Ejemplos de grupos

Algunos ejemplos elementales de grupos en matemáticas se dan en Grupo (matemáticas). Más ejemplos se enumeran aquí.

Permutaciones de un conjunto de tres elementos

Ciclo gráfico para S₃. Un bucle especifica una serie de poderes de cualquier elemento relacionado con el elemento de identidad (e). Por ejemplo, el e-ba-ab el bucle refleja el hecho de que ba²=ab y ba³=e, así como el hecho de que ab²=ba y ab³=e. Los otros "ops" son raíces de la unidad para que, por ejemplo, a²=e.

Considere tres bloques de colores (rojo, verde y azul), colocados inicialmente en el orden RGB. Sea a la operación "intercambiar el primer bloque y el segundo bloque", y b la operación "intercambiar el segundo bloque y el tercer bloque".

Podemos escribir xy para la operación "primero hacer y, luego hacer x"; de modo que ab es la operación RGB → RBG → BRG, que podría describirse como "mover los primeros dos bloques una posición a la derecha y colocar el tercer bloque en la primera posición". Si escribimos e para "dejar los bloques como están" (la operación de identidad), entonces podemos escribir las seis permutaciones de los tres bloques de la siguiente manera:

• e: RGB → RGB
• a: RGB → GRB
• b: RGB → RBG
• ab: RGB → BRG
• ba: RGB → GBR
• aba: RGB → BGR

Tenga en cuenta que aa tiene el efecto RGB → GRB → RGB; entonces podemos escribir aa = e. Del mismo modo, bb = (aba)(aba) = e; (ab)(ba) = (ba)(ab) = e; por lo que cada elemento tiene un inverso.

Por inspección, podemos determinar la asociatividad y el cierre; tenga en cuenta en particular que (ba)b = bab = b(ab).

Dado que se construye a partir de las operaciones básicas a y b, decimos que el conjunto {a, b} genera este grupo. El grupo, denominado grupo simétrico S₃, tiene orden 6 y no es abeliano (ya que, por ejemplo, ab ≠ ba).

El grupo de traslaciones del plano

Una traslación del plano es un movimiento rígido de cada punto del plano por una distancia determinada en una dirección determinada. Por ejemplo, "muévase en dirección noreste durante 2 millas" es una traslación del plano. Dos traducciones como a y b se pueden componer para formar una nueva traducción a ∘ b de la siguiente manera: primero seguir la prescripción de b, luego la de a. Por ejemplo, si

a = "Move North-East por 3 millas"

y

b = "Move South-East por 4 millas"

entonces

a∘b = "Move to bearing 8.13° for 5 miles" (La carga se mide en sentido contrario y desde el Este)

O, si

a = "Move to bearing 36.87° for 3 miles" (La carga se mide en sentido contrario y desde el Este)

y

b = "Move to bearing 306.87° for 4 miles" (La carga se mide en sentido contrario y desde el Este)

entonces

a∘b = "Move East por 5 millas"

(ver el teorema de Pitágoras para saber por qué esto es así, geométricamente).

El conjunto de todas las traslaciones del plano con composición como operación forma un grupo:

1. Si a y b son traducciones, entonces a∘b es también una traducción.
2. La composición de las traducciones es asociativa: (a∘b∘c = a∘b∘c).
3. El elemento de identidad para este grupo es la traducción con receta "move cero millas en cualquier dirección".
4. El inverso de una traducción se da caminando en la dirección opuesta para la misma distancia.

Este es un grupo abeliano y nuestro primer ejemplo (no discreto) de un grupo de Lie: un grupo que también es una variedad.

El grupo de simetría de un cuadrado: grupo diédrico de orden 8

Ciclo gráfico de Dih₄
a es la rotación del reloj
y b la reflexión horizontal.

Dih4 como grupo de puntos 2D, D4, [4], (*4•), orden 4, con un 4 veces rotación y un generador de espejo.

Dih4 en 3D grupo dihedral D4[4,2]+, (422), orden 4, con una vertical 4 veces generador de rotación orden 4, y 2 veces Generador horizontal

Gráfico de Cayley de Dih₄

Un gráfico diferente de Cayley de Dih₄, generado por la reflexión horizontal b y una reflexión diagonal c

Los grupos son muy importantes para describir la simetría de los objetos, ya sean geométricos (como un tetraedro) o algebraicos (como un conjunto de ecuaciones). Como ejemplo, consideremos un cuadrado de vidrio de cierto grosor (con una letra 'F' escrita en él, solo para distinguir las diferentes posiciones).

Para describir su simetría, formamos el conjunto de todos aquellos movimientos rígidos del cuadrado que no hacen una diferencia visible (excepto la "F"). Por ejemplo, si un objeto girado 90° en el sentido de las agujas del reloj sigue teniendo el mismo aspecto, el movimiento es un elemento del conjunto, por ejemplo, a. También podríamos voltearlo alrededor de un eje vertical para que su superficie inferior se convierta en su superficie superior, mientras que el borde izquierdo se convierte en el borde derecho. Una vez más, después de realizar este movimiento, el cuadrado de vidrio se ve igual, por lo que también es un elemento de nuestro conjunto y lo llamamos b. El movimiento que no hace nada se denota por e.

Dados dos de tales movimientos x e y, es posible definir la composición x ∘ y como arriba: primero se realiza el movimiento y, seguido del movimiento x. El resultado dejará la losa como antes.

La cuestión es que el conjunto de todos esos movimientos, con la composición como operación, forma un grupo. Este grupo es la descripción más concisa de la simetría del cuadrado. Los químicos usan grupos de simetría de este tipo para describir la simetría de cristales y moléculas.

Generando el grupo

Vamos a investigar un poco más el grupo de simetría de nuestro cuadrado. En este momento, tenemos los elementos a, b y e, pero podemos formar más fácilmente: por ejemplo, a ∘ a, también escrito como a², es un giro de 180°. a³ es una rotación de 270° en el sentido de las agujas del reloj (o una rotación de 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj). También vemos que b² = e y también a⁴ = e. Aquí hay uno interesante: ¿qué hace a ∘ b? Primero voltee horizontalmente, luego gire. Intenta visualizar que a ∘ b = b ∘ a³. Además, a² ∘ b es una voltereta vertical y es igual a b ∘ a².

Decimos que los elementos a y b generan el grupo.

Este grupo de orden 8 tiene la siguiente tabla de Cayley:

Para dos elementos cualesquiera del grupo, la tabla registra cuál es su composición. Aquí escribimos "a³b" como abreviatura de a³ ∘ b.

En matemáticas, este grupo se conoce como el grupo diédrico de orden 8, y se denota como Dih₄, D₄ o D< sub>8, según la convención. Este fue un ejemplo de un grupo no abeliano: la operación ∘ aquí no es conmutativa, lo que se puede ver en la tabla; la mesa no es simétrica respecto a la diagonal principal.

El grupo dihedral del orden 8 es isomorfo al grupo de permutación generado por (1234) y (13). Los números de esta tabla provienen de numerar los 4! = 24 permutaciones de S4, que Dih₄ es un subgrupo de, de 0 (shown como un círculo negro) a 23.

Subgrupo normal

Esta versión de la tabla Cayley muestra que este grupo tiene un subgrupo normal que se muestra con un fondo rojo. En esta tabla, r significa rotaciones y f significa volteretas. Debido a que el subgrupo es normal, la clase lateral izquierda es igual que la clase lateral derecha.

Mesa del grupo D₄

	e	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
e	e	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	e	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	e	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	e	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	e	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	e	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	e	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	e
Los elementos e, r1, r2, y r3 form a subgroup, highlighted in rojo (región superior izquierda). Un conjunto izquierdo y derecho de este subgrupo se destaca en verde (en la última fila) y amarillo (última columna), respectivamente.

Grupo libre en dos generadores

El grupo libre con dos generadores a y b consta de todas las cadenas/palabras finitas que se pueden formar a partir de los cuatro símbolos a, a⁻¹, b y b⁻¹ tales que no a aparece directamente junto a a⁻¹ y ninguna b aparece directamente junto a b ⁻¹. Dos cadenas de este tipo se pueden concatenar y convertir en una cadena de este tipo reemplazando repetidamente el "prohibido" subcadenas con la cadena vacía. Por ejemplo: "abab⁻¹a⁻¹" concatenado con "abab⁻¹a" produce "abab⁻¹a⁻¹abab ⁻¹a", que se reduce a "abaab⁻¹a". Se puede comprobar que el conjunto de esas cadenas con esta operación forma un grupo con la cadena vacía ε:= "" siendo el elemento de identidad (Por lo general, las comillas se dejan fuera; por eso se requiere el símbolo ε).

Este es otro grupo infinito no abeliano.

Los grupos libres son importantes en la topología algebraica; el grupo libre en dos generadores también se usa para una prueba de la paradoja de Banach-Tarski.

El conjunto de mapas

Los conjuntos de mapas de un conjunto a un grupo

Sea G un grupo y S un conjunto. El conjunto de mapas M(S, G) es en sí mismo un grupo; es decir, para dos aplicaciones f, g de S en G definimos fg como Sea el mapa tal que (fg)(x) = f(x)g(x) para cada x en S y f⁻¹ a Sea el mapa tal que f⁻¹(x) = f(x)⁻¹.

Tome los mapas f, g y h en M(S, G). Para cada x en S, f(x) y g(x) están ambos en G, al igual que (fg)(x). Por lo tanto, fg también está en M(S, G), es decir, M (S, G) está cerrado. M(S, G) es asociativo porque ((fg)h) (x) = (fg)(x)h(x) = (f(x)g(x))h( x) = f(x)(g(x)h(x)) = f(x)(gh)(x) = (f(gh))(x). Y hay un mapa i tal que i(x) = e donde e es el elemento de identidad de G. El mapa i es tal que para todo f en M(S, G) tenemos fi = if = f, es decir, i es el elemento de identidad de M(S, G). Por lo tanto, M(S, G) es en realidad un grupo.

Si G es abeliano entonces (fg)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (gf)(x), y por lo tanto también lo es M(S, G).

Grupos de automorfismos

Grupos de permutaciones

Vamos G ser el conjunto de mapas bijetivos de un conjunto S en sí mismo. Entonces... G forma un grupo bajo la composición ordinaria de las cartografías. Este grupo se llama grupo simétrico, y es comúnmente denotado ${displaystyle operatorname {Sym} (S)}$, Governing_S, o ${displaystyle {s}_{S}}$. El elemento de identidad G es el mapa de identidad S. Para dos mapas f,g dentro G son bijetivos, fg también es bijetivo. Por lo tanto, G está cerrado. La composición de los mapas es asociativa; por lo tanto G es un grupo. S puede ser finito o infinito.

Grupos de matriz

Si n es un entero positivo, podemos considerar el conjunto de todas las matrices invertibles n por n con componentes de números reales, por ejemplo. Este es un grupo con la multiplicación de matrices como operación. Se denomina grupo lineal general y se denota GL_n(R) o GL(n , R) (donde R es el conjunto de los números reales). Geométricamente, contiene todas las combinaciones de rotaciones, reflexiones, dilataciones y transformaciones sesgadas del espacio euclidiano n-dimensional que fijan un punto dado (el origen).

Si nos restringimos a matrices con determinante 1, entonces obtenemos otro grupo, el grupo lineal especial, SL_n(R) o SL(n, R). Geométricamente, esto consta de todos los elementos de GL_n(R) que conservan tanto la orientación como el volumen de los diversos sólidos geométricos en el espacio euclidiano.

Si en cambio nos restringimos a matrices ortogonales, entonces obtenemos el grupo ortogonal O_n(R) o O(n, R). Geométricamente, esto consiste en todas las combinaciones de rotaciones y reflexiones que fijan el origen. Estas son precisamente las transformaciones que conservan longitudes y ángulos.

Finalmente, si imponemos ambas restricciones, obtenemos el grupo ortogonal especial SO_n(R) o SO(n, R), que consta solo de rotaciones.

Estos grupos son nuestros primeros ejemplos de infinitos grupos no abelianos. También resultan ser grupos de Lie. De hecho, la mayoría de los grupos de Lie importantes (pero no todos) se pueden expresar como grupos matriciales.

Si esta idea se generaliza a matrices con números complejos como entradas, entonces obtenemos más grupos de Lie útiles, como el grupo unitario U(n). También podemos considerar matrices con cuaterniones como entradas; en este caso, no hay una noción bien definida de un determinante (y, por lo tanto, no hay una buena manera de definir un "volumen" cuaterniónico), pero aún podemos definir un grupo análogo al grupo ortogonal, el grupo simpléctico Sp(n).

Además, la idea se puede tratar puramente algebraicamente con matrices sobre cualquier campo, pero entonces los grupos no son grupos de Lie.

Por ejemplo, tenemos los grupos lineales generales sobre campos finitos. El teórico de grupos J. L. Alperin ha escrito que "El ejemplo típico de un grupo finito es GL(n, q), el grupo lineal general de n dimensiones sobre el campo con elementos q. El estudiante que es introducido al tema con otros ejemplos está siendo completamente engañado."