números racionales, pero permite en ciertos casos importantes demostrar la irreducibilidad con muy poco esfuerzo. Puede aplicarse directamente o después de la transformación del polinomio original.

Este criterio lleva el nombre de Gotthold Eisenstein. A principios del siglo XX, también se lo conocía como teorema de Schönemann-Eisenstein porque Theodor Schönemann fue el primero en publicarlo.

Criterio

Supongamos que tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

{displaystyle Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}.}

Si existe un número primo $p$ tal que se apliquen las siguientes tres condiciones:

$p$ divide cada uno $a i$ para $0 \leq i . n$ ,
$p$ ¿Sí? no dividir $a n$ , y
$p 2$ ¿Sí? no dividir $a 0$ ,

entonces $Q$ es irreducible sobre los números racionales. También será irreducible sobre los números enteros, a menos que todos sus coeficientes tengan un factor no trivial en común (en cuyo caso $Q$ como polinomio entero tendrá algún número primo, necesariamente distinto de $p$ , como factor irreducible). Esta última posibilidad se puede evitar haciendo primero que $Q$ sea primitivo, dividiéndolo por el máximo común divisor de sus coeficientes (el contenido de $Q$ ). Esta división no cambia si $Q$ es reducible o no sobre los números racionales (consulte Factorización de contenido de parte primitiva para obtener más detalles), y no invalidará las hipótesis del criterio para $p$ (por el contrario, podría hacer que el criterio sea válido para algún primo, incluso si no lo hizo antes de la división).

Ejemplos

Did you mean:

Eisenstein 's criterion may apply either directly (o.r., using the original polynomial) or after transformation of the original polynomial.

Directo (sin transformación)

Considere el polinomio $Q(x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10$ . Para que el criterio de Eisenstein se aplique a un número primo $p$ debe dividir ambos coeficientes no principales $15$ y $10$ , lo que significa solo $p = 5$ podría funcionar, y de hecho lo hace, ya que $5$ no divide el coeficiente principal $3$ y su cuadrado $25$ no divide el coeficiente constante $10$ . Por lo tanto, se puede concluir que $Q$ es irreducible sobre $Q$ (y, dado que es primitivo, también sobre $Z$ ). Tenga en cuenta que, dado que $Q$ es de grado 4, esta conclusión no podría haberse establecido comprobando únicamente que $Q$ no tiene raíces racionales (lo que elimina posibles factores de grado 1), ya que también podría ser posible una descomposición en dos factores cuadráticos.

Indirecto (después de la transformación)

A menudo el criterio de Eisenstein no se aplica a ningún número primo. Sin embargo, puede ser que se aplique (para algún número primo) al polinomio obtenido después de la sustitución (para algún número entero $a$ ) de $x + a$ para $x. El hecho de que el polinomio después de la sustitución sea irreducible permite concluir que el polinomio original también lo es. Este procedimiento se conoce como aplicar un cambio .$

Por ejemplo, considere $H = x 2 + x + 2$ , en el que el coeficiente 1 de $x$ no es divisible por ningún primo, el criterio de Eisenstein no se aplica a $H$ . Pero si se sustituye $x + 3$ por $x$ en $H$ , se obtiene el polinomio $x 2 + 7 x + 14$ , que satisface el criterio de Eisenstein para el número primo $7$ . Dado que la sustitución es un automorfismo del anillo $Q [x]$ , el hecho de que obtengamos un polinomio irreducible después de la sustitución implica que originalmente teníamos un polinomio irreducible. En este ejemplo particular, habría sido más sencillo argumentar que $H$ (siendo mónico de grado 2) sólo podría ser reducible si tuviera una raíz entera, lo cual obviamente no es así; sin embargo, el principio general de intentar sustituciones para que se aplique el criterio de Eisenstein es una forma útil de ampliar su alcance.

Otra posibilidad de transformar un polinomio para satisfacer el criterio, que puede combinarse con la aplicación de un desplazamiento, es invertir el orden de sus coeficientes, siempre que su término constante sea distinto de cero (sin el cual sería divisible por $x$ de todos modos). Esto es así porque dichos polinomios son reducibles en $R [x]$ si y sólo si son reducibles en $R [x, x -1]$ (para cualquier dominio integral $R$ ), y en ese anillo la sustitución de $x -1$ para $x$ invierte el orden de los coeficientes (de manera simétrica con respecto al coeficiente constante, pero un desplazamiento posterior en el exponente equivale a una multiplicación por una unidad). Como ejemplo $2 x 5 - 4 x 2 - 3$ satisface el criterio de $p = 2$ después de invertir sus coeficientes y (al ser primitivo) es, por lo tanto, irreducible en $Z [x]$ .

Polinomios ciclotómicos

Una clase importante de polinomios cuya irreductibilidad puede establecerse utilizando el criterio de Eisenstein es la de los polinomios ciclotómicos para números primos $p. Tal polinomio se obtiene dividiendo el polinomio x p - 1 por el factor lineal x - 1, correspondiente a su raíz obvia 1 (que es su única raíz racional si p > 2):$

{frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+cdots +x+1.

Aquí, como en el ejemplo anterior de $H$ , los coeficientes $1$ impedir que el criterio de Eisenstein se aplique directamente. Sin embargo, el polinomio satisfará el criterio de $p$ después de la sustitución de $x + 1$ para $x$ : esto da

{frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=x^{p-1}+{binom {p}{p-1}}x^{p-2}+cdots +{binom {p}{2}}x+{binom {p}{1}},

todos cuyos coeficientes no principales son divisibles por $p$ por las propiedades de los coeficientes binomiales, y cuyo coeficiente constante es igual a $p$ y, por lo tanto, no es divisible por $p 2$ . Una forma alternativa de llegar a esta conclusión es utilizar la identidad $(a + b) p</i = a p + b p$ que es válido en la característica $p$ (y que se basa en las mismas propiedades de los coeficientes binomiales y da lugar al endomorfismo de Frobenius), para calcular el módulo de reducción $p$ del cociente de polinomios:

${frac {(x+1)^{p}-1}{x}}equiv {frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}={frac {x^{p}}{x}}=x^{p-1}{pmod {p}},$

lo que significa que los coeficientes no principales del cociente son todos divisibles por $p$ ; la verificación restante de que el término constante del cociente es $p$ se puede realizar sustituyendo $1$ (en lugar de $x + 1$ ) para $x$ en la forma expandida $x p -1 +... + x + 1$ .

Historia

Did you mean:
Theodor Schönemann was the first to publish a version of the criterion, in 1846 in Creole 's Journal, which reads in translation
Que $() x - a) n + pF () x)$ será irreducible al módulo $p 2$ cuando $F () x)$ al módulo $p$ no contiene un factor $x - a$ .
Esta formulación ya incorpora un cambio a $a$ en lugar de $0$ ; la condición en $F (x)$ significa que $F (a)$ no es divisible por $p$ , por lo que $pF (a)$ es divisible por $p$ pero no por $p 2$ . Como se indicó, no es del todo correcto ya que no hace suposiciones sobre el grado del polinomio $F (x)$ , de modo que el polinomio considerado no necesita ser del grado $n$ que sugiere su expresión; el ejemplo $x 2 + p (x 3 + 1) \equiv (x 2 + p)(px + 1) mod p 2$ , muestra que la conclusión no es válida sin dicha hipótesis. Suponiendo que el grado de $F (x)$ no excede $n$ , el criterio es correcto sin embargo y algo más fuerte que la formulación dada anteriormente, ya que si $(x - a) n + pF (x)$ es módulo irreducible $p 2$ , ciertamente no puede descomponerse en $Z [x]$ en factores no constantes.
Posteriormente, Eisenstein publicó una versión algo diferente en 1850, también en el Crelle's Journal. Esta versión se lee en traducción.
Cuando en un polinomio $F () x)$ dentro $x$ de grado arbitrario el coeficiente del término más alto es $1$ , y todos los siguientes coeficientes son números enteros (reales, complejos), en los cuales un cierto (real resp. complejo) número primo $m$ divide, y cuando el último coeficiente es igual a $εm$ , donde $ε$ denota un número no divisible por $m$ : entonces es imposible traer $F () x)$ en la forma
$left(x^{mu }+a_{1}x^{mu -1}+cdots +a_{mu }right)left(x^{nu }+b_{1}x^{nu -1}+cdots +b_{nu }right)$
Donde $μ, . \geq 1$ , $μ + . = deg(F () x)$ , y todo $a$ y $b$ son entero (Resp. real complejo) números; la ecuación $F () x) = 0$ es irreducible.
Aquí "números reales enteros" son números enteros ordinarios y "números enteros complejos" son enteros gaussianos; uno debería interpretar de manera similar los "números primos reales y complejos". La aplicación para la que Eisenstein desarrolló su criterio fue establecer la irreductibilidad de ciertos polinomios con coeficientes en los enteros gaussianos que surgen en el estudio de la división de la lemniscata en trozos de igual longitud de arco.
Curiosamente, Schönemann y Eisenstein, una vez formulados sus respectivos criterios de irreductibilidad, ambos los aplican inmediatamente para dar una prueba elemental de la irreductibilidad de los polinomios ciclotómicos para números primos, resultado que Gauss había obtenido en sus Disquisitiones Arithmeticae. con una prueba mucho más complicada. De hecho, Eisenstein añade en una nota a pie de página que la única prueba de esta irreductibilidad que conocía, aparte de la de Gauss, es la dada por Kronecker en 1845. Esto demuestra que desconocía las dos pruebas diferentes de esta afirmación que Schönemann había presentado. dado en su artículo de 1846, donde la segunda prueba se basó en el criterio antes mencionado. Esto es tanto más sorprendente cuanto que, dos páginas más adelante, Eisenstein se refiere en realidad (para una cuestión diferente) a la primera parte del artículo de Schönemann. En una nota ("Notiz") que apareció en el número siguiente del Journal, Schönemann se lo señala a Eisenstein e indica que el método de este último no es esencialmente diferente del que utilizó en la segunda prueba.
Prueba básica
Para probar la validez del criterio, supongamos que $Q$ satisface el criterio para el número primo $p$ , pero que, no obstante, es reducible en $Q [x]$ , del cual queremos obtener una contradicción. De Gauss' lema se deduce que $Q$ es reducible en $Z [x]$ también, y de hecho se puede escribir como el producto $Q = GH$ de dos polinomios no constantes $G, H$ (en caso $Q$ no es primitivo, se aplica el lema al polinomio primitivo $Q / c$ (donde el número entero $c$ es el contenido de $Q$ ) para obtener una descomposición y multiplica $c$ en uno de los factores para obtener una descomposición de $Q$ ). Ahora reduzca $Q = GH$ módulo $p$ para obtener una descomposición en $(Z / p Z)[x]$ . Pero por hipótesis esta reducción para $Q$ deja su término principal, de la forma $ax n$ para una constante distinta de cero $a \in Z / p Z$ , como único término distinto de cero. Pero entonces necesariamente las reducciones módulo $p$ de $G$ y $H$ también hacen que todos los términos no principales desaparezcan (y no pueden hacer que sus términos principales desaparezcan), ya que no otras descomposiciones de $ax n$ son posibles en $(Z / p Z)[x]$ , que es un dominio de factorización único. En particular, los términos constantes de $G$ y $H$ desaparecen en la reducción, por lo que son divisibles por $p$ , pero luego el término constante de $Q$ , que es su producto, es divisible por $p 2$ , contrariamente a la hipótesis, y se tiene una contradicción.
Una segunda prueba del criterio de Eisenstein también comienza con la suposición de que el polinomio $Q (x)$ es reducible. Se demuestra que este supuesto entraña una contradicción.
La suposición de que
${displaystyle Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}}$
es reducible significa que hay polinomios
${displaystyle {begin{aligned}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+cdots +c_{0}&&rgeq 1\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+cdots +d_{0}&&sgeq 1end{aligned}}}$
Tal que
${displaystyle Q(x)=G(x)cdot H(x),qquad n=r+s.}$
El coeficiente $a 0$ del polinomio $Q (x)$ se puede dividir por el primo $p$ pero no por p². Dado que $a 0 = c 0 d 0$ , es posible dividir $c 0$ o $d 0$ por $p$ , pero no ambos. Se puede proceder sin pérdida de generalidad
con un coeficiente $c 0$ que puede dividirse $p$ y
con un coeficiente $d 0$ que no puede dividirse $p$ .
Por supuesto, $p$ no divide $a_{n}$ . Porque... $a n = c r d s$ , ninguno $c r$ ni $d s$ puede dividirse $p$ . Así, si $a_r$ es $r$ - el coeficiente del polinomio reducible $Q$ entonces (posiblemente con ${displaystyle d_{t}=0}$ en caso $s}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t■s{displaystyle t títulos}s}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0cd97ee56110b662f56276db865c6c72d8dd9c" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.029ex; height:2.009ex;"/>$ )
${displaystyle a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+cdots +c_{0}d_{r}}$
donde ${displaystyle c_{r}d_{0}}$ no puede dividirse $p$ , porque ninguno $d_0$ ni $c_{r}$ puede dividirse $p$ .
Demostraremos que ${displaystyle c_{0},c_{1},ldotsc_{r-1}}$ son todos divisibles por $p$ . As $a_r$ es también divisible por $p$ (por hipótesis del criterio), esto implica que
${displaystyle c_{r}d_{0}=a_{r}-left(c_{r-1}d_{1}+cdots +c_{0}d_{r}right)}$
es divisible por $p$ , una contradicción que demuestra el criterio.
Es posible dividir ${displaystyle c_{0}d_{r}}$ por $p$ , porque $c_{0}$ puede dividirse $p$ .
Según el supuesto inicial, es posible dividir el coeficiente $a 1$ del polinomio $Q (x)$ por $p$ . Desde
$a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}$
y desde $d 0$ no es un múltiple $p$ debe ser posible dividir $c 1$ por $p$ . Analógicamente, por inducción, $c_{i}$ es un múltiple de $p$ para todos $<math alttext="{displaystyle ii.r{displaystyle i interpretador} <img alt="i$ , que termina la prueba.
Explicación avanzada
Aplicando la teoría del polígono de Newton para el campo de números p-ádicos, para un polinomio de Eisenstein, se supone que debemos tomar la envolvente convexa inferior de los puntos
$(0, 1), (1, v 1), (2, v 2),... n, 1, v n -1), (n, 0)$ ,
donde $v i$ es la valoración p-ádica de $a i$ (es decir, la potencia más alta de $p$ dividiéndolo). Ahora los datos que nos dan sobre $v i$ para $0 < i < n$ , es decir, que son al menos uno, es justo lo que necesitamos para concluir que la envolvente convexa inferior es exactamente el segmento de línea única de $(0, 1)$ a $(n, 0)$ , siendo la pendiente $-1/ n$ .
Esto nos dice que cada raíz de $Q$ tiene $p$ -valoración ádica $1/ n$ y de ahí que $Q$ es irreducible sobre el campo $p$ -adic (ya que, por ejemplo, ningún producto de cualquier subconjunto propio de las raíces tiene valoración entera); y a fortiori sobre el campo de números racionales.
Este argumento es mucho más complicado que el argumento directo mediante reducción mod $p$ . Sin embargo, permite ver, en términos de teoría algebraica de números, con qué frecuencia podría aplicarse el criterio de Eisenstein, después de algún cambio de variable; y así limitar severamente las posibles elecciones de $p$ con respecto a las cuales el polinomio podría tener una traducción de Eisenstein (es decir, convertirse en Eisenstein después un cambio aditivo de variables como en el caso del $p$ -ésimo polinomio ciclotómico).
De hecho, sólo los primos $p$ se ramifican en la extensión de $Q$ generado por una raíz de $Q$ tiene alguna posibilidad de funcionar. Estos se pueden encontrar en términos del discriminante de $Q$ . Por ejemplo, en el caso $x 2 + x + 2$ dado anteriormente, el discriminante es $-7$ de modo que $7$ es el único primo que tiene posibilidades de satisfacer el criterio. Módulo $7$ , se convierte en $(x - 3) 2$ — una raíz repetida es inevitable, ya que el discriminante es $0 mod 7$ . Por lo tanto, el cambio de variable es en realidad algo predecible.
Nuevamente, para el polinomio ciclotómico, se convierte en
$() x -1) p -1 mod p$ ;
Did you mean:

the discriminant can be shown to be (up to sign) p^p−2, by linear algebra methods.

Más precisamente, sólo los primos totalmente ramificados tienen posibilidades de ser primos de Eisenstein para el polinomio. (En campos cuadráticos, la ramificación es siempre total, por lo que la distinción no se ve en el caso cuadrático como $x 2 + x + 2$ arriba.) De hecho, los polinomios de Eisenstein están directamente vinculados a números primos totalmente ramificados, de la siguiente manera: si una extensión de campo de los racionales es generada por la raíz de un polinomio que es Eisenstein en $p$ entonces $p$ está totalmente ramificado en la extensión y, a la inversa, si $p$ está totalmente ramificado en un campo numérico, entonces el campo se genera a partir de la raíz de un polinomio de Eisenstein. en $p$ .

Generalización

Criterio generalizado

Dado un dominio integral $D$ , sea

Q=sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

Did you mean:

be an element of D[x], the polynomial ring with coefficients in D.

Did you mean:

Suppose there exists a prime ideal p of D such that

$a i ▪ p$ para cada uno $i ل n$ ,
$a n \notin p$ , y
$a 0 \notin p 2$ , donde $p 2$ es el producto ideal $p$ con ella misma.

Entonces $Q$ no se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes en $D [x]$ . Si además $Q$ es primitivo (es decir, no tiene divisores constantes no triviales), entonces es irreductible en $D [x]$ . Si $D$ es un dominio de factorización único con campo de fracciones $F$ , entonces según el lema de Gauss $Q$ es irreducible en $F [x]$ , sea o no primitivo (ya que los factores constantes son invertibles en $F [x]$ ); en este caso, una posible elección de ideal primo es el ideal principal generado por cualquier elemento irreducible de $D$ . La última afirmación proporciona el teorema original para $D = Z$ o (en la formulación de Eisenstein) para $D = Z [i]$ .

Prueba

La prueba de esta generalización es similar a la del enunciado original, considerando la reducción de los coeficientes módulo $p$ ; El punto esencial es que un polinomio de un solo término sobre el dominio integral $D / p$ no puede descomponerse como un producto en el que al menos uno de los factores tiene más de un término (porque en tal producto no puede haber cancelación en el coeficiente ni del grado más alto ni del más bajo posible).

Ejemplo

Después de $Z$ , uno de los ejemplos básicos de un dominio integral es el anillo polinomial $D = k [u]$ en la variable $u$ sobre el campo $k$ . En este caso, el ideal principal generado por $u$ es un ideal primo. El criterio de Eisenstein puede utilizarse entonces para demostrar la irreductibilidad de un polinomio como $Q (x) = x 3 + ux + u$ en $D [x]$ . De hecho, $u$ no divide $a 3$ , $u 2$ no divide $a 0$ y $u$ divide $a 0, a 1$ y $a 2$ . Esto muestra que este polinomio satisface las hipótesis de la generalización del criterio de Eisenstein para el ideal primo $p = (u)$ ya que, para un ideal principal $(u)$ , ser un elemento de $(u)$ equivale a ser divisible por $u$ .

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