Enfoque de modelado de Turbulencias
Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (ecuaciones RANS) son promediadas en el tiempo
ecuaciones de movimiento para el flujo de fluidos. La idea detrás de las ecuaciones es la descomposición de Reynolds, mediante la cual una cantidad instantánea se descompone en sus cantidades fluctuantes y promediadas en el tiempo, una idea propuesta por primera vez por Osborne Reynolds. Las ecuaciones RANS se utilizan principalmente para describir flujos turbulentos. Estas ecuaciones se pueden utilizar con aproximaciones basadas en el conocimiento de las propiedades de la turbulencia del flujo para dar soluciones aproximadas promediadas en el tiempo a las ecuaciones de Navier-Stokes.
Para un flujo estacionario de un fluido newtoniano incompresible, estas ecuaciones se pueden escribir en notación de Einstein en coordenadas cartesianas como:
![{displaystyle rho {bar {u}}_{j}{frac {partial {bar {u}}_{i}}{partial x_{j}}}=rho {bar {f}}_{i}+{frac {partial }{partial x_{j}}}left[-{bar {p}}delta _{ij}+mu left({frac {partial {bar {u}}_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial {bar {u}}_{j}}{partial x_{i}}}right)-rho {overline {u_{i}^{prime }u_{j}^{prime }}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff65a5b1f7a80069cf56e79d115cea5e6ba09441)
El lado izquierdo de esta ecuación representa el cambio en el impulso medio de un elemento fluido debido a la inestabilidad en el flujo medio y la convección por el flujo medio. Este cambio está equilibrado por la fuerza corporal media, el estrés isotrópico debido al campo de presión media, las tensiones viscosas y el estrés aparente 
debido al campo de velocidad fluctuante, generalmente referido como el estrés de Reynolds. Este término de estrés no lineal Reynolds requiere un modelado adicional para cerrar la ecuación RANS para resolver, y ha llevado a la creación de muchos modelos de turbulencia diferentes. El operador de tiempo promedio 
es un operador de Reynolds.
Derivación de ecuaciones RANS
La herramienta básica necesaria para la derivación de las ecuaciones RANS de las ecuaciones instantáneas Navier-Stokes es la descomposición Reynolds. La descomposición de Reynolds se refiere a la separación de la variable de flujo (como velocidad 
) en el componente medio (promedio de tiempo)
) y el componente fluctuante (
). Debido a que el operador medio es un operador Reynolds, tiene un conjunto de propiedades. Una de estas propiedades es que la media de la cantidad fluctuante es igual a cero 
. Así,
Las propiedades de los operadores de Reynolds son útiles en la derivación de las ecuaciones RANS. Usando estas propiedades, las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes, expresadas en notación tensorial, son (para un fluido newtoniano incompresible):
A continuación, cada cantidad instantánea se puede dividir en componentes fluctuantes y promediados en el tiempo, y la ecuación resultante promediada en el tiempo,
ceder:
La ecuación de impulso también se puede escribir como,
![{displaystyle rho {frac {partial {bar {u}}_{i}}{partial t}}+rho {bar {u}}_{j}{frac {partial {bar {u}}_{i}}{partial x_{j}}}=rho {bar {f}}_{i}+{frac {partial }{partial x_{j}}}left[-{bar {p}}delta _{ij}+2mu {bar {S}}_{ij}-rho {overline {u_{i}^{prime }u_{j}^{prime }}}right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21716599a865e1f8a18f90f68e67dbd6bbcfc2e)
¿Dónde? 
es la tasa media de tensor de tensión.
Finalmente, dado que la integración en el tiempo elimina la dependencia temporal de los términos resultantes, se debe eliminar la derivada temporal, quedando:
![{displaystyle rho {bar {u}}_{j}{frac {partial {bar {u}}_{i}}{partial x_{j}}}=rho {bar {f_{i}}}+{frac {partial }{partial x_{j}}}left[-{bar {p}}delta _{ij}+2mu {bar {S}}_{ij}-rho {overline {u_{i}^{prime }u_{j}^{prime }}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b49fb9434dd963d1c554d68c64cfaa6889438e)
Ecuaciones del estrés de Reynolds
La ecuación de evolución del tiempo del estrés de Reynolds viene dada por:
aplicaciones (modelado RANS)
- Se determinó un modelo para el rendimiento de las pruebas que, cuando se combina con el método de lattice vortex (VLM) o elemento de límite (BEM), RANS fue útil para modelar el flujo de agua entre dos hélices de rotación contrarias, donde VLM o BEM se aplican a las hélices y RANS se utiliza para el estado de inter-propeller de flujo dinámico.
- Las ecuaciones RANS han sido ampliamente utilizadas como un modelo para determinar las características del flujo y evaluar la comodidad del viento en entornos urbanos. Este enfoque computacional se puede ejecutar a través de cálculos directos que implican la solución de las ecuaciones RANS, o a través de un método indirecto que implica la formación de algoritmos de aprendizaje automático utilizando las ecuaciones RANS como base. El enfoque directo es más preciso que el enfoque indirecto, pero requiere experiencia en métodos numéricos y dinámicas de fluido computacional (CFD), así como recursos computacionales sustanciales para manejar la complejidad de las ecuaciones.
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