Ecuaciones de Navier-Stokes

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Claude-Louis Navier

George Gabriel Stokes

Equations describing the motion of viscous fluid substances

En física, las ecuaciones de Navier-Stokes (nav-YAY STOHKS) son ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas, nombradas en honor al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y Anglo- El físico y matemático irlandés George Gabriel Stokes. Se desarrollaron a lo largo de varias décadas de construcción progresiva de teorías, desde 1822 (Navier) hasta 1842-1850 (Stokes).

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del impulso y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. A veces van acompañados de una ecuación de estado que relaciona la presión, la temperatura y la densidad. Surgen de la aplicación de la segunda ley de Isaac Newton al movimiento de fluidos, junto con la suposición de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso de difusión (proporcional al gradiente de velocidad) y un término de presión, por lo tanto, describe flujo viscoso. La diferencia entre ellas y las ecuaciones de Euler estrechamente relacionadas es que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta la viscosidad, mientras que las ecuaciones de Euler modelan solo el flujo no viscoso. Como resultado, Navier-Stokes es una ecuación parabólica y, por lo tanto, tiene mejores propiedades analíticas, a expensas de tener menos estructura matemática (por ejemplo, nunca son completamente integrables).

Las ecuaciones de Navier-Stokes son útiles porque describen la física de muchos fenómenos de interés científico y de ingeniería. Pueden usarse para modelar el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en una tubería y el flujo de aire alrededor de un ala. Las ecuaciones de Navier-Stokes, en su forma completa y simplificada, ayudan con el diseño de aviones y automóviles, el estudio del flujo sanguíneo, el diseño de centrales eléctricas, el análisis de la contaminación y muchas otras cosas. Junto con las ecuaciones de Maxwell, se pueden usar para modelar y estudiar la magnetohidrodinámica.

Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés en un sentido puramente matemático. A pesar de su amplia gama de usos prácticos, aún no se ha demostrado si siempre existen soluciones uniformes en tres dimensiones, es decir, si son infinitamente diferenciables (o incluso solo acotadas) en todos los puntos del dominio. Esto se llama el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes. El Clay Mathematics Institute ha calificado a este como uno de los siete problemas abiertos más importantes de las matemáticas y ha ofrecido un premio de un millón de dólares por una solución o un contraejemplo.

Velocidad de flujo

La solución de las ecuaciones es una velocidad de flujo. Es un campo vectorial: a cada punto en un fluido, en cualquier momento en un intervalo de tiempo, da un vector cuya dirección y magnitud son las de la velocidad del fluido en ese punto en el espacio y en ese momento en el tiempo. Por lo general, se estudia en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, aunque a menudo se utilizan como modelos dos casos dimensionales (espaciales) y de estado estable, y los análogos de dimensiones superiores se estudian tanto en matemáticas puras como aplicadas. Una vez que se calcula el campo de velocidad, se pueden encontrar otras cantidades de interés, como la presión o la temperatura, utilizando ecuaciones y relaciones dinámicas. Esto es diferente de lo que normalmente se ve en la mecánica clásica, donde las soluciones suelen ser trayectorias de posición de una partícula o desviación de un continuo. Estudiar la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque para fines de visualización se pueden calcular varias trayectorias. En particular, las líneas de corriente de un campo vectorial, interpretadas como velocidad de flujo, son los caminos a lo largo de los cuales viajaría una partícula de fluido sin masa. Estos caminos son las curvas integrales cuya derivada en cada punto es igual al campo vectorial, y pueden representar visualmente el comportamiento del campo vectorial en un momento dado.

Ecuaciones generales del continuo

La ecuación de cantidad de movimiento de Navier-Stokes se puede derivar como una forma particular de la ecuación de cantidad de movimiento de Cauchy, cuya forma convectiva general es

{displaystyle {frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}={frac {1}{rho }}nabla cdot {boldsymbol {sigma }}+mathbf {g}.}

{textstyle {boldsymbol {sigma }}}

{textstyle {boldsymbol {tau }}}

{textstyle -pmathbf {I} }

Ecuación de impulso de caqui (forma convectiva)

${displaystyle rho {frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}=-nabla p+nabla cdot {boldsymbol {tau }}+rho ,mathbf {g} }$

dónde

${textstyle {frac {mathrm {D} }{mathrm {D} t}}}$ es el derivado material, definido como ${textstyle {frac {partial }{partial t}}+mathbf {u} cdot nabla }$ ,
${textstyle rho }$ es la densidad,
${textstyle mathbf {u} }$ es la velocidad de flujo,
${textstyle nabla cdot ,}$ es la divergencia,
${textstyle p}$ es la presión,
${textstyle t}$ es tiempo,
${textstyle {boldsymbol {tau }}}$ es el tensor de estrés desviatorio, que tiene orden 2,
${textstyle mathbf {g} }$ representa aceleraciones del cuerpo actuando en el continuum, por ejemplo gravedad, aceleraciones inerciales, aceleraciones electrostáticas, etc.

De esta forma, es evidente que en el supuesto de un fluido no viscoso, sin tensión desviadora, las ecuaciones de Cauchy se reducen a las ecuaciones de Euler.

Asumiendo la conservación de la masa, podemos usar la ecuación de continuidad de masa (o simplemente ecuación de continuidad),

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot (rho ,mathbf {u})=0}

Ecuación de impulso de caqui (forma de conservación)

${displaystyle {frac {partial }{partial t}}(rho ,mathbf {u})+nabla cdot (rho ,mathbf {u} otimes mathbf {u})=-nabla p+nabla cdot {boldsymbol {tau }}+rho ,mathbf {g} }$

Donde ${textstyle otimes }$ es el producto exterior:

{displaystyle mathbf {u} otimes mathbf {v} =mathbf {u} mathbf {v} ^{mathrm {T} }.}

El lado izquierdo de la ecuación describe la aceleración y puede estar compuesto por componentes convectivos y dependientes del tiempo (también los efectos de las coordenadas no inerciales, si están presentes). El lado derecho de la ecuación es, en efecto, una suma de los efectos hidrostáticos, la divergencia de la tensión desviadora y las fuerzas del cuerpo (como la gravedad).

Todas las ecuaciones de equilibrio no relativistas, como las ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden derivar comenzando con las ecuaciones de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva. Al expresar el tensor de esfuerzo desviador (cortador) en términos de viscosidad y el gradiente de velocidad del fluido, y suponiendo una viscosidad constante, las ecuaciones de Cauchy anteriores conducirán a las ecuaciones de Navier-Stokes a continuación.

Aceleración convectiva

Un ejemplo de convección. Aunque el flujo puede ser constante (independiente del tiempo), el fluido se desacelera a medida que se mueve por el conducto divergente (asumiendo el flujo compresible incompresible o subsónico), por lo tanto hay una aceleración que ocurre sobre la posición.

Una característica importante de la ecuación de Cauchy y, en consecuencia, de todas las demás ecuaciones continuas (incluidas las de Euler y Navier-Stokes) es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas de fluido individuales experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial, un ejemplo es la aceleración del fluido en una boquilla.

Flujo compresible

Nota: aquí, el tensor de estrés de Cauchy está denotado ${textstyle {boldsymbol {sigma }}}$ (en lugar de ${textstyle {boldsymbol {tau }}}$ como estaba en las ecuaciones continuum generales y en la sección de flujo incompresible).

La ecuación de Navier-Stokes del momento compresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensión de Cauchy:

el estrés Invariante de Galilea: no depende directamente de la velocidad de flujo, sino sólo de los derivados espaciales de la velocidad de flujo. Así que la variable de estrés es el gradiente tensor ${textstyle nabla mathbf {u} }$ .
el estrés lineal en esta variable: ${textstyle {boldsymbol {sigma }}left(nabla mathbf {u} right)=mathbf {C}:left(nabla mathbf {u} right)}$ , donde ${textstyle mathbf {C} }$ es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamada el tensor de viscosidad o elasticidad, y: es el producto de doble punto.
se supone que el fluido es isotrópico, como con gases y líquidos simples, y en consecuencia ${textstyle mathbf {V} }$ es un tensor isotrópico; además, puesto que el tensor de estrés es simétrico, por la descomposición de Helmholtz se puede expresar en términos de dos parámetros de escalar Lamé, la segunda viscosidad ${textstyle lambda }$ y la viscosidad dinámica ${textstyle mu }$ , como es habitual en elasticidad lineal:
Ecuación constitutiva de estrés lineal (expresión utilizada para sólido elástico)
${boldsymbol {sigma }}=lambda (nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} +2mu {boldsymbol {varepsilon }}$
Donde ${textstyle mathbf {I} }$ es el tensor de identidad, ${textstyle {boldsymbol {varepsilon }}left(nabla mathbf {u} right)equiv {frac {1}{2}}nabla mathbf {u} +{frac {1}{2}}left(nabla mathbf {u} right)^{T}}$ es el tensor de la velocidad y ${textstyle nabla cdot mathbf {u} }$ es la divergencia (es decir, tasa de expansión) del flujo. Así que esta descomposición se puede definir explícitamente como:
${displaystyle {boldsymbol {sigma }}=lambda (nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} +mu left(nabla mathbf {u} +(nabla mathbf {u})^{mathrm {T} }right).}$

Dado que la traza del tensor de velocidad de deformación en tres dimensiones es:

{displaystyle operatorname {tr} ({boldsymbol {varepsilon }})=nabla cdot mathbf {u}.}

La traza del tensor de tensión en tres dimensiones se convierte en:

{displaystyle operatorname {tr} ({boldsymbol {sigma }})=(3lambda +2mu)nabla cdot mathbf {u}.}

Entonces, al descomponer alternativamente el tensor de tensión en partes isotrópicas y desviatorias, como es habitual en la dinámica de fluidos:

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}=left(lambda +{tfrac {2}{3}}mu right)left(nabla cdot mathbf {u} right)mathbf {I} +mu left(nabla mathbf {u} +left(nabla mathbf {u} right)^{mathrm {T} }-{tfrac {2}{3}}left(nabla cdot mathbf {u} right)mathbf {I} right)}

Introducción de la viscosidad a granel ${textstyle zeta }$ ,

{displaystyle zeta equiv lambda +{tfrac {2}{3}}mu}

Llegamos a la ecuación lineal constitutiva en la forma habitualmente empleada en termohidráulica:

Ecuación constitutiva de estrés lineal (expresión utilizada para líquidos)

${displaystyle {boldsymbol {sigma }}=zeta (nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} +mu left[nabla mathbf {u} +(nabla mathbf {u})^{mathrm {T} }-{tfrac {2}{3}}(nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} right]}$

Segunda viscosidad ${textstyle zeta }$ viscosidad dinámica ${textstyle mu }$ no necesitan ser constantes – en general, dependen de dos variables termodinámicas si el fluido contiene una sola especie química, por ejemplo, presión y temperatura. Cualquier ecuación que haga explícita uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se llama una ecuación de estado.

La más general de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte en

Ecuación de impulso de Navier-Stokes ()forma convectiva)

${displaystyle rho {frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}=rho left({frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} right)=-nabla p+nabla cdot left{mu left[nabla mathbf {u} +(nabla mathbf {u})^{mathrm {T} }-{tfrac {2}{3}}(nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} right]+zeta (nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} right}+rho mathbf {g}.}$

Aparte de su dependencia de presión y temperatura, el segundo coeficiente de viscosidad también depende del proceso, es decir, el segundo coeficiente de viscosidad no es sólo una propiedad material. Por ejemplo, en el caso de una onda sonora con una frecuencia definitiva que comprime y expande alternativamente un elemento fluido, el segundo coeficiente de viscosidad depende de la frecuencia de la onda. Esta dependencia se llama dispersión. En algunos casos, la segunda viscosidad ${textstyle zeta }$ se puede suponer que es constante en cuyo caso, el efecto de la viscosidad del volumen ${textstyle zeta }$ es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica: como se muestra a continuación.

{displaystyle nabla cdot (nabla cdot mathbf {u})mathbf {I} =nabla (nabla cdot mathbf {u}),}

{displaystyle {bar {p}}equiv p-zeta ,nabla cdot mathbf {u}}

{textstyle zeta =0}

{textstyle zeta =0}

Ecuación de impulso de Navier-Stokes ()forma convectiva)

Si la viscosidad dinámica $μ$ también se supone que es constante, las ecuaciones se pueden simplificar más. Computando la divergencia del tensor de estrés, desde la divergencia del tensor ${textstyle nabla mathbf {u} }$ es ${textstyle nabla ^{2}mathbf {u} }$ y la divergencia de tensor ${textstyle left(nabla mathbf {u} right)^{mathrm {T} }}$ es ${textstyle nabla left(nabla cdot mathbf {u} right)}$ , uno finalmente llega a la ecuación de impulso de Navier-Stokes compresible (más general)

Ecuación de impulso de Navier-Stokes ()forma convectiva)

${displaystyle rho {frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}=rho left({frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} right)=-nabla p+mu ,nabla ^{2}mathbf {u} +{tfrac {1}{3}}mu ,nabla (nabla cdot mathbf {u})+rho mathbf {g}.}$

Donde ${textstyle {frac {mathrm {D} }{mathrm {D} t}}}$ es el derivado material. El lado izquierdo cambia en la forma de conservación de la ecuación de impulso Navier-Stokes:

Ecuación de impulso de Navier-Stokes ()formulario de conservación)

${displaystyle {frac {partial }{partial t}}(rho ,mathbf {u})+nabla cdot (rho ,mathbf {u} otimes mathbf {u})=-nabla p+mu ,nabla ^{2}mathbf {u} +{tfrac {1}{3}}mu ,nabla (nabla cdot mathbf {u})+rho mathbf {g}.}$

Se supone que la viscosidad a granel es constante; de lo contrario, no se debe sacar de la última derivada. El término de aceleración convectiva también se puede escribir como

{displaystyle mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} =(nabla times mathbf {u})times mathbf {u} +{tfrac {1}{2}}nabla mathbf {u} ^{2},}

{textstyle (nabla times mathbf {u})times mathbf {u} }

Para el caso especial de un flujo incompresible, la presión limita el flujo de modo que el volumen de elementos fluidos es constante: flujo isocópico resultante en un campo de velocidad solenoideal con ${textstyle nabla cdot mathbf {u} =0}$ .

Flujo incompresible

La ecuación de Navier-Stokes del momento incompresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensión de Cauchy:

el estrés Invariante de Galilea: no depende directamente de la velocidad de flujo, sino sólo de los derivados espaciales de la velocidad de flujo. Así que la variable de estrés es el gradiente tensor ${textstyle nabla mathbf {u} }$ .
se supone que el fluido es isotrópico, como con gases y líquidos simples, y en consecuencia ${textstyle {boldsymbol {tau }}}$ es un tensor isotrópico; además, ya que el tensor de tensión desviador puede expresarse en términos de viscosidad dinámica ${textstyle mu }$ :
Ecuación constitutiva del estrés de Stokes (expresión utilizada para sólidos elásticos incompresibles)
${boldsymbol {tau }}=2mu {boldsymbol {varepsilon }}$
Donde
${displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}={tfrac {1}{2}}left(mathbf {nabla u} +mathbf {nabla u} ^{mathrm {T} }right)}$ es el tensor de velocidad. Así que esta descomposición se puede hacer explícita como:
La ecuación constitutiva del estrés de Stokes (expresión utilizada para líquidos viscosos incompresibles)
${displaystyle {boldsymbol {tau }}=mu left(nabla mathbf {u} +nabla mathbf {u} ^{mathrm {T} }right)}$

La viscosidad dinámica $μ$ no necesita ser constante; en flujos incompresibles puede depender de la densidad y la presión. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables conservativas se denomina ecuación de estado.

La divergencia de la tensión desviadora viene dada por:

{displaystyle nabla cdot {boldsymbol {tau }}=2mu nabla cdot {boldsymbol {varepsilon }}=mu nabla cdot left(nabla mathbf {u} +nabla mathbf {u} ^{mathrm {T} }right)=mu ,nabla ^{2}mathbf {u} }

{textstyle nabla cdot mathbf {u} =0}

La incompresibilidad descarta ondas de densidad y presión como el sonido o las ondas de choque, por lo que esta simplificación no es útil si estos fenómenos son de interés. La suposición de flujo incompresible generalmente se mantiene bien con todos los fluidos a números de Mach bajos (digamos hasta alrededor de Mach 0.3), como para modelar vientos de aire a temperaturas normales. las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se visualizan mejor dividiendo por la densidad:

Ecuaciones incompresibles Navier–Stokes ()forma convectiva)

${displaystyle {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} -nu ,nabla ^{2}mathbf {u} =-{frac {1}{rho }}nabla p+mathbf {g}.}$

Si la densidad es constante a través del dominio del fluido, o, en otras palabras, si todos los elementos del fluido tienen la misma densidad, ${textstyle rho =rho _{0}}$ , entonces tenemos

Ecuaciones incompresibles Navier–Stokes ()forma convectiva)

${displaystyle {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} -nu ,nabla ^{2}mathbf {u} =-nabla left({frac {p}{rho _{0}}}right)+mathbf {g}.}$

Donde ${textstyle nu ={frac {mu }{rho _{0}}}}$ se llama la viscosidad cinemática.

Un ejemplo de flujo laminar

Perfil de velocidad (flujo laminar):

{displaystyle u_{x}=u(y),quad u_{y}=0,quad u_{z}=0}

para el

x

-dirección, simplificar la ecuación de Navier-Stokes:

{displaystyle 0=-{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} x}}+mu left({frac {mathrm {d} ^{2}u}{mathrm {d} y^{2}}}right)}

Integrar dos veces para encontrar el perfil de velocidad con las condiciones de límites $Sí. = h$ , $u = 0$ , $Sí. = h$ , $u = 0$ :

{displaystyle u={frac {1}{2mu }}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B}

De esta ecuación, sustituya en las dos condiciones límite para conseguir dos ecuaciones:

{displaystyle {begin{aligned}0&={frac {1}{2mu }}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\0&={frac {1}{2mu }}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+Bend{aligned}}}

Añadir y resolver para $B$ :

{displaystyle B=-{frac {1}{2mu }}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} x}}h^{2}}

Sustituir y resolver para $A$ :

{displaystyle A=0}

Finalmente esto da el perfil de velocidad:

{displaystyle u={frac {1}{2mu }}{frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} x}}left(y^{2}-h^{2}right)}

Vale la pena observar el significado de cada término (compárelo con la ecuación de momento de Cauchy):

{displaystyle overbrace {{vphantom {frac {}{}}}underbrace {frac {partial mathbf {u} }{partial t}} _{text{Variation}}+underbrace {{vphantom {frac {}{}}}(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} } _{text{Divergence}}} ^{text{Inertia (per volume)}}=overbrace {{vphantom {frac {partial }{partial }}}underbrace {{vphantom {frac {}{}}}-nabla w} _{begin{smallmatrix}{text{Internal}}\{text{source}}end{smallmatrix}}+underbrace {{vphantom {frac {}{}}}nu nabla ^{2}mathbf {u} } _{text{Diffusion}}} ^{text{Divergence of stress}}+underbrace {{vphantom {frac {}{}}}mathbf {g} } _{begin{smallmatrix}{text{External}}\{text{source}}end{smallmatrix}}.}

El término de orden superior, es decir, la divergencia de estrés de la ola ${textstyle nabla cdot {boldsymbol {tau }}}$ , se ha reducido simplemente al término vector Laplacian ${textstyle mu nabla ^{2}mathbf {u} }$ . Este término laplaciano se puede interpretar como la diferencia entre la velocidad en un punto y la velocidad media en un pequeño volumen circundante. Esto implica que, para un líquido Newtoniano, la viscosidad funciona como un difusión del impulso, de la misma manera que la conducción de calor. De hecho, descuidando el término de convección, las ecuaciones incompresibles Navier-Stokes conducen a una ecuación de difusión vectorial (ecuaciones de Stokes), pero en general el término de convección está presente, por lo que las ecuaciones incompresibles Navier-Stokes pertenecen a la clase de ecuaciones de convección-difusión.

En el caso habitual de que un campo externo sea un campo conservativo:

{displaystyle mathbf {g} =-nabla varphi }

{displaystyle hequiv w+varphi }

Finalmente se puede condensar toda la fuente en un término, llegando a la ecuación de Navier-Stokes incompresible con campo externo conservativo:

{displaystyle {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} -nu ,nabla ^{2}mathbf {u} =-nabla h.}

Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con campo externo conservador es la ecuación fundamental de la hidráulica. El dominio de estas ecuaciones suele ser un espacio euclidiano de 3 o menos dimensiones, para el cual se suele establecer un marco de referencia de coordenadas ortogonales para explicar el sistema de ecuaciones diferenciales parciales escalares que se va a resolver. En 3 dimensiones los sistemas de coordenadas ortogonales son 3: cartesiano, cilíndrico y esférico. Expresar la ecuación vectorial de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas es bastante sencillo y no está muy influenciado por el número de dimensiones del espacio euclidiano empleado, y este es el caso también para los términos de primer orden (como los de variación y convección) también en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianas. Pero para los términos de orden superior (los dos que provienen de la divergencia de la tensión desviadora que distinguen las ecuaciones de Navier-Stokes de las ecuaciones de Euler) se requiere algo de cálculo tensorial para deducir una expresión en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianas.

La ecuación incompresible de Navier-Stokes es compuesta, la suma de dos ecuaciones ortogonales,

{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial mathbf {u} }{partial t}}&=Pi ^{S}left(-(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} +nu ,nabla ^{2}mathbf {u} right)+mathbf {f} ^{S}\rho ^{-1},nabla p&=Pi ^{I}left(-(mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} +nu ,nabla ^{2}mathbf {u} right)+mathbf {f} ^{I}end{aligned}}}

{textstyle Pi ^{S}}

{textstyle Pi ^{I}}

{textstyle Pi ^{S}+Pi ^{I}-1}

{textstyle mathbf {f} ^{S}}

{textstyle mathbf {f} ^{I}}

La forma funcional explícita del operador de proyección en 3D se encuentra en el Teorema de Helmholtz:

{displaystyle Pi ^{S},mathbf {F} (mathbf {r})={frac {1}{4pi }}nabla times int {frac {nabla ^{prime }times mathbf {F} (mathbf {r} ')}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},mathrm {d} V',quad Pi ^{I}=1-Pi ^{S}}

Una forma débil o variacional equivalente de la ecuación, que se demostró que produce la misma solución de velocidad que la ecuación de Navier-Stokes, está dada por,

{displaystyle left(mathbf {w}{frac {partial mathbf {u} }{partial t}}right)=-{bigl (}mathbf {w}left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} {bigr)}-nu left(nabla mathbf {w}:nabla mathbf {u} right)+left(mathbf {w}mathbf {f} ^{S}right)}

para funciones de prueba sin divergencia ${textstyle mathbf {w} }$ satisfaciendo las condiciones de límites apropiadas. Aquí, las proyecciones se realizan por la ortogonalidad de los espacios de función solenoideal e irrotacional. La forma discreta de esto es eminentemente adecuada para la computación de elementos finitos del flujo libre de divergencia, como veremos en la siguiente sección. Allí se podrá abordar la pregunta "¿Cómo se especifican los problemas impulsados por la presión (Poiseuille) con una ecuación gobernante sin presión?".

La ausencia de fuerzas de presión en la ecuación de velocidad gobernante demuestra que la ecuación no es dinámica, sino más bien una ecuación cinemática donde la condición libre de divergencia cumple el rol de una ecuación de conservación. Todo esto parecería refutar las afirmaciones frecuentes de que la presión incompresible impone la condición de ausencia de divergencia.

Forma débil de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

Forma fuerte

Considere las ecuaciones incompresibles Navier-Stokes para un fluido Newtoniano de densidad constante ${textstyle rho }$ en un dominio

{displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{d}quad (d=2,3)}

{displaystyle partial Omega =Gamma _{D}cup Gamma _{N},}

{textstyle Gamma _{D}}

{textstyle Gamma _{N}}

{textstyle Gamma _{D}cap Gamma _{N}=emptyset }

{displaystyle {begin{cases}rho {dfrac {partial mathbf {u} }{partial t}}+rho (mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} -nabla cdot {boldsymbol {sigma }}(mathbf {u}p)=mathbf {f} &{text{ in }}Omega times (0,T)\nabla cdot mathbf {u} =0&{text{ in }}Omega times (0,T)\mathbf {u} =mathbf {g} &{text{ on }}Gamma _{D}times (0,T)\{boldsymbol {sigma }}(mathbf {u}p){hat {mathbf {n} }}=mathbf {h} &{text{ on }}Gamma _{N}times (0,T)\mathbf {u} (0)=mathbf {u} _{0}&{text{ in }}Omega times {0}end{cases}}}

{textstyle mathbf {u} }

{textstyle p}

{textstyle mathbf {f} }

{hat {mathbf {n} }}

{textstyle Gamma _{N}}

{textstyle {boldsymbol {sigma }}(mathbf {u}p)}

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}(mathbf {u}p)=-pmathbf {I} +2mu {boldsymbol {varepsilon }}(mathbf {u}).}

{textstyle mu }

{textstyle mathbf {I} }

{textstyle {boldsymbol {varepsilon }}(mathbf {u})}

{displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(mathbf {u})={frac {1}{2}}left(left(nabla mathbf {u} right)+left(nabla mathbf {u} right)^{mathrm {T} }right).}

{textstyle mathbf {g} }

{textstyle mathbf {h} }

{textstyle mathbf {u} _{0}}

{displaystyle nabla cdot left(nabla mathbf {f} right)^{mathrm {T} }=nabla (nabla cdot mathbf {f})}

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot {boldsymbol {sigma }}(mathbf {u}p)&=nabla cdot left(-pmathbf {I} +2mu {boldsymbol {varepsilon }}(mathbf {u})right)\&=-nabla p+2mu nabla cdot {boldsymbol {varepsilon }}(mathbf {u})\&=-nabla p+2mu nabla cdot left[{tfrac {1}{2}}left(left(nabla mathbf {u} right)+left(nabla mathbf {u} right)^{mathrm {T} }right)right]\&=-nabla p+mu left(Delta mathbf {u} +nabla cdot left(nabla mathbf {u} right)^{mathrm {T} }right)\&=-nabla p+mu {bigl (}Delta mathbf {u} +nabla underbrace {(nabla cdot mathbf {u})} _{=0}{bigr)}=-nabla p+mu ,Delta mathbf {u}.end{aligned}}}

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}(mathbf {u}p){hat {mathbf {n} }}=left(-pmathbf {I} +2mu {boldsymbol {varepsilon }}(mathbf {u})right){hat {mathbf {n} }}=-p{hat {mathbf {n} }}+mu {frac {partial {boldsymbol {u}}}{partial {hat {mathbf {n} }}}}.}

Forma débil

Para encontrar la forma débil de las ecuaciones de Navier-Stokes, en primer lugar, considere la ecuación de cantidad de movimiento

{displaystyle rho {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}-mu Delta mathbf {u} +rho (mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} +nabla p=mathbf {f} }

{textstyle mathbf {v} }

{textstyle V}

{textstyle Omega }

{displaystyle int limits _{Omega }rho {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}cdot mathbf {v} -int limits _{Omega }mu Delta mathbf {u} cdot mathbf {v} +int limits _{Omega }rho (mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} cdot mathbf {v} +int limits _{Omega }nabla pcdot mathbf {v} =int limits _{Omega }mathbf {f} cdot mathbf {v} }

{displaystyle {begin{aligned}-int limits _{Omega }mu Delta mathbf {u} cdot mathbf {v} &=int _{Omega }mu nabla mathbf {u} cdot nabla mathbf {v} -int limits _{partial Omega }mu {frac {partial mathbf {u} }{partial {hat {mathbf {n} }}}}cdot mathbf {v} \int limits _{Omega }nabla pcdot mathbf {v} &=-int limits _{Omega }pnabla cdot mathbf {v} +int limits _{partial Omega }pmathbf {v} cdot {hat {mathbf {n} }}end{aligned}}}

Usando estas relaciones, se obtiene:

{displaystyle int limits _{Omega }rho {dfrac {partial mathbf {u} }{partial t}}cdot mathbf {v} +int limits _{Omega }mu nabla mathbf {u} cdot nabla mathbf {v} +int limits _{Omega }rho (mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} cdot mathbf {v} -int limits _{Omega }pnabla cdot mathbf {v} =int limits _{Omega }mathbf {f} cdot mathbf {v} +int limits _{partial Omega }left(mu {frac {partial mathbf {u} }{partial {hat {mathbf {n} }}}}-p{hat {mathbf {n} }}right)cdot mathbf {v} quad forall mathbf {v} in V.}

q

{textstyle Q}

{textstyle Omega }

{displaystyle int limits _{Omega }qnabla cdot mathbf {u} =0.quad forall qin Q.}

{displaystyle {begin{aligned}V=left[H_{0}^{1}(Omega)right]^{d}&=left{mathbf {v} in left[H^{1}(Omega)right]^{d}:quad mathbf {v} =mathbf {0} {text{ on }}Gamma _{D}right},\Q&=L^{2}(Omega)end{aligned}}}

v

{displaystyle int limits _{partial Omega }left(mu {frac {partial mathbf {u} }{partial {hat {mathbf {n} }}}}-p{hat {mathbf {n} }}right)cdot mathbf {v} =underbrace {int limits _{Gamma _{D}}left(mu {frac {partial mathbf {u} }{partial {hat {mathbf {n} }}}}-p{hat {mathbf {n} }}right)cdot mathbf {v} } _{mathbf {v} =mathbf {0} {text{ on }}Gamma _{D} }+int limits _{Gamma _{N}}underbrace {{vphantom {int limits _{Gamma _{N}}}}left(mu {frac {partial mathbf {u} }{partial {hat {mathbf {n} }}}}-p{hat {mathbf {n} }}right)} _{=mathbf {h} {text{ on }}Gamma _{N}}cdot mathbf {v} =int limits _{Gamma _{N}}mathbf {h} cdot mathbf {v}.}

{displaystyle {begin{aligned}&{text{find }}mathbf {u} in L^{2}left(mathbb {R} ^{+};left[H^{1}(Omega)right]^{d}right)cap C^{0}left(mathbb {R} ^{+};left[L^{2}(Omega)right]^{d}right){text{ such that: }}\[5pt]&quad {begin{cases}displaystyle int limits _{Omega }rho {dfrac {partial mathbf {u} }{partial t}}cdot mathbf {v} +int limits _{Omega }mu nabla mathbf {u} cdot nabla mathbf {v} +int limits _{Omega }rho (mathbf {u} cdot nabla)mathbf {u} cdot mathbf {v} -int limits _{Omega }pnabla cdot mathbf {v} =int limits _{Omega }mathbf {f} cdot mathbf {v} +int limits _{Gamma _{N}}mathbf {h} cdot mathbf {v} quad forall mathbf {v} in V,\displaystyle int limits _{Omega }qnabla cdot mathbf {u} =0quad forall qin Q.end{cases}}end{aligned}}}

Velocidad discreta

Con la partición del dominio del problema y la definición de funciones base en el dominio particionado, la forma discreta de la ecuación gobernante es

{displaystyle left(mathbf {w} _{i},{frac {partial mathbf {u} _{j}}{partial t}}right)=-{bigl (}mathbf {w} _{i},left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} _{j}{bigr)}-nu left(nabla mathbf {w} _{i}:nabla mathbf {u} _{j}right)+left(mathbf {w} _{i},mathbf {f} ^{S}right).}

Es deseable elegir funciones base que reflejen la característica esencial del flujo incompresible: los elementos deben estar libres de divergencias. Mientras que la velocidad es la variable de interés, la existencia de la función de corriente o vector potencial es necesaria por el teorema de Helmholtz. Además, para determinar el flujo de un fluido en ausencia de un gradiente de presión, se puede especificar la diferencia de los valores de la función de corriente a lo largo de un canal 2D, o la integral de línea de la componente tangencial del potencial vectorial alrededor del canal en 3D, dado el flujo por Stokes' teorema. La discusión se limitará a 2D a continuación.

Además restringimos la discusión a los elementos finitos continuos de Hermite que tienen al menos grados de libertad en la primera derivada. Con esto, uno puede dibujar una gran cantidad de elementos triangulares y rectangulares candidatos de la literatura de doblado de placas. Estos elementos tienen derivados como componentes del gradiente. En 2D, el gradiente y el rotacional de un escalar son claramente ortogonales, dados por las expresiones,

{displaystyle {begin{aligned}nabla varphi &=left({frac {partial varphi }{partial x}},,{frac {partial varphi }{partial y}}right)^{mathrm {T} },\[5pt]nabla times varphi &=left({frac {partial varphi }{partial y}},,-{frac {partial varphi }{partial x}}right)^{mathrm {T} }.end{aligned}}}

La adopción de elementos continuos de flexión de placas, el intercambio de los grados de libertad derivados y el cambio del signo del apropiado proporciona muchas familias de elementos de función de flujo.

Tomar el rotacional de los elementos de la función de flujo escalar da elementos de velocidad sin divergencia. El requisito de que los elementos de la función de flujo sean continuos asegura que el componente normal de la velocidad sea continuo a través de las interfaces de los elementos, todo lo que es necesario para que desaparezca la divergencia en estas interfaces.

Las condiciones de contorno son fáciles de aplicar. La función de la corriente es constante en superficies sin flujo, con condiciones de velocidad sin deslizamiento en las superficies. Las diferencias en la función de la corriente a través de los canales abiertos determinan el flujo. No se necesitan condiciones de contorno en los límites abiertos, aunque se pueden usar valores consistentes con algunos problemas. Estas son todas las condiciones de Dirichlet.

Las ecuaciones algebraicas a resolver son simples de configurar, pero por supuesto no son lineales, lo que requiere la iteración de las ecuaciones linealizadas.

Se aplican consideraciones similares a las tres dimensiones, pero la extensión desde 2D no es inmediata debido a la naturaleza vectorial del potencial, y no existe una relación simple entre el gradiente y el rotacional como ocurría en 2D.

Recuperación de presión

Recuperar la presión del campo de velocidad es fácil. La ecuación débil discreta para el gradiente de presión es,

{displaystyle (mathbf {g} _{i},nabla p)=-left(mathbf {g} _{i},left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} _{j}right)-nu left(nabla mathbf {g} _{i}:nabla mathbf {u} _{j}right)+left(mathbf {g} _{i},mathbf {f} ^{I}right)}

donde las funciones de prueba/peso son irrotacionales. Cualquier elemento finito escalar puede ser utilizado. Sin embargo, el campo de gradiente de presión también puede ser de interés. En este caso, se puede utilizar elementos hermitas de escalar para la presión. Para las funciones de prueba/peso ${textstyle mathbf {g} _{i}}$ uno elegiría los elementos vectoriales irrotacionales obtenidos del gradiente del elemento de presión.

Marco de referencia no inercial

El marco rotativo de referencia introduce algunas pseudofuerzas interesantes en las ecuaciones a través del término derivado material. Considere un marco inercial estacionario de referencia ${textstyle K}$ , y un marco de referencia no inercial ${textstyle K'}$ , que se traduce con velocidad ${textstyle mathbf {U} (t)}$ girando con velocidad angular ${textstyle Omega (t)}$ con respecto al marco estacionario. La ecuación Navier-Stokes observada desde el marco no inercial entonces se convierte en

Ecuación de impulso de Navier-Stokes en marco no inercial

${displaystyle rho {frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}=-nabla {bar {p}}+mu ,nabla ^{2}mathbf {u} +{tfrac {1}{3}}mu ,nabla (nabla cdot mathbf {u})+rho mathbf {g} -rho left[2mathbf {Omega } times mathbf {u} +mathbf {Omega } times (mathbf {Omega } times mathbf {x})+{frac {mathrm {d} mathbf {U} }{mathrm {d} t}}+{frac {mathrm {d} mathbf {Omega } }{mathrm {d} t}}times mathbf {x} right].}$

Aquí. ${textstyle mathbf {x} }$ y ${textstyle mathbf {u} }$ se miden en el marco no inercial. El primer término en la paréntesis representa la aceleración Coriolis, el segundo término se debe a la aceleración centrífuga, el tercero se debe a la aceleración lineal ${textstyle K'}$ con respecto a ${textstyle K}$ y el cuarto término se debe a la aceleración angular ${textstyle K'}$ con respecto a ${textstyle K}$ .

Otras ecuaciones

Las ecuaciones de Navier-Stokes son estrictamente una declaración del equilibrio del impulso. Para describir completamente el flujo de fluidos, se necesita más información, la cantidad depende de las suposiciones realizadas. Esta información adicional puede incluir datos de límites (antideslizamiento, superficie capilar, etc.), conservación de masa, balance de energía y/o una ecuación de estado.

Ecuación de continuidad para fluido incompresible

Independientemente de las suposiciones de flujo, generalmente es necesaria una declaración de la conservación de la masa. Esto se logra a través de la ecuación de continuidad de masa, dada en su forma más general como:

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot (rho mathbf {u})=0}

{displaystyle {frac {mathrm {D} rho }{mathrm {D} t}}+rho (nabla cdot mathbf {u})=0.}

Para fluidos incompresibles, la densidad a lo largo de la línea de flujo permanece constante a lo largo del tiempo,

{displaystyle {frac {mathrm {D} rho }{mathrm {D} t}}=0.}

Por lo tanto, la divergencia de la velocidad siempre es cero:

{displaystyle nabla cdot mathbf {u} =0.}

Función de flujo para fluidos 2D incompresibles

Tomar el rizo de la incompresible ecuación Navier-Stokes resulta en la eliminación de la presión. Esto es especialmente fácil de ver si el flujo cartesiano 2D es asumido (como en el caso 3D degenerado con ${textstyle u_{z}=0}$ y ninguna dependencia de nada ${textstyle z}$ ), donde las ecuaciones se reducen a:

{displaystyle {begin{aligned}rho left({frac {partial u_{x}}{partial t}}+u_{x}{frac {partial u_{x}}{partial x}}+u_{y}{frac {partial u_{x}}{partial y}}right)&=-{frac {partial p}{partial x}}+mu left({frac {partial ^{2}u_{x}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u_{x}}{partial y^{2}}}right)+rho g_{x}\rho left({frac {partial u_{y}}{partial t}}+u_{x}{frac {partial u_{y}}{partial x}}+u_{y}{frac {partial u_{y}}{partial y}}right)&=-{frac {partial p}{partial y}}+mu left({frac {partial ^{2}u_{y}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u_{y}}{partial y^{2}}}right)+rho g_{y}.end{aligned}}}

Diferenciando el primero con respecto a ${textstyle y}$ , el segundo con respecto a ${textstyle x}$ y restar las ecuaciones resultantes eliminará la presión y cualquier fuerza conservadora. Para el flujo incompresible, definiendo la función de flujo ${textstyle psi }$ a través de

{displaystyle u_{x}={frac {partial psi }{partial y}};quad u_{y}=-{frac {partial psi }{partial x}}}

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}left(nabla ^{2}psi right)+{frac {partial psi }{partial y}}{frac {partial }{partial x}}left(nabla ^{2}psi right)-{frac {partial psi }{partial x}}{frac {partial }{partial y}}left(nabla ^{2}psi right)=nu nabla ^{4}psi }

Donde ${textstyle nabla ^{4}}$ es el operador biharmónico 2D ${textstyle nu }$ es la viscosidad cinemática, ${textstyle nu ={frac {mu }{p}}}$ . También podemos expresar esto compactamente utilizando el determinante jacobino:

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}left(nabla ^{2}psi right)+{frac {partial left(psinabla ^{2}psi right)}{partial (y,x)}}=nu nabla ^{4}psi.}

Esta única ecuación, junto con las condiciones de contorno apropiadas, describe el flujo de fluidos en 2D, tomando solo la viscosidad cinemática como parámetro. Tenga en cuenta que la ecuación para el flujo progresivo resulta cuando el lado izquierdo se supone cero.

En el flujo axisimétrico, se puede usar otra formulación de función de flujo, llamada función de flujo de Stokes, para describir los componentes de velocidad de un flujo incompresible con una función escalar.

La ecuación incompresible de Navier-Stokes es una ecuación algebraica diferencial que tiene la característica inconveniente de que no existe un mecanismo explícito para hacer avanzar la presión en el tiempo. En consecuencia, se ha realizado un gran esfuerzo para eliminar la presión de todo o parte del proceso computacional. La formulación de la función de corriente elimina la presión pero solo en dos dimensiones ya expensas de introducir derivadas más altas y la eliminación de la velocidad, que es la principal variable de interés.

Propiedades

No linealidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales en el caso general y, por lo tanto, permanecen en casi todas las situaciones reales. En algunos casos, como el flujo unidimensional y el flujo de Stokes (o flujo progresivo), las ecuaciones se pueden simplificar a ecuaciones lineales. La no linealidad hace que la mayoría de los problemas sean difíciles o imposibles de resolver y es el principal contribuyente a la turbulencia que modelan las ecuaciones.

La no linealidad se debe a la aceleración convectiva, que es una aceleración asociada con el cambio de velocidad sobre la posición. Por lo tanto, cualquier flujo convectivo, ya sea turbulento o no, implicará no linealidad. Un ejemplo de flujo convectivo pero laminar (no turbulento) sería el paso de un fluido viscoso (por ejemplo, petróleo) a través de una pequeña tobera convergente. Dichos flujos, ya sea que se puedan resolver exactamente o no, a menudo se pueden estudiar y comprender a fondo.

Turbulencia

La turbulencia es el comportamiento caótico dependiente del tiempo que se observa en muchos flujos de fluidos. Generalmente se cree que se debe a la inercia del fluido en su conjunto: la culminación de la aceleración convectiva y dependiente del tiempo; por lo tanto, los flujos donde los efectos de la inercia son pequeños tienden a ser laminares (el número de Reynolds cuantifica cuánto se ve afectado el flujo por la inercia). Se cree, aunque no se sabe con certeza, que las ecuaciones de Navier-Stokes describen adecuadamente la turbulencia.

La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo turbulento es extremadamente difícil y, debido a las escalas de longitud de mezcla significativamente diferentes que intervienen en el flujo turbulento, la solución estable de esto requiere una resolución de malla tan fina que el cálculo el tiempo se vuelve significativamente inviable para el cálculo o la simulación numérica directa. Los intentos de resolver el flujo turbulento utilizando un solucionador laminar suelen dar como resultado una solución inestable en el tiempo, que no logra converger adecuadamente. Para contrarrestar esto, las ecuaciones promediadas en el tiempo, como las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS), complementadas con modelos de turbulencia, se utilizan en aplicaciones prácticas de dinámica de fluidos computacional (CFD) al modelar flujos turbulentos. Algunos modelos incluyen los modelos Spalart-Allmaras, k-ω, k-ε y SST, que agregan una variedad de ecuaciones adicionales para cerrar las ecuaciones RANS. La simulación de grandes remolinos (LES) también se puede utilizar para resolver estas ecuaciones numéricamente. Este enfoque es computacionalmente más costoso (en tiempo y en memoria de computadora) que RANS, pero produce mejores resultados porque resuelve explícitamente las escalas turbulentas más grandes.

Aplicabilidad

Junto con ecuaciones complementarias (por ejemplo, conservación de la masa) y condiciones de contorno bien formuladas, las ecuaciones de Navier-Stokes parecen modelar el movimiento de fluidos con precisión; incluso los flujos turbulentos parecen (en promedio) estar de acuerdo con las observaciones del mundo real.

Las ecuaciones de Navier-Stokes suponen que el fluido que se estudia es un continuo (es infinitamente divisible y no está compuesto de partículas como átomos o moléculas) y no se mueve a velocidades relativistas. A escalas muy pequeñas o en condiciones extremas, los fluidos reales hechos de moléculas discretas producirán resultados diferentes de los fluidos continuos modelados por las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, la capilaridad de las capas internas en los fluidos aparece para el flujo con gradientes elevados. Para un gran número de Knudsen del problema, la ecuación de Boltzmann puede ser un reemplazo adecuado. En su defecto, uno puede tener que recurrir a la dinámica molecular oa varios métodos híbridos.

Otra limitación es simplemente la naturaleza complicada de las ecuaciones. Existen formulaciones comprobadas para familias de fluidos comunes, pero la aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes a familias menos comunes tiende a generar formulaciones muy complicadas y, a menudo, a problemas de investigación abiertos. Por esta razón, estas ecuaciones suelen escribirse para fluidos newtonianos donde el modelo de viscosidad es lineal; No existen modelos verdaderamente generales para el flujo de otros tipos de fluidos (como la sangre).

Aplicación a problemas específicos

Las ecuaciones de Navier-Stokes, incluso cuando se escriben explícitamente para fluidos específicos, son de naturaleza bastante genérica y su aplicación adecuada a problemas específicos puede ser muy diversa. Esto se debe en parte a que existe una enorme variedad de problemas que se pueden modelar, que van desde los más simples como la distribución de la presión estática hasta los más complicados como el flujo multifásico impulsado por la tensión superficial.

Por lo general, la aplicación a problemas específicos comienza con algunas suposiciones de flujo y la formulación de condiciones iniciales/de contorno, esto puede ser seguido por un análisis de escala para simplificar aún más el problema.

Visualización de a) flujo paralelo y b) flujo radial.

Flujo paralelo

Supongamos un flujo estacionario, paralelo, unidimensional, no convectivo impulsado por la presión entre placas paralelas, el problema de valor límite escalado (sin dimensiones) resultante es:

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}u}{mathrm {d} y^{2}}}=-1;quad u(0)=u(1)=0.}

La condición límite es la condición de no deslizamiento. Este problema se resuelve fácilmente para el campo de flujo:

{displaystyle u(y)={frac {y-y^{2}}{2}}.}

A partir de este punto, se pueden obtener fácilmente más cantidades de interés, como la fuerza de arrastre viscoso o el caudal neto.

Flujo radial

Pueden surgir dificultades cuando el problema se vuelve un poco más complicado. Un giro aparentemente modesto en el flujo paralelo anterior sería el flujo radial entre placas paralelas; esto implica convección y, por lo tanto, no linealidad. El campo de velocidad puede ser representado por una función $f (z)$ que debe satisfacer:

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}f}{mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;quad f(-1)=f(1)=0.}

Esta ecuación diferencial ordinaria es lo que se obtiene cuando las ecuaciones Navier-Stokes están escritas y las suposiciones de flujo aplicadas (adicionalmente, se resuelve el gradiente de presión). El término no lineal hace de este un problema muy difícil de resolver analíticamente (puede encontrarse una solución larga implícita que implica integrales elípticos y raíces de polinomios cúbicos). Problemas con la existencia real de soluciones surgen para $1.41}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R■1.41{textstyle R confidencial1.41}1.41}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df9f44c6a5297ae06beaacd5ee2d2343db7b2bb" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.997ex; height:2.176ex;"/>$ (aproximadamente; esto no es √2), el parámetro ${textstyle R}$ siendo el número Reynolds con escalas apropiadamente elegidas. Este es un ejemplo de supuestos de flujo que pierden su aplicabilidad, y un ejemplo de la dificultad en los flujos de número "alto" de Reynolds.

Convección

Un tipo de convección natural que puede describirse mediante la ecuación de Navier-Stokes es la convección de Rayleigh-Bénard. Es uno de los fenómenos de convección más estudiados debido a su accesibilidad analítica y experimental.

Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes

Existen algunas soluciones exactas para las ecuaciones de Navier-Stokes. Ejemplos de casos degenerados, con los términos no lineales en las ecuaciones de Navier-Stokes iguales a cero, son el flujo de Poiseuille, el flujo de Couette y la capa límite oscilatoria de Stokes. Pero también existen ejemplos más interesantes, soluciones a las ecuaciones no lineales completas, como el flujo de Jeffery-Hamel, el flujo de remolino de Von Kármán, el flujo de punto de estancamiento, el chorro de Landau-Squire y el vórtice de Taylor-Green. Tenga en cuenta que la existencia de estas soluciones exactas no implica que sean estables: la turbulencia puede desarrollarse en números de Reynolds más altos.

Bajo suposiciones adicionales, las partes componentes pueden separarse.

Un ejemplo bidimensional

Por ejemplo, en el caso de un dominio planar sin límites con bidimensional — incompresible y estacionario — flujo en coordenadas polares $() r, φ)$ , los componentes de velocidad $() u r, u φ)$ y presión $p$ son:

{displaystyle {begin{aligned}u_{r}&={frac {A}{r}},\u_{varphi }&=Bleft({frac {1}{r}}-r^{{frac {A}{nu }}+1}right),\p&=-{frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{frac {2B^{2}nu r^{frac {A}{nu }}}{A}}+{frac {B^{2}r^{left({frac {2A}{nu }}+2right)}}{{frac {2A}{nu }}+2}}end{aligned}}}

Donde $A$ y $B$ son constantes arbitrarias. Esta solución es válida en el dominio $r \geq 1$ y para $A -2 .$ .

En las coordenadas cartesianas, cuando la viscosidad es cero ( $. = 0$ ), esto es:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {v} (x,y)&={frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{begin{pmatrix}Ax+By\Ay-Bxend{pmatrix}},\p(x,y)&=-{frac {A^{2}+B^{2}}{2left(x^{2}+y^{2}right)}}end{aligned}}}

Un ejemplo tridimensional

Por ejemplo, en el caso de un dominio Euclideano sin límites con tridimensional — incompresible, estacionario y con cero viscosidad ( $. = 0$ ) — flujo radial en coordenadas cartesianas $() x, Sí., z)$ , el vector de velocidad $v$ y presión $p$ son:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {v} (x,y,z)&={frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}},\p(x,y,z)&=-{frac {A^{2}}{2left(x^{2}+y^{2}+z^{2}right)}}.end{aligned}}}

Hay una singularidad en $x = Sí. = z = 0$ .

Una solución tridimensional de vórtice en estado estacionario

Modelo de líneas de flujo a lo largo de una fibra Hopf.

Un ejemplo de estado estable sin singularidades viene de considerar el flujo a lo largo de las líneas de una fibra Hopf. Vamos ${textstyle r}$ ser un radio constante de la bobina interior. Un conjunto de soluciones es dado por:

{displaystyle {begin{aligned}rho (x,y,z)&={frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\p(x,y,z)&={frac {-A^{2}B}{left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{3}}}\mathbf {u} (x,y,z)&={frac {A}{left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{2}}}{begin{pmatrix}2(-ry+xz)\2(rx+yz)\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}end{pmatrix}}\g&=0\mu &=0end{aligned}}}

para constantes arbitrarias ${textstyle A}$ y ${textstyle B}$ . Esta es una solución en un gas no viscoso (fluido comprimido) cuya densidad, velocidades y presión va a cero lejos del origen. (Nota esto no es una solución al problema de Clay Millennium porque eso se refiere a fluidos incompresibles donde ${textstyle rho }$ es una constante, y tampoco trata de la singularidad de las ecuaciones Navier-Stokes con respecto a las propiedades de turbulencia.) También vale la pena señalar que los componentes del vector de velocidad son exactamente los de la parametrización de cuádruple pitagórico. Otras opciones de densidad y presión son posibles con el mismo campo de velocidad:

Otras opciones de densidad y presión

Otra opción de presión y densidad con el mismo vector de velocidad arriba es uno donde la presión y densidad caen a cero en el origen y son más altos en el bucle central $z = 0$ , $x 2 + Sí. 2 = r 2$ :

{displaystyle {begin{aligned}rho (x,y,z)&={frac {20Bleft(x^{2}+y^{2}right)}{left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{3}}}\p(x,y,z)&={frac {-A^{2}B}{left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{4}}}+{frac {-4A^{2}Bleft(x^{2}+y^{2}right)}{left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{5}}}.end{aligned}}}

De hecho en general hay soluciones simples para cualquier función polinomia $f$ donde la densidad es:

{displaystyle rho (x,y,z)={frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}fleft({frac {x^{2}+y^{2}}{left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{2}}}right).}

Soluciones periódicas tridimensionales viscosas

Se describen dos ejemplos de soluciones viscosas periódicas totalmente tridimensionales. Estas soluciones se definen en un torus tridimensional ${displaystyle mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$ y se caracterizan por una helicidad positiva y negativa, respectivamente. La solución con helicidad positiva es dada por:

{displaystyle {begin{aligned}u_{x}&={frac {4{sqrt {2}}}{3{sqrt {3}}}},U_{0}left[,sin(kx-pi /3)cos(ky+pi /3)sin(kz+pi /2)-cos(kz-pi /3)sin(kx+pi /3)sin(ky+pi /2),right]e^{-3nu kt}\u_{y}&={frac {4{sqrt {2}}}{3{sqrt {3}}}},U_{0}left[,sin(ky-pi /3)cos(kz+pi /3)sin(kx+pi /2)-cos(kx-pi /3)sin(ky+pi /3)sin(kz+pi /2),right]e^{-3nu kt}\u_{z}&={frac {4{sqrt {2}}}{3{sqrt {3}}}},U_{0}left[,sin(kz-pi /3)cos(kx+pi /3)sin(ky+pi /2)-cos(ky-pi /3)sin(kz+pi /3)sin(kx+pi /2),right]e^{-3nu kt}end{aligned}}}

{displaystyle k=2pi /L}

{displaystyle U_{0}^{2}/2}

t=0

{displaystyle p=p_{0}-rho _{0}|{boldsymbol {u}}|^{2}/2}

p_{0}

rho _{0}

{displaystyle omega ={sqrt {3}},k,{boldsymbol {u}}}

Diagramas de Wild

Los diagramas de Wyld son gráficos contables que corresponden a las ecuaciones de Navier-Stokes a través de una expansión de perturbaciones de la mecánica fundamental del continuo. Similares a los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos, estos diagramas son una extensión de la técnica de Keldysh para procesos de no equilibrio en dinámica de fluidos. En otras palabras, estos diagramas asignan gráficos a los fenómenos (a menudo) turbulentos en fluidos turbulentos al permitir que las partículas de fluido correlacionadas e interactuantes obedezcan procesos estocásticos asociados a funciones pseudoaleatorias en distribuciones de probabilidad.

Representaciones en 3D

Tenga en cuenta que las fórmulas de esta sección hacen uso de la notación de línea única para derivados parciales, donde, por ejemplo. ${textstyle partial _{x}u}$ significa el derivado parcial de ${textstyle u}$ con respecto a ${textstyle x}$ , y ${textstyle partial _{y}^{2}f_{theta }}$ significa el derivado parcial de segundo orden ${textstyle f_{theta }}$ con respecto a ${textstyle y}$ .

Un documento de 2022 proporciona una solución menos costosa, dinámica y recurrente de la ecuación de Navier-Stokes para flujos de fluidos turbulentos en 3D. En escalas de tiempo convenientemente cortas, la dinámica de la turbulencia es determinista.

Coordenadas cartesianas

De la forma general de los Navier-Stokes, con el vector de velocidad expandido como ${textstyle mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ , a veces, respectivamente ${textstyle u}$ , ${textstyle v}$ , ${textstyle w}$ , podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente,

{displaystyle {begin{aligned}x: &rho left({partial _{t}u_{x}}+u_{x},{partial _{x}u_{x}}+u_{y},{partial _{y}u_{x}}+u_{z},{partial _{z}u_{x}}right)\&quad =-partial _{x}p+mu left({partial _{x}^{2}u_{x}}+{partial _{y}^{2}u_{x}}+{partial _{z}^{2}u_{x}}right)+{frac {1}{3}}mu partial _{x}left({partial _{x}u_{x}}+{partial _{y}u_{y}}+{partial _{z}u_{z}}right)+rho g_{x}\end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}y: &rho left({partial _{t}u_{y}}+u_{x}{partial _{x}u_{y}}+u_{y}{partial _{y}u_{y}}+u_{z}{partial _{z}u_{y}}right)\&quad =-{partial _{y}p}+mu left({partial _{x}^{2}u_{y}}+{partial _{y}^{2}u_{y}}+{partial _{z}^{2}u_{y}}right)+{frac {1}{3}}mu partial _{y}left({partial _{x}u_{x}}+{partial _{y}u_{y}}+{partial _{z}u_{z}}right)+rho g_{y}\end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}z: &rho left({partial _{t}u_{z}}+u_{x}{partial _{x}u_{z}}+u_{y}{partial _{y}u_{z}}+u_{z}{partial _{z}u_{z}}right)\&quad =-{partial _{z}p}+mu left({partial _{x}^{2}u_{z}}+{partial _{y}^{2}u_{z}}+{partial _{z}^{2}u_{z}}right)+{frac {1}{3}}mu partial _{z}left({partial _{x}u_{x}}+{partial _{y}u_{y}}+{partial _{z}u_{z}}right)+rho g_{z}.end{aligned}}}

Tenga en cuenta que la gravedad se ha contabilizado como fuerza corporal, y los valores de ${textstyle g_{x}}$ , ${textstyle g_{y}}$ , ${textstyle g_{z}}$ dependerá de la orientación de la gravedad con respecto al conjunto elegido de coordenadas.

La ecuación de continuidad dice:

{displaystyle partial _{t}rho +partial _{x}(rho u_{x})+partial _{y}(rho u_{y})+partial _{z}(rho u_{z})=0.}

Cuando el flujo es incompresible, ${textstyle rho }$ no cambia para ninguna partícula fluida, y su derivación material desaparece: ${textstyle {frac {mathrm {D} rho }{mathrm {D} t}}=0}$ . La ecuación de continuidad se reduce a:

{displaystyle partial _{x}u_{x}+partial _{y}u_{y}+partial _{z}u_{z}=0.}

Por lo tanto, para la versión incompresible de la ecuación de Navier-Stokes, la segunda parte de los términos viscosos desaparece (consulte Flujo incompresible).

Este sistema de cuatro ecuaciones comprende la forma más utilizada y estudiada. Aunque comparativamente más compacto que otras representaciones, este sigue siendo un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales parciales para las cuales las soluciones son difíciles de obtener.

Coordenadas cilíndricas

Un cambio de variables en las ecuaciones cartesianas dará las siguientes ecuaciones de impulso para ${textstyle r}$ , ${textstyle phi}$ , y ${textstyle z}$

{displaystyle {begin{aligned}r: &rho left({partial _{t}u_{r}}+u_{r}{partial _{r}u_{r}}+{frac {u_{varphi }}{r}}{partial _{varphi }u_{r}}+u_{z}{partial _{z}u_{r}}-{frac {u_{varphi }^{2}}{r}}right)\&quad =-{partial _{r}p}\&qquad +mu left({frac {1}{r}}partial _{r}left(r{partial _{r}u_{r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{partial _{varphi }^{2}u_{r}}+{partial _{z}^{2}u_{r}}-{frac {u_{r}}{r^{2}}}-{frac {2}{r^{2}}}{partial _{varphi }u_{varphi }}right)\&qquad +{frac {1}{3}}mu partial _{r}left({frac {1}{r}}{partial _{r}left(ru_{r}right)}+{frac {1}{r}}{partial _{varphi }u_{varphi }}+{partial _{z}u_{z}}right)\&qquad +rho g_{r}\[8px]end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}varphi: &rho left({partial _{t}u_{varphi }}+u_{r}{partial _{r}u_{varphi }}+{frac {u_{varphi }}{r}}{partial _{varphi }u_{varphi }}+u_{z}{partial _{z}u_{varphi }}+{frac {u_{r}u_{varphi }}{r}}right)\&quad =-{frac {1}{r}}{partial _{varphi }p}\&qquad +mu left({frac {1}{r}} partial _{r}left(r{partial _{r}u_{varphi }}right)+{frac {1}{r^{2}}}{partial _{varphi }^{2}u_{varphi }}+{partial _{z}^{2}u_{varphi }}+{frac {2}{r^{2}}}{partial _{varphi }u_{r}}-{frac {u_{varphi }}{r^{2}}}right)\&qquad +{frac {1}{3}}mu {frac {1}{r}}partial _{varphi }left({frac {1}{r}}{partial _{r}left(ru_{r}right)}+{frac {1}{r}}{partial _{varphi }u_{varphi }}+{partial _{z}u_{z}}right)\&qquad +rho g_{varphi }\[8px]end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}z: &rho left({partial _{t}u_{z}}+u_{r}{partial _{r}u_{z}}+{frac {u_{varphi }}{r}}{partial _{varphi }u_{z}}+u_{z}{partial _{z}u_{z}}right)\&quad =-{partial _{z}p}\&qquad +mu left({frac {1}{r}}partial _{r}left(r{partial _{r}u_{z}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{partial _{varphi }^{2}u_{z}}+{partial _{z}^{2}u_{z}}right)\&qquad +{frac {1}{3}}mu partial _{z}left({frac {1}{r}}{partial _{r}left(ru_{r}right)}+{frac {1}{r}}{partial _{varphi }u_{varphi }}+{partial _{z}u_{z}}right)\&qquad +rho g_{z}.end{aligned}}}

Por lo general, los componentes de la gravedad no serán constantes; sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones, las coordenadas se eligen de modo que los componentes de la gravedad sean constantes o se supone que la gravedad se contrarresta con un campo de presión (por ejemplo, el flujo en una tubería horizontal es tratados normalmente sin gravedad y sin gradiente de presión vertical). La ecuación de continuidad es:

{displaystyle {partial _{t}rho }+{frac {1}{r}}partial _{r}left(rho ru_{r}right)+{frac {1}{r}}{partial _{varphi }left(rho u_{varphi }right)}+{partial _{z}left(rho u_{z}right)}=0.}

Esta representación cilíndrica de las ecuaciones incompresibles Navier-Stokes es la segunda más comúnmente vista (la primera de ellas cartesiana). Las coordenadas cilíndricas se eligen para aprovechar la simetría, para que un componente de velocidad pueda desaparecer. Un caso muy común es el flujo axisimétrico con la suposición de no velocidad tangencial ( ${textstyle u_{phi }=0}$ ), y las cantidades restantes son independientes de ${textstyle phi}$ :

{displaystyle {begin{aligned}rho left({partial _{t}u_{r}}+u_{r}{partial _{r}u_{r}}+u_{z}{partial _{z}u_{r}}right)&=-{partial _{r}p}+mu left({frac {1}{r}}partial _{r}left(r{partial _{r}u_{r}}right)+{partial _{z}^{2}u_{r}}-{frac {u_{r}}{r^{2}}}right)+rho g_{r}\rho left({partial _{t}u_{z}}+u_{r}{partial _{r}u_{z}}+u_{z}{partial _{z}u_{z}}right)&=-{partial _{z}p}+mu left({frac {1}{r}}partial _{r}left(r{partial _{r}u_{z}}right)+{partial _{z}^{2}u_{z}}right)+rho g_{z}\{frac {1}{r}}partial _{r}left(ru_{r}right)+{partial _{z}u_{z}}&=0.end{aligned}}}

Coordenadas esféricas

En las coordenadas esféricas, las ${textstyle r}$ , ${textstyle phi}$ , y ${textstyle theta }$ ecuaciones de impulso son (nota la convención utilizada: ${textstyle theta }$ es ángulo polar, o colatitud, ${textstyle 0leq theta leq pi }$ ):

{displaystyle {begin{aligned}r: &rho left({partial _{t}u_{r}}+u_{r}{partial _{r}u_{r}}+{frac {u_{varphi }}{rsin theta }}{partial _{varphi }u_{r}}+{frac {u_{theta }}{r}}{partial _{theta }u_{r}}-{frac {u_{varphi }^{2}+u_{theta }^{2}}{r}}right)\&quad =-{partial _{r}p}\&qquad +mu left({frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(r^{2}{partial _{r}u_{r}}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{partial _{varphi }^{2}u_{r}}+{frac {1}{r^{2}sin theta }}partial _{theta }left(sin theta {partial _{theta }u_{r}}right)-2{frac {u_{r}+{partial _{theta }u_{theta }}+u_{theta }cot theta }{r^{2}}}-{frac {2}{r^{2}sin theta }}{partial _{varphi }u_{varphi }}right)\&qquad +{frac {1}{3}}mu partial _{r}left({frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(r^{2}u_{r}right)+{frac {1}{rsin theta }}partial _{theta }left(u_{theta }sin theta right)+{frac {1}{rsin theta }}{partial _{varphi }u_{varphi }}right)\&qquad +rho g_{r}\[8px]end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}varphi: &rho left({partial _{t}u_{varphi }}+u_{r}{partial _{r}u_{varphi }}+{frac {u_{varphi }}{rsin theta }}{partial _{varphi }u_{varphi }}+{frac {u_{theta }}{r}}{partial _{theta }u_{varphi }}+{frac {u_{r}u_{varphi }+u_{varphi }u_{theta }cot theta }{r}}right)\&quad =-{frac {1}{rsin theta }}{partial _{varphi }p}\&qquad +mu left({frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(r^{2}{partial _{r}u_{varphi }}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{partial _{varphi }^{2}u_{varphi }}+{frac {1}{r^{2}sin theta }}partial _{theta }left(sin theta {partial _{theta }u_{varphi }}right)+{frac {2sin theta {partial _{varphi }u_{r}}+2cos theta {partial _{varphi }u_{theta }}-u_{varphi }}{r^{2}sin ^{2}theta }}right)\&qquad +{frac {1}{3}}mu {frac {1}{rsin theta }}partial _{varphi }left({frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(r^{2}u_{r}right)+{frac {1}{rsin theta }}partial _{theta }left(u_{theta }sin theta right)+{frac {1}{rsin theta }}{partial _{varphi }u_{varphi }}right)\&qquad +rho g_{varphi }\[8px]end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}theta: &rho left({partial _{t}u_{theta }}+u_{r}{partial _{r}u_{theta }}+{frac {u_{varphi }}{rsin theta }}{partial _{varphi }u_{theta }}+{frac {u_{theta }}{r}}{partial _{theta }u_{theta }}+{frac {u_{r}u_{theta }-u_{varphi }^{2}cot theta }{r}}right)\&quad =-{frac {1}{r}}{partial _{theta }p}\&qquad +mu left({frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(r^{2}{partial _{r}u_{theta }}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{partial _{varphi }^{2}u_{theta }}+{frac {1}{r^{2}sin theta }}partial _{theta }left(sin theta {partial _{theta }u_{theta }}right)+{frac {2}{r^{2}}}{partial _{theta }u_{r}}-{frac {u_{theta }+2cos theta {partial _{varphi }u_{varphi }}}{r^{2}sin ^{2}theta }}right)\&qquad +{frac {1}{3}}mu {frac {1}{r}}partial _{theta }left({frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(r^{2}u_{r}right)+{frac {1}{rsin theta }}partial _{theta }left(u_{theta }sin theta right)+{frac {1}{rsin theta }}{partial _{varphi }u_{varphi }}right)\&qquad +rho g_{theta }.end{aligned}}}

La continuidad de la masa se leerá:

{displaystyle {partial _{t}rho }+{frac {1}{r^{2}}}partial _{r}left(rho r^{2}u_{r}right)+{frac {1}{rsin theta }}{partial _{varphi }(rho u_{varphi })}+{frac {1}{rsin theta }}partial _{theta }left(sin theta rho u_{theta }right)=0.}

Estas ecuaciones podrían ser (slightly) compactadas por, por ejemplo, factoring ${textstyle {frac {1}{r^{2}}}}$ de los términos viscosos. Sin embargo, hacerlo alteraría indeseablemente la estructura del Laplaciano y otras cantidades.

Uso de las ecuaciones de Navier-Stokes en los juegos

Las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan mucho en los videojuegos para modelar una gran variedad de fenómenos naturales. Las simulaciones de fluidos gaseosos a pequeña escala, como fuego y humo, a menudo se basan en el artículo seminal "Dinámica de fluidos en tiempo real para juegos" de Jos Stam, que elabora uno de los métodos propuestos en el artículo anterior y más famoso de Stam, "Stable Fluids" de 1999. Stam propone una simulación de fluidos estable utilizando un método de solución de Navier-Stokes de 1968, junto con un esquema de advección semi-lagrangiano incondicionalmente estable, como se propuso por primera vez en 1992.

Las implementaciones más recientes basadas en este trabajo se ejecutan en la unidad de procesamiento de gráficos (GPU) de los sistemas de juego en lugar de la unidad de procesamiento central (CPU) y logran un grado de rendimiento mucho mayor. Se han propuesto muchas mejoras al trabajo original de Stam, que adolece inherentemente de una alta disipación numérica tanto en velocidad como en masa.

Puede encontrar una introducción a la simulación de fluidos interactiva en el curso SIGGRAPH de ACM de 2007, Simulación de fluidos para animación por computadora.

Referencias generales

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Batchelor, G. K. (1967), Introducción a la dinámica fluida, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66396-0
Currie, I. G. (1974), Mecánica fundamental de fluidos, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-015000-3
V. Girault y P. A. Raviart. Métodos de Elemento Finito para Ecuaciones Navier-Stokes: Teoría y Algoritmos. Serie Springer en Matemáticas Computacionales. Springer-Verlag, 1986.
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), mecánicos fluidos, vol.Curso de Física Teórica Volumen 6 (2a edición revisada), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0, OCLC 15017127
Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor ' Francis, Londres, ISBN 978-0-415-27237-7
Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Prensas politechniques et universitaires romandes
Smits, Alexander J. (2014), Una introducción física a la mecánica fluida, Wiley, ISBN 0-47-1253499
Temam, Roger (1984): Ecuaciones Navier-Stokes: Teoría y Análisis Numérico, ACM Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2737-6
White, Frank M. (2006), Flujo líquido viscoso, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-124493-0

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