Efecto mariposa

En la teoría del caos, el efecto mariposa es la dependencia sensible de las condiciones iniciales en las que un pequeño cambio en un estado de un sistema no lineal determinista puede dar lugar a grandes diferencias en un estado posterior.

El término está estrechamente asociado con el trabajo del matemático y meteorólogo Edward Norton Lorenz. Señaló que el efecto mariposa se deriva del ejemplo metafórico de los detalles de un tornado (la hora exacta de formación, el camino exacto tomado) influenciado por perturbaciones menores, como una mariposa distante batiendo sus alas varias semanas antes. Lorenz usó originalmente una gaviota que provocaba una tormenta, pero en 1972 fue persuadido de hacerlo más poético con el uso de una mariposa y un tornado.Lorenz descubrió el efecto cuando observó ejecuciones de su modelo meteorológico con datos de condiciones iniciales que se redondearon de una manera aparentemente intrascendente. Señaló que el modelo meteorológico no reproduciría los resultados de las ejecuciones con los datos de la condición inicial sin redondear. Un cambio muy pequeño en las condiciones iniciales había creado un resultado significativamente diferente.

La idea de que las causas pequeñas pueden tener grandes efectos en el clima fue reconocida anteriormente por el matemático e ingeniero francés Henri Poincaré. El matemático y filósofo estadounidense Norbert Wiener también contribuyó a esta teoría. El trabajo de Lorenz colocó el concepto de inestabilidad de la atmósfera terrestre sobre una base cuantitativa y vinculó el concepto de inestabilidad a las propiedades de grandes clases de sistemas dinámicos que están experimentando dinámicas no lineales y caos determinista.

Desde entonces, el concepto del efecto mariposa se ha utilizado fuera del contexto de la ciencia meteorológica como un término amplio para cualquier situación en la que se supone que un pequeño cambio es la causa de consecuencias mayores.

Historia

En La vocación del hombre (1800), Johann Gottlieb Fichte dice que "no se puede quitar un solo grano de arena de su lugar sin que... cambie algo en todas las partes del todo inconmensurable".

La teoría del caos y la dependencia sensible de las condiciones iniciales se describieron en numerosas formas de literatura. Así lo demuestra el caso del problema de los tres cuerpos de Poincaré en 1890. Posteriormente propuso que tales fenómenos podrían ser comunes, por ejemplo, en meteorología.

En 1898, Jacques Hadamard notó una divergencia general de trayectorias en espacios de curvatura negativa. Pierre Duhem discutió el posible significado general de esto en 1908.

La idea de que la muerte de una mariposa eventualmente podría tener un efecto dominó de gran alcance en los eventos históricos posteriores hizo su primera aparición conocida en "A Sound of Thunder", un cuento de 1952 de Ray Bradbury. "A Sound of Thunder" discutió la probabilidad de viajar en el tiempo.

En 1961, Lorenz estaba ejecutando un modelo informático numérico para rehacer una predicción meteorológica a partir de la mitad de la ejecución anterior como un atajo. Ingresó la condición inicial 0.506 de la impresión en lugar de ingresar el valor de precisión total 0.506127. El resultado fue un escenario meteorológico completamente diferente.

Lorenz escribió:

y luego comenzó a diferir en el penúltimo lugar y luego en el lugar anterior a ese. De hecho, las diferencias se duplicaron de manera más o menos constante cada cuatro días, hasta que toda semejanza con el resultado original desapareció en algún momento del segundo mes. Esto fue suficiente para decirme lo que había sucedido: los números que había ingresado no eran los números originales exactos, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores iniciales de redondeo fueron los culpables; fueron ampliando constantemente hasta que dominaron la solución." (EN Lorenz, Esto fue suficiente para decirme lo que había sucedido: los números que había ingresado no eran los números originales exactos, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores iniciales de redondeo fueron los culpables; fueron ampliando constantemente hasta que dominaron la solución." (EN Lorenz, Esto fue suficiente para decirme lo que había sucedido: los números que había ingresado no eran los números originales exactos, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores iniciales de redondeo fueron los culpables; fueron ampliando constantemente hasta que dominaron la solución." (EN Lorenz,The Essence of Chaos, U. Washington Press, Seattle (1993), página 134)

En 1963, Lorenz publicó un estudio teórico de este efecto en un artículo seminal muy citado llamado Flujo no periódico determinista (los cálculos se realizaron en una computadora Royal McBee LGP-30). En otro lugar afirmó:

Un meteorólogo comentó que si la teoría fuera correcta, el aleteo de una gaviota sería suficiente para alterar el curso del clima para siempre. La controversia aún no se ha resuelto, pero la evidencia más reciente parece favorecer a las gaviotas.

Siguiendo las sugerencias de sus colegas, en discursos y artículos posteriores, Lorenz usó la mariposa más poética. Según Lorenz, cuando no proporcionó un título para una charla que iba a presentar en la 139.ª reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1972, Philip Merilees inventó ¿El aleteo de una mariposa en Brasil provocó un tornado? ¿en Texas? como título. Aunque el aleteo de una mariposa se ha mantenido constante en la expresión de este concepto, la ubicación de la mariposa, las consecuencias y la ubicación de las consecuencias han variado ampliamente.

La frase se refiere a la idea de que las alas de una mariposa pueden crear pequeños cambios en la atmósfera que, en última instancia, pueden alterar la trayectoria de un tornado o retrasar, acelerar o incluso prevenir la ocurrencia de un tornado en otro lugar. La mariposa no impulsa ni crea directamente el tornado, pero el término pretende dar a entender que el aleteo de las alas de la mariposa puede causarel tornado: en el sentido de que el aleteo de las alas es parte de las condiciones iniciales de una red compleja interconectada; un conjunto de condiciones conduce a un tornado, mientras que el otro conjunto de condiciones no lo hace. El aleteo representa un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, que cae en cascada a alteraciones de eventos a gran escala (comparar: efecto dominó). Si la mariposa no hubiera aleteado, la trayectoria del sistema podría haber sido muy diferente, pero también es igualmente posible que el conjunto de condiciones sin que la mariposa aletee sea el conjunto que conduce a un tornado.

El efecto mariposa presenta un desafío obvio para la predicción, ya que las condiciones iniciales para un sistema como el clima nunca pueden conocerse con total precisión. Este problema motivó el desarrollo de la predicción por conjuntos, en la que se realizan varias predicciones a partir de condiciones iniciales perturbadas.

Desde entonces, algunos científicos han argumentado que el sistema meteorológico no es tan sensible a las condiciones iniciales como se creía anteriormente. David Orrell argumenta que el principal contribuyente al error de pronóstico del tiempo es el error del modelo, y la sensibilidad a las condiciones iniciales juega un papel relativamente pequeño. Stephen Wolfram también señala que las ecuaciones de Lorenz están muy simplificadas y no contienen términos que representen efectos viscosos; él cree que estos términos tenderían a amortiguar pequeñas perturbaciones.

Si bien el "efecto mariposa" a menudo se explica como sinónimo de dependencia sensible de las condiciones iniciales del tipo descrito por Lorenz en su artículo de 1963 (y observado previamente por Poincaré), la metáfora de la mariposa se aplicó originalmente al trabajo que publicó en 1969.lo que llevó la idea un paso más allá. Lorenz propuso un modelo matemático de cómo los pequeños movimientos en la atmósfera se escalan para afectar sistemas más grandes. Encontró que los sistemas en ese modelo solo podían predecirse hasta un punto específico en el futuro, y más allá de eso, reducir el error en las condiciones iniciales no aumentaría la previsibilidad (siempre que el error no sea cero). Esto demostró que un sistema determinista podría ser "observativamente indistinguible" de uno no determinista en términos de previsibilidad. Reexaminaciones recientes de este artículo sugieren que ofreció un desafío significativo a la idea de que nuestro universo es determinista, comparable a los desafíos que ofrece la física cuántica.

Ilustración

El efecto mariposa en el atractor de Lorenz
tiempo 0 ≤ t ≤ 30 (mayor)	coordenada z (mayor)
Estas figuras muestran dos segmentos de la evolución tridimensional de dos trayectorias (una en azul y otra en amarillo) durante el mismo período de tiempo en el atractor de Lorenz comenzando en dos puntos iniciales que difieren solo en 10 en la coordenada x. Inicialmente, las dos trayectorias parecen coincidentes, como lo indica la pequeña diferencia entre la coordenada z de las trayectorias azul y amarilla, pero para t > 23 la diferencia es tan grande como el valor de la trayectoria. La posición final de los conos indica que las dos trayectorias ya no coinciden en t = 30.
Una animación del atractor de Lorenz muestra la evolución continua.

Teoría y definición matemática

La recurrencia, el retorno aproximado de un sistema a sus condiciones iniciales, junto con la dependencia sensible de las condiciones iniciales, son los dos ingredientes principales del movimiento caótico. Tienen la consecuencia práctica de hacer que sistemas complejos, como el clima, sean difíciles de predecir más allá de un cierto rango de tiempo (aproximadamente una semana en el caso del clima) ya que es imposible medir las condiciones atmosféricas iniciales con total precisión.

Un sistema dinámico muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales si los puntos arbitrariamente cercanos se separan con el tiempo a una tasa exponencial. La definición no es topológica, sino esencialmente métrica.

Si M es el espacio de estado para el mapa , entonces muestra dependencia sensible a las condiciones iniciales si para cualquier x en M y cualquier δ > 0, hay y en M, con distancia d (.,.) tal que <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce882d81d79f9fdc8712995935233fc103c29b3c" alt="0<d(x,y)y tal que mathrm {e} ^ {a tau} , d (x, y)">

para algún parámetro positivo a. La definición no requiere que todos los puntos de una vecindad se separen del punto base x, pero requiere un exponente de Lyapunov positivo.

El marco matemático más simple que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales lo proporciona una parametrización particular del mapa logístico:

que, a diferencia de la mayoría de los mapas caóticos, tiene una solución de forma cerrada:

donde el parámetro de la condición inicial está dado por . Para racional , después de un número finito de iteraciones se asigna a una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales y, para irracional , nunca se repite: no es periódico. Esta ecuación de solución demuestra claramente las dos características clave del caos: estiramiento y plegamiento: el factor 2 muestra el crecimiento exponencial del estiramiento, lo que da como resultado una dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa), mientras que la función de seno al cuadrado se mantiene doblada dentro del rango [0, 1].

En sistemas físicos

En el tiempo

El efecto mariposa es más familiar en términos de clima; se puede demostrar fácilmente en modelos estándar de predicción meteorológica, por ejemplo. Los climatólogos James Annan y William Connolley explican que el caos es importante en el desarrollo de métodos de predicción meteorológica; Los modelos son sensibles a las condiciones iniciales. Agregan la advertencia: "Por supuesto, la existencia de una mariposa desconocida batiendo sus alas no tiene una relación directa con los pronósticos meteorológicos, ya que tomará demasiado tiempo para que una perturbación tan pequeña crezca a un tamaño significativo, y tenemos muchos más inmediatos". incertidumbres de las que preocuparse. Por lo tanto, el impacto directo de este fenómeno en la predicción del clima a menudo es algo erróneo".

En mecánica cuántica

El potencial de dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa) se ha estudiado en varios casos en la física semiclásica y cuántica, incluidos los átomos en campos fuertes y el problema anisotrópico de Kepler. Algunos autores han argumentado que no se espera una dependencia extrema (exponencial) de las condiciones iniciales en los tratamientos cuánticos puros; sin embargo, la dependencia sensible de las condiciones iniciales demostrada en el movimiento clásico está incluida en los tratamientos semiclásicos desarrollados por Martin Gutzwiller y John B. Delos y colaboradores. La teoría de la matriz aleatoria y las simulaciones con computadoras cuánticas prueban que algunas versiones del efecto mariposa en la mecánica cuántica no existen.

Otros autores sugieren que el efecto mariposa se puede observar en sistemas cuánticos. Zbyszek P. Karkuszewski et al. Considere la evolución temporal de los sistemas cuánticos que tienen hamiltonianos ligeramente diferentes. Investigan el nivel de sensibilidad de los sistemas cuánticos a pequeños cambios en sus hamiltonianos dados. David Poulin et al. presentó un algoritmo cuántico para medir la disminución de la fidelidad, que "mide la velocidad a la que los estados iniciales idénticos divergen cuando se someten a dinámicas ligeramente diferentes". Consideran que la disminución de la fidelidad es "el análogo cuántico más cercano al efecto mariposa (puramente clásico)".Mientras que el efecto mariposa clásico considera el efecto de un pequeño cambio en la posición y/o velocidad de un objeto en un sistema hamiltoniano dado, el efecto mariposa cuántica considera el efecto de un pequeño cambio en el sistema hamiltoniano con una posición y velocidad inicial dadas.. Este efecto mariposa cuántica se ha demostrado experimentalmente. Los tratamientos cuánticos y semiclásicos de la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales se conocen como caos cuántico.