Ecuaciones de maxwell

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Ecuaciones que describen el electromagnetismo clásico

Las ecuaciones de Maxwell, o ecuaciones de Maxwell-Heaviside, son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que, junto con la ley de fuerza de Lorentz, forman la base de electromagnetismo clásico, óptica clásica y circuitos eléctricos. Las ecuaciones proporcionan un modelo matemático para las tecnologías eléctricas, ópticas y de radio, como la generación de energía, los motores eléctricos, la comunicación inalámbrica, las lentes, el radar, etc. Describen cómo las cargas, las corrientes y los cambios de los campos generan campos eléctricos y magnéticos.. Las ecuaciones llevan el nombre del físico y matemático James Clerk Maxwell, quien, en 1861 y 1862, publicó una forma temprana de las ecuaciones que incluía la ley de fuerza de Lorentz. Maxwell utilizó por primera vez las ecuaciones para proponer que la luz es un fenómeno electromagnético. La forma moderna de las ecuaciones en su formulación más común se atribuye a Oliver Heaviside.

Las ecuaciones de Maxwell se pueden combinar para demostrar cómo las fluctuaciones en los campos electromagnéticos (ondas) se propagan a una velocidad constante en el vacío, c (299792458 m/s). Conocidas como radiación electromagnética, estas ondas ocurren en varias longitudes de onda para producir un espectro de radiación desde ondas de radio hasta rayos gamma.

Las ecuaciones tienen dos variantes principales. Las ecuaciones microscópicas tienen aplicabilidad universal pero son difíciles de manejar para los cálculos comunes. Relacionan los campos eléctricos y magnéticos con la carga total y la corriente total, incluidas las cargas y corrientes complicadas en los materiales a escala atómica. Las ecuaciones macroscópicas definen dos nuevos campos auxiliares que describen el comportamiento a gran escala de la materia sin tener que considerar las cargas a escala atómica y los fenómenos cuánticos como los espines. Sin embargo, su uso requiere parámetros determinados experimentalmente para una descripción fenomenológica de la respuesta electromagnética de los materiales. El término "ecuaciones de Maxwell" a menudo también se utiliza para formulaciones alternativas equivalentes. Se prefieren las versiones de las ecuaciones de Maxwell basadas en los potenciales escalares eléctricos y magnéticos para resolver explícitamente las ecuaciones como un problema de valor límite, mecánica analítica o para usar en mecánica cuántica. La formulación covariante (en el espacio-tiempo en lugar de espacio y tiempo por separado) pone de manifiesto la compatibilidad de las ecuaciones de Maxwell con la relatividad especial. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo, comúnmente utilizadas en física gravitacional y de alta energía, son compatibles con la relatividad general. De hecho, Albert Einstein desarrolló la relatividad especial y general para acomodar la velocidad invariable de la luz, consecuencia de las ecuaciones de Maxwell, con el principio de que solo el movimiento relativo tiene consecuencias físicas.

La publicación de las ecuaciones marcó la unificación de una teoría para fenómenos previamente descritos por separado: magnetismo, electricidad, luz y radiación asociada. Desde mediados del siglo XX, se ha entendido que las ecuaciones de Maxwell no dan una descripción exacta de los fenómenos electromagnéticos, sino que son un límite clásico de la teoría más precisa de la electrodinámica cuántica.

Historia de las ecuaciones

Descripciones conceptuales

Ley de Gauss

La ley de Gauss describe la relación entre un campo eléctrico estático y las cargas eléctricas: un campo eléctrico estático se aleja de las cargas positivas y apunta hacia las cargas negativas, y la salida neta del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada, incluida la carga ligada debido a la polarización del material. El coeficiente de la proporción es la permitividad del espacio libre.

Ley de Gauss para el magnetismo

La ley de Gauss para el magnetismo: las líneas de campo magnético nunca comienzan ni terminan pero forman lazos o se extienden a la infinidad como se muestra aquí con el campo magnético debido a un anillo de corriente.

La ley de Gauss para el magnetismo establece que las cargas eléctricas no tienen análogos magnéticos, llamados monopolos magnéticos; no existen polos magnéticos norte o sur de forma aislada. En cambio, el campo magnético de un material se atribuye a un dipolo y la salida neta del campo magnético a través de una superficie cerrada es cero. Los dipolos magnéticos pueden representarse como bucles de corriente o pares inseparables de "cargas magnéticas" iguales y opuestas. Precisamente, el flujo magnético total a través de una superficie gaussiana es cero y el campo magnético es un campo vectorial solenoidal.

Ley de Faraday

En una tormenta geomagnética, un aumento en el flujo de partículas cargadas altera temporalmente el campo magnético de la Tierra, que induce los campos eléctricos en la atmósfera de la Tierra, causando así aumentos en las redes eléctricas. (No a escala.)

La versión de Maxwell-Faraday de la ley de inducción de Faraday describe cómo un campo magnético variable en el tiempo se corresponde con el rotacional de un campo eléctrico. En forma integral, establece que el trabajo por unidad de carga requerido para mover una carga alrededor de un circuito cerrado es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie cerrada.

La inducción electromagnética es el principio operativo detrás de muchos generadores eléctricos: por ejemplo, un imán de barra giratorio crea un campo magnético cambiante y genera un campo eléctrico en un cable cercano.

Ley de Ampère con adición de Maxwell

La memoria de núcleo magnético (1954) es una aplicación de la ley de Ampère. Cada núcleo almacena un poco de datos.

La ley original de Ampère establece que los campos magnéticos se relacionan con la corriente eléctrica. La adición de Maxwell establece que también se relacionan con campos eléctricos cambiantes, que Maxwell llamó corriente de desplazamiento. La forma integral establece que las corrientes eléctricas y de desplazamiento están asociadas con un campo magnético proporcional a lo largo de cualquier curva envolvente.

La adición de Maxwell a la ley de Ampère es importante porque, de lo contrario, las leyes de Ampère y Gauss deben ajustarse para campos estáticos. Como consecuencia, predice que se produce un campo magnético giratorio con un campo eléctrico cambiante. Otra consecuencia es la existencia de ondas electromagnéticas autosuficientes que viajan a través del espacio vacío.

La velocidad calculada para las ondas electromagnéticas, que podría predecirse a partir de experimentos con cargas y corrientes, coincide con la velocidad de la luz; de hecho, la luz es una forma de radiación electromagnética (al igual que los rayos X, las ondas de radio y otras). Maxwell entendió la conexión entre las ondas electromagnéticas y la luz en 1861, unificando así las teorías del electromagnetismo y la óptica.

Formulación en términos de campos eléctricos y magnéticos (versión microscópica o en vacío)

En la formulación de campo eléctrico y magnético hay cuatro ecuaciones que determinan los campos para una distribución de carga y corriente dada. Una ley de la naturaleza separada, la ley de fuerza de Lorentz, describe cómo, a la inversa, los campos eléctricos y magnéticos actúan sobre las partículas cargadas y las corrientes. Maxwell incluyó una versión de esta ley en las ecuaciones originales pero, por convención, ya no se incluye. El formalismo de cálculo vectorial a continuación, el trabajo de Oliver Heaviside, se ha convertido en estándar. Es manifiestamente invariable en rotación y, por lo tanto, matemáticamente mucho más transparente que las 20 ecuaciones originales de Maxwell en componentes x, y, z. Las formulaciones relativistas son aún más simétricas y manifiestamente invariantes de Lorentz. Para las mismas ecuaciones expresadas mediante cálculo tensorial o formas diferenciales, consulte § Formulaciones alternativas.

Las formulaciones diferencial e integral son matemáticamente equivalentes; ambos son útiles. La formulación integral relaciona campos dentro de una región del espacio con campos en el límite y, a menudo, se puede usar para simplificar y calcular directamente campos a partir de distribuciones simétricas de cargas y corrientes. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales son puramente locales y son un punto de partida más natural para calcular los campos en situaciones más complicadas (menos simétricas), por ejemplo usando análisis de elementos finitos.

Clave de la notación

Los símbolos en negrita representan cantidades vectoriales y los símbolos en cursiva representan cantidades escalares, a menos que se indique lo contrario. Las ecuaciones introducen el campo eléctrico, $E$ , un campo vectorial y el campo magnético, $B$ , un campo de pseudovector, cada uno de los cuales generalmente tiene una dependencia de tiempo y ubicación. las fuentes son

la densidad total de carga eléctrica (carga total por volumen de unidad), $***$ , y
la densidad total de corriente eléctrica (actualidad total por área unidad), $J$ .

Las constantes universales que aparecen en las ecuaciones (las dos primeras explícitamente solo en la formulación de unidades SI) son:

de espacio libre, $ε 0$ , y
la permeabilidad del espacio libre, $μ 0$ , y
la velocidad de la luz, ${displaystyle c={frac {1}{sqrt {varepsilon _{0}mu _{0}}}}}$

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales,

el símbolo nabla, $Silencio$ , denota el operador tridimensional gradiente, del,
el $\cdot$ símbolo (pronunciado "del punto") denota el operador de divergencia,
el $.$ símbolo (pronunciado "la cruz") denota el operador de rizo.

Ecuaciones integrales

En las ecuaciones integrales,

$Ω$ es cualquier volumen con superficie cerrada $Ω$ , y
$.$ es cualquier superficie con curva de límite cerrado $\partial$ ,

Las ecuaciones son un poco más fáciles de interpretar con superficies y volúmenes independientes del tiempo. Las superficies y los volúmenes independientes del tiempo son "fijos" y no cambian en un intervalo de tiempo dado. Por ejemplo, dado que la superficie es independiente del tiempo, podemos traer la diferenciación bajo el signo integral en la ley de Faraday:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}iint _{Sigma }mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} =iint _{Sigma }{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}cdot mathrm {d} mathbf {S} ,,}

${scriptstyle partial Omega }$ es una superficie integral sobre la superficie fronteriza $Ω$ , con el bucle que indica la superficie se cierra
$iiint _{Omega }$ es un volumen integral sobre el volumen $Ω$ ,
$oint _{partial Sigma }$ es una línea integral alrededor de la curva de límite $\partial$ , con el bucle que indica la curva está cerrada.
$iint _{Sigma }$ es una superficie integral sobre la superficie $.$ ,
El total Cargo eléctrico $Q$ adjuntas $Ω$ es el volumen integral sobre $Ω$ de la densidad de carga $***$ (ver la sección de formulación "macroscópica" a continuación): ${displaystyle Q=iiint _{Omega }rho mathrm {d} V,}$ Donde $d V$ es el elemento de volumen.
El neto corriente eléctrica $I$ es la superficie integral de la densidad de corriente eléctrica $J$ pasando por una superficie fija, $.$ : ${displaystyle I=iint _{Sigma }mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$ Donde $d S$ denota el elemento vectorial diferencial de la superficie $S$ , normal a la superficie $.$ . (El área del vector es a veces denotada por $A$ en lugar de $S$ , pero este conflicto con la notación para el potencial vector magnético).

Formulación en la convención de unidades SI

Nombre	Ecuaciones integrales	Ecuaciones diferenciales
Ley de Gauss	${scriptstyle partial Omega }$ $mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} ={frac {1}{varepsilon _{0}}}iiint _{Omega }rho ,mathrm {d} V$	$nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon _{0}}}$
Ley de Gauss para el magnetismo	${scriptstyle partial Omega }$ $mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} =0$	$nabla cdot mathbf {B} =0$
Ecuación de Maxwell-Faraday (La ley de inducción de Faraday)	$oint _{partial Sigma }mathbf {E} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}iint _{Sigma }mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S}$	$nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}$
Ampère's circuital law (with Maxwell's addition)	${displaystyle {begin{aligned}oint _{partial Sigma }&mathbf {B} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=mu _{0}left(iint _{Sigma }mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} +varepsilon _{0}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}iint _{Sigma }mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} right)\end{aligned}}}$	$nabla times mathbf {B} =mu _{0}left(mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right)$

Formulación en convención de unidades gaussianas

Las definiciones de carga, campo eléctrico y campo magnético se pueden modificar para simplificar el cálculo teórico mediante la absorción de factores dimensionados de $ε 0$ y $μ 0$ en las unidades de cálculo, por convención. Con un cambio correspondiente en la convención de la ley de fuerza de Lorentz, esto produce la misma física, es decir, trayectorias de partículas cargadas o trabajo realizado por un motor eléctrico. Estas definiciones a menudo se prefieren en física teórica y de alta energía, donde es natural tomar el campo eléctrico y magnético con las mismas unidades, para simplificar la apariencia del tensor electromagnético: el objeto covariante de Lorentz que unifica el campo eléctrico y magnético contendría entonces componentes con unidad y dimensión uniforme. Tales definiciones modificadas se usan convencionalmente con las unidades gaussianas (CGS). Usando estas definiciones y convenciones, coloquialmente "en unidades gaussianas", las ecuaciones de Maxwell se convierten en:

Nombre	Ecuaciones integrales	Ecuaciones diferenciales
Ley de Gauss	${scriptstyle partial Omega }$ ${displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} =4pi iiint _{Omega }rho ,mathrm {d} V}$	$nabla cdot mathbf {E} =4pi rho$
Ley de Gauss para el magnetismo	${scriptstyle partial Omega }$ $mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} =0$	$nabla cdot mathbf {B} =0$
Ecuación de Maxwell-Faraday (La ley de inducción de Faraday)	${displaystyle oint _{partial Sigma }mathbf {E} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=-{frac {1}{c}}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}iint _{Sigma }mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} }$	$nabla times mathbf {E} =-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}$
Ampère's circuital law (with Maxwell's addition)	${displaystyle {begin{aligned}oint _{partial Sigma }&mathbf {B} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}={frac {1}{c}}left(4pi iint _{Sigma }mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} +{frac {mathrel {mathrm {d} }}{mathrm {d} t}}iint _{Sigma }mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} right)end{aligned}}}$	${displaystyle nabla times mathbf {B} ={frac {1}{c}}left(4pi mathbf {J} +{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right)}$

Las ecuaciones se simplifican ligeramente cuando se elige un sistema de cantidades en la velocidad de la luz, c, que se usa para la no dimensionalización, de modo que, por ejemplo, los segundos y los segundos luz son intercambiables, y c = 1.

Son posibles otros cambios, llamados racionalización, mediante la absorción de factores de $4 π$ , ya sea la ley de Coulomb o la ley de Gauss. La ley de s incluye dicho factor (ver unidades de Heaviside-Lorentz, usadas principalmente en física de partículas).

Relación entre formulaciones diferenciales e integrales

La equivalencia de las formulaciones diferencial e integral es una consecuencia del teorema de la divergencia de Gauss y del teorema de Kelvin-Stokes.

Flujo y divergencia

Volumen

Ω

y su límite cerrado

Ω

, conteniendo (respectivamente encerrando) una fuente

(+)

y hundirse

() -

de un campo vectorial

F

. Aquí,

F

podría ser

E

campo con cargas eléctricas fuente, pero no el

B

campo, que no tiene cargas magnéticas como se muestra. La unidad externa normal es n.

Según el (puramente matemático) teorema de la divergencia de Gauss, el flujo eléctrico a través del la superficie límite $\partialΩ$ se puede reescribir como

{scriptstyle partial Omega }

{displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} =iiint _{Omega }nabla cdot mathbf {E} ,mathrm {d} V}

La versión integral de la ecuación de Gauss se puede reescribir como

{displaystyle iiint _{Omega }left(nabla cdot mathbf {E} -{frac {rho }{varepsilon _{0}}}right),mathrm {d} V=0}

Ω

De manera similar, al reescribir el flujo magnético en la ley de Gauss para el magnetismo en forma integral se obtiene

{scriptstyle partial Omega }

{displaystyle mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} =iiint _{Omega }nabla cdot mathbf {B} ,mathrm {d} V=0.}

que está satisfecho para todos $Ω$ si $nabla cdot {mathbf {B}}=0$ Por todas partes.

Circulación y rizo

Superficie

.

con límite cerrado

\partial

F

podría ser

E

B

campos. Otra vez,

n

es la unidad normal. (El rizo de un campo vectorial no se parece literalmente a las "circulaciones", esta es una representación heurística.)

Por el teorema de Kelvin-Stokes, podemos reescribir las integrales de línea de los campos alrededor de la curva límite cerrada $\partialΣ$ a una integral de la "circulación de los campos& #34; (es decir, sus rizos) sobre una superficie que limita, es decir,

{displaystyle oint _{partial Sigma }mathbf {B} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=iint _{Sigma }(nabla times mathbf {B})cdot mathrm {d} mathbf {S}}

{displaystyle iint _{Sigma }left(nabla times mathbf {B} -mu _{0}left(mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right)right)cdot mathrm {d} mathbf {S} =0.}

.

Las integrales de línea y los rizos son análogos a las cantidades en la dinámica de fluidos clásica: la circulación de un fluido es la integral de línea del campo de velocidad de flujo del fluido alrededor de un circuito cerrado, y la vorticidad del fluido es el rizo del campo de velocidades.

Conservación de carga

La invariancia de la carga se puede derivar como un corolario de las ecuaciones de Maxwell. El lado izquierdo de la ley de Ampere modificada tiene divergencia cero por la identidad div-curl. Expandiendo la divergencia del lado derecho, intercambiando derivadas y aplicando la ley de Gauss se obtiene:

{displaystyle 0=nabla cdot (nabla times mathbf {B})=nabla cdot left(mu _{0}left(mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right)right)=mu _{0}left(nabla cdot mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}nabla cdot mathbf {E} right)=mu _{0}left(nabla cdot mathbf {J} +{frac {partial rho }{partial t}}right)}

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot mathbf {J} =0.}

{displaystyle {frac {d}{dt}}Q_{Omega }={frac {d}{dt}}iiint _{Omega }rho mathrm {d} V=-}

{scriptstyle partial Omega }

{displaystyle mathbf {J} cdot {rm {d}}mathbf {S} =-I_{partial Omega }.}

En particular, en un sistema aislado se conserva la carga total.

Ecuaciones de vacío, ondas electromagnéticas y velocidad de la luz

Este diagrama 3D muestra una onda polarizada linealmente polarizada que se propaga de izquierda a derecha, definida por

E = E 0 pecado(- ωt + k \cdot r)

B = B 0 pecado(- ωt + k \cdot r)

Los campos oscilantes se detectan en el punto de inflamación. La longitud de onda horizontal es λ.

E 0 \cdot B 0 = 0 = E 0 \cdot k = B 0 \cdot k

En una región sin cargas ( $ρ = 0$ ) y sin corrientes ( $J = 0$ ), como en el vacío, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {E} &=0,&nabla times mathbf {E} &=-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}},\nabla cdot mathbf {B} &=0,&nabla times mathbf {B} &=mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}.end{aligned}}}

Tomando el rizo $(\nabla\times)$ de las ecuaciones de rizo y usando el rizo de la identidad de rizo obtenemos

{displaystyle {begin{aligned}mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {E} =0,\mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {B} =0.end{aligned}}}

La cantidad ${displaystyle mu _{0}varepsilon _{0}}$ tiene la dimensión de (tiempo/duración)². Definición ${displaystyle c=(mu _{0}varepsilon _{0})^{-1/2}}$ , las ecuaciones anteriores tienen la forma de las ecuaciones de onda estándar

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {E} =0,\{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {B} =0.end{aligned}}}

Ya durante la vida de Maxwell, se encontró que los valores conocidos para $varepsilon _{0}$ y $mu _{0}$ dar ${displaystyle capprox 2.998times 10^{8}~{text{m/s}}}$ , entonces ya se sabe que es la velocidad de la luz en el espacio libre. Esto le llevó a proponer que las ondas de luz y radio propagaban ondas electromagnéticas, desde ampliamente confirmadas. En el antiguo sistema SI de unidades, los valores de ${displaystyle mu _{0}=4pi times 10^{-7}}$ y ${displaystyle c=299,792,458~{text{m/s}}}$ son constantes definidas, (lo que significa que por definición ${displaystyle varepsilon _{0}=8.854...times 10^{-12}~{text{F/m}}}$ ) que define el ampere y el metro. En el nuevo sistema SI, sólo c mantiene su valor definido, y la carga de electrones obtiene un valor definido.

En materiales con permitividad relativa, $ε r$ , y permeabilidad relativa, $μ r$ , la velocidad de fase de la luz se vuelve

{displaystyle v_{text{p}}={frac {1}{sqrt {mu _{0}mu _{text{r}}varepsilon _{0}varepsilon _{text{r}}}}},}

que suele ser inferior a $c$ .

Además, $E$ y $B$ son perpendiculares a entre sí y a la dirección de propagación de la onda, y están en fase entre sí. Una onda plana sinusoidal es una solución especial de estas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell explican cómo estas ondas pueden propagarse físicamente a través del espacio. El campo magnético cambiante crea un campo eléctrico cambiante a través de la ley de Faraday. A su vez, ese campo eléctrico crea un campo magnético cambiante a través de la adición de Maxwell a la ley de Ampère. Este ciclo perpetuo permite que estas ondas, ahora conocidas como radiación electromagnética, se muevan a través del espacio a una velocidad $c$ .

Formulación macroscópica

Las ecuaciones anteriores son la versión microscópica de las ecuaciones de Maxwell, que expresan los campos eléctricos y magnéticos en términos de las cargas y corrientes presentes (posiblemente a nivel atómico). Esto a veces se llama el "general" forma, pero la versión macroscópica a continuación es igualmente general, la diferencia es una de contabilidad.

La versión microscópica a veces se denomina "ecuaciones de Maxwell en el vacío": esto se refiere al hecho de que el medio material no está integrado en la estructura de las ecuaciones, sino que aparece solo en el cargos y términos vigentes. La versión microscópica fue presentada por Lorentz, quien intentó utilizarla para derivar las propiedades macroscópicas de la materia a granel a partir de sus constituyentes microscópicos.

"Las ecuaciones macroscópicas de Maxwell", también conocidas como ecuaciones de Maxwell en la materia, son más similares a las que presentó el propio Maxwell.

Nombre	Ecuaciones integrales (Convención de la ISI)	Ecuaciones diferenciales (Convención de la ISI)	Ecuaciones diferenciales (Convención gaussiana)
Ley de Gauss	${scriptstyle partial Omega }$ $mathbf {D} cdot mathrm {d} mathbf {S} =iiint _{Omega }rho _{text{f}},mathrm {d} V$	$nabla cdot mathbf {D} =rho _{text{f}}$	$nabla cdot mathbf {D} =4pi rho _{text{f}}$
Ampère's circuital law (with Maxwell's addition)	${displaystyle {begin{aligned}oint _{partial Sigma }&mathbf {H} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=\&iint _{Sigma }mathbf {J} _{text{f}}cdot mathrm {d} mathbf {S} +{frac {d}{dt}}iint _{Sigma }mathbf {D} cdot mathrm {d} mathbf {S} \end{aligned}}}$	$nabla times mathbf {H} =mathbf {J} _{text{f}}+{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}$	$nabla times mathbf {H} ={frac {1}{c}}left(4pi mathbf {J} _{text{f}}+{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}right)$
Ley de Gauss para el magnetismo	${scriptstyle partial Omega }$ $mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} =0$	$nabla cdot mathbf {B} =0$	$nabla cdot mathbf {B} =0$
Ecuación de Maxwell-Faraday (La ley de inducción de Faraday)	$oint _{partial Sigma }mathbf {E} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=-{frac {d}{dt}}iint _{Sigma }mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S}$	$nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}$	$nabla times mathbf {E} =-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}$

En las ecuaciones macroscópicas, la influencia de la carga ligada $Q b$ y la corriente ligada $I b$ se incorpora al campo de desplazamiento $D$ y el campo magnético $H$ , mientras que las ecuaciones dependen únicamente de las cargas libres $Q f$ y corrientes libres $I f$ . Esto refleja una división de la carga eléctrica total Q y la corriente I (y sus densidades $ρ$ y J) en partes libres y ligadas:

{displaystyle {begin{aligned}Q&=Q_{text{f}}+Q_{text{b}}=iiint _{Omega }left(rho _{text{f}}+rho _{text{b}}right),mathrm {d} V=iiint _{Omega }rho ,mathrm {d} V,\I&=I_{text{f}}+I_{text{b}}=iint _{Sigma }left(mathbf {J} _{text{f}}+mathbf {J} _{text{b}}right)cdot mathrm {d} mathbf {S} =iint _{Sigma }mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S}.end{aligned}}}

El costo de esta división es que los campos adicionales $D$ y $H$ deben determinarse a través de ecuaciones constituyentes fenomenológicas que relacionen estos campos con el campo eléctrico $E$ y el campo magnético $B$ , junto con la carga unida y la corriente.

Consulte a continuación para obtener una descripción detallada de las diferencias entre las ecuaciones microscópicas, que tratan con la carga y la corriente total, incluidas las contribuciones materiales, útiles en aire/vacío; y las ecuaciones macroscópicas, que se ocupan de la carga y la corriente libres, prácticas de usar dentro de los materiales.

Carga ligada y corriente

Izquierda: Una visión esquemática de cómo una asamblea de dipoles microscópicos produce cargas superficiales opuestas como se muestra en la parte superior e inferior. Bien. Cómo un montaje de bucles de corriente microscópica se unen para producir un bucle corriente circulante macroscópicamente. Dentro de los límites, las contribuciones individuales tienden a cancelar, pero en los límites no se produce cancelación.

Cuando se aplica un campo eléctrico a un material dieléctrico, sus moléculas responden formando dipolos eléctricos microscópicos: sus núcleos atómicos se mueven una pequeña distancia en la dirección del campo, mientras que sus electrones se mueven una pequeña distancia en la dirección opuesta. Esto produce una carga macroscópica ligada en el material aunque todas las cargas involucradas están unidas a moléculas individuales. Por ejemplo, si cada molécula responde de la misma manera, similar a la que se muestra en la figura, estos pequeños movimientos de carga se combinan para producir una capa de carga unida positiva en un lado del material y una capa de carga negativa en el otro lado. La carga ligada se describe más convenientemente en términos de la polarización $P$ del material, su momento dipolar por unidad de volumen. Si $P$ es uniforme, se produce una separación macroscópica de carga solo en las superficies donde $P$ entra y sale del material. Para $P$ no uniformes, también se produce un cargo a granel.

De manera algo similar, en todos los materiales los átomos constituyentes exhiben momentos magnéticos que están intrínsecamente vinculados al momento angular de los componentes de los átomos, más notablemente sus electrones. La conexión con el momento angular sugiere la imagen de un conjunto de bucles de corriente microscópicos. Fuera del material, un conjunto de bucles de corriente microscópicos no es diferente de una corriente macroscópica que circula por la superficie del material, a pesar de que ninguna carga individual viaja una gran distancia. Estas corrientes unidas se pueden describir usando la magnetización $M$ .

Las cargas ligadas muy complicadas y granulares y las corrientes ligadas, por lo tanto, se pueden representar en la escala macroscópica en términos de $P$ y $M$ , que promedian estas cargas y corrientes en una escala lo suficientemente grande como para no ver la granularidad de los átomos individuales, pero también lo suficientemente pequeña como para que varíen con la ubicación en el material. Como tal, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell ignoran muchos detalles en una escala fina que pueden no ser importantes para comprender asuntos en una escala bruta mediante el cálculo de campos que se promedian sobre un volumen adecuado.

Campos auxiliares, polarización y magnetización

Las definiciones de los campos auxiliares son:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {D} (mathbf {r}t)&=varepsilon _{0}mathbf {E} (mathbf {r}t)+mathbf {P} (mathbf {r}t),\mathbf {H} (mathbf {r}t)&={frac {1}{mu _{0}}}mathbf {B} (mathbf {r}t)-mathbf {M} (mathbf {r}t),end{aligned}}}

donde $P$ es el campo de polarización y $M$ es el campo de magnetización, que se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corrientes ligadas respectivamente. La densidad de carga ligada macroscópica $ρ b$ y la densidad de corriente ligada $J b$ en términos de polarización $P$ y magnetización $M$ se definen entonces como

{displaystyle {begin{aligned}rho _{text{b}}&=-nabla cdot mathbf {P}\mathbf {J} _{text{b}}&=nabla times mathbf {M} +{frac {partial mathbf {P} }{partial t}}.end{aligned}}}

Si definimos la carga total, ligada y libre y la densidad de corriente por

{displaystyle {begin{aligned}rho &=rho _{text{b}}+rho _{text{f}},\mathbf {J} &=mathbf {J} _{text{b}}+mathbf {J} _{text{f}},end{aligned}}}

D

H

Relaciones constitutivas

Para aplicar las 'ecuaciones macroscópicas de Maxwell', es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento $D$ y el campo eléctrico $E$ , así como el campo magnetizante $H$ y el campo magnético $B$ . De manera equivalente, tenemos que especificar la dependencia de la polarización $P$ (de ahí la carga ligada) y la magnetización $M$ (de ahí la corriente ligada) en el campo eléctrico y magnético aplicado. Las ecuaciones que especifican esta respuesta se denominan relaciones constitutivas. Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas rara vez son simples, excepto aproximadamente, y generalmente determinadas por experimentación. Consulte el artículo principal sobre relaciones constitutivas para obtener una descripción más completa.

Para materiales sin polarización ni magnetización, las relaciones constitutivas son (por definición)

{displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}mathbf {E}quad mathbf {H} ={frac {1}{mu _{0}}}mathbf {B}}

ε 0

μ 0

Un punto de vista alternativo sobre las ecuaciones microscópicas es que son las ecuaciones macroscópicas juntas con la afirmación de que el vacío se comporta como un "material" lineal perfecto; sin polarización ni magnetización adicionales. Más generalmente, para materiales lineales las relaciones constitutivas son

{displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E}quad mathbf {H} ={frac {1}{mu }}mathbf {B}}

ε

μ

D

¹¹

mathbf{H}

Para materiales homogéneos, $ε$ y $μ$ son constantes a lo largo del material, mientras que para materiales inhomogéneos dependen de la ubicación dentro del material (y tal vez tiempo).
Para materiales isotrópicos, $ε$ y $μ$ son escalares, mientras que para materiales anisotrópicos (por ejemplo, debido a la estructura de cristal) son tensores.
Los materiales son generalmente dispersivos, por lo que $ε$ y $μ$ depende de la frecuencia de cualquier incidente de las ondas EM.

Aún más generalmente, en el caso de materiales no lineales (ver por ejemplo óptica no lineal), $D$ y $P$ no son necesariamente proporcionales a $E$ , de manera similar $H$ o $M$ no es necesariamente proporcional a $B$ . En general, $D$ y $H$ dependen de ambos $E$ y $B$ , en ubicación y hora, y posiblemente otras cantidades físicas.

En las aplicaciones, también se debe describir cómo se comportan las corrientes libres y la densidad de carga en términos de $E$ y $B$ posiblemente acoplado a otras cantidades físicas como la presión y la masa, la densidad numérica y la velocidad de las partículas portadoras de carga. Por ejemplo, las ecuaciones originales dadas por Maxwell (ver Historia de las ecuaciones de Maxwell) incluían la ley de Ohm en la forma

{displaystyle mathbf {J} _{text{f}}=sigma mathbf {E}.}

Fórmulas alternativas

A continuación, se incluye un resumen de algunos de los numerosos formalismos matemáticos para escribir las ecuaciones microscópicas de Maxwell, con columnas que separan las dos ecuaciones de Maxwell homogéneas de las dos no homogéneas relacionadas con la carga y la corriente. Cada formulación tiene versiones directamente en términos de los campos eléctrico y magnético, e indirectamente en términos del potencial eléctrico $φ$ y el potencial vectorial $A$ . Los potenciales se introdujeron como una forma conveniente de resolver las ecuaciones homogéneas, pero se pensó que toda la física observable estaba contenida en los campos eléctricos y magnéticos (o relativistamente, el tensor de Faraday). Sin embargo, los potenciales juegan un papel central en la mecánica cuántica y actúan mecánicamente cuánticamente con consecuencias observables incluso cuando los campos eléctrico y magnético desaparecen (efecto Aharonov-Bohm).

Cada tabla describe un formalismo. Consulte el artículo principal para conocer los detalles de cada formulación. Las unidades SI se utilizan en todas partes.

Vector calculus
Formulación	Ecuaciones homogéneas	Ecuaciones inhomogéneas
Campos Espacio Euclideano 3D + tiempo	$nabla cdot {mathbf {B}}=0$ ${displaystyle nabla times mathbf {E} +{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}=0}$	${displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle nabla times mathbf {B} -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}=mu _{0}mathbf {J} }$
Potenciales (cualquier calibre) Espacio Euclideano 3D + tiempo	$mathbf B = mathbf nabla times mathbf A$ $mathbf E = - mathbf nabla varphi - frac{partial mathbf A}{partial t}$	${displaystyle -nabla ^{2}varphi -{frac {partial }{partial t}}left(mathbf {nabla } cdot mathbf {A} right)={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle left(-nabla ^{2}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)mathbf {A} +mathbf {nabla } left(mathbf {nabla } cdot mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}right)=mu _{0}mathbf {J} }$
Potentials (Gauge Lorenz) Espacio Euclideano 3D + tiempo	$mathbf B = mathbf nabla times mathbf A$ $mathbf E = - mathbf nabla varphi - frac{partial mathbf A}{partial t}$ ${displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {A} =-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}}$	${displaystyle left(-nabla ^{2}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)varphi ={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle left(-nabla ^{2}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)mathbf {A} =mu _{0}mathbf {J} }$

Cálculo de tensor
Formulación	Ecuaciones homogéneas	Ecuaciones inhomogéneas
Campos espacio + tiempo métrica espacial independiente del tiempo	${displaystyle {begin{aligned}&partial _{[i}B_{jk]}=\&qquad nabla _{[i}B_{jk]}=0\&partial _{[i}E_{j]}+{frac {partial B_{ij}}{partial t}}=\&qquad nabla _{[i}E_{j]}+{frac {partial B_{ij}}{partial t}}=0end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}{sqrt {h}}E^{i}=\&qquad nabla _{i}E^{i}={frac {rho }{varepsilon _{0}}}\&{-}{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}{sqrt {h}}B^{ij}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial }{partial t}}E^{j}=\&qquad {-}nabla _{i}B^{ij}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial E^{j}}{partial t}}=mu _{0}J^{j}end{aligned}}}$
Potenciales espacio (con § restricciones topológicas) + tiempo métrica espacial independiente del tiempo	${displaystyle {begin{aligned}B_{ij}&=partial _{[i}A_{j]}\&=nabla _{[i}A_{j]}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}E_{i}&=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}-partial _{i}varphi \&=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}-nabla _{i}varphi \end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{-}{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}{sqrt {h}}left(partial ^{i}varphi +{frac {partial A^{i}}{partial t}}right)=\&qquad -nabla _{i}nabla ^{i}varphi -{frac {partial }{partial t}}nabla _{i}A^{i}={frac {rho }{varepsilon _{0}}}\&{-}{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}left({sqrt {h}}h^{im}h^{jn}partial _{[m}A_{n]}right)+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial }{partial t}}left({frac {partial A^{j}}{partial t}}+partial ^{j}varphi right)=\&qquad {-}nabla _{i}nabla ^{i}A^{j}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A^{j}}{partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}+nabla ^{j}left(nabla _{i}A^{i}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}right)=mu _{0}J^{j}end{aligned}}}$
Potentials (Gauge Lorenz) espacio (con restricciones topológicas) + tiempo métrica espacial independiente del tiempo	${displaystyle {begin{aligned}B_{ij}&=partial _{[i}A_{j]}\&=nabla _{[i}A_{j]}end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}E_{i}&=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}-partial _{i}varphi \&=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}-nabla _{i}varphi end{aligned}}}$ ${displaystyle nabla _{i}A^{i}=-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}}$	${displaystyle -nabla _{i}nabla ^{i}varphi +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle -nabla _{i}nabla ^{i}A^{j}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A^{j}}{partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}=mu _{0}J^{j}}$

Formas diferenciales
Formulación	Ecuaciones homogéneas	Ecuaciones inhomogéneas
Campos espacio + tiempo	${displaystyle dB=0}$ ${displaystyle dE+{frac {partial B}{partial t}}=0}$	${displaystyle d{star }E={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle d{star }B-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial {star }E}{partial t}}=mu _{0}J}$
Potenciales (cualquier calibre) cualquier espacio (con restricciones topológicas) + tiempo	${displaystyle B=dA}$ ${displaystyle E=-dvarphi -{frac {partial A}{partial t}}}$	${displaystyle -d{star }!left(dvarphi +{frac {partial A}{partial t}}right)={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle d{star }dA+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial }{partial t}}{star }!left(dvarphi +{frac {partial A}{partial t}}right)=mu _{0}J}$
Potencial (Lorenz Gauge) cualquier espacio (con restricciones topológicas) + tiempo métrica espacial independiente del tiempo	${displaystyle B=dA}$ ${displaystyle E=-dvarphi -{frac {partial A}{partial t}}}$ ${displaystyle d{star }A=-{star }{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}}$	${displaystyle {star }!left(-Delta varphi +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}varphi right)={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$ ${displaystyle {star }!left(-Delta A+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A}{partial ^{2}t}}right)=mu _{0}J}$

Formulaciones relativistas

Las ecuaciones de Maxwell también se pueden formular en un espacio de espacio-tiempo similar al de Minkowski, donde el espacio y el tiempo se tratan en pie de igualdad. Las formulaciones espaciotemporales directas ponen de manifiesto que las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente invariantes. Debido a esta simetría, los campos eléctrico y magnético se tratan por igual y se reconocen como componentes del tensor de Faraday. Esto reduce las cuatro ecuaciones de Maxwell a dos, lo que simplifica las ecuaciones, aunque ya no podemos usar la formulación vectorial familiar. De hecho, las ecuaciones de Maxwell en la formulación espacio + tiempo no son invariantes de Galileo y tienen la invariancia de Lorentz como una simetría oculta. Esta fue una importante fuente de inspiración para el desarrollo de la teoría de la relatividad. De hecho, incluso la formulación que trata el espacio y el tiempo por separado no es una aproximación no relativista y describe la misma física simplemente cambiando el nombre de las variables. Por esta razón, las ecuaciones invariantes relativistas también suelen llamarse ecuaciones de Maxwell.

Cada tabla describe un formalismo.

Cálculo de tensor
Formulación	Ecuaciones homogéneas	Ecuaciones inhomogéneas
Campos Espacio de Minkowski	$partial _{[alpha }F_{beta gamma ]}=0$	$partial _{alpha }F^{alpha beta }=mu _{0}J^{beta }$
Potenciales (cualquier calibre) Espacio de Minkowski	${displaystyle F_{alpha beta }=2partial _{[alpha }A_{beta ]}}$	${displaystyle 2partial _{alpha }partial ^{[alpha }A^{beta ]}=mu _{0}J^{beta }}$
Potentials (Gauge Lorenz) Espacio de Minkowski	${displaystyle F_{alpha beta }=2partial _{[alpha }A_{beta ]}}$ $partial_alpha A^alpha = 0$	$partial _{alpha }partial ^{alpha }A^{beta }=mu _{0}J^{beta }$
Campos en tiempo espacial	${displaystyle {begin{aligned}&partial _{[alpha }F_{beta gamma ]}=\&qquad nabla _{[alpha }F_{beta gamma ]}=0end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{frac {1}{sqrt {-g}}}partial _{alpha }({sqrt {-g}}F^{alpha beta })=\&qquad nabla _{alpha }F^{alpha beta }=mu _{0}J^{beta }end{aligned}}}$
Potenciales (cualquier calibre) en tiempo espacial (con restricciones §topológicas)	${displaystyle F_{alpha beta }=2partial _{[alpha }A_{beta ]}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{frac {2}{sqrt {-g}}}partial _{alpha }({sqrt {-g}}g^{alpha mu }g^{beta nu }partial _{[mu }A_{nu ]})=\&qquad 2nabla _{alpha }(nabla ^{[alpha }A^{beta ]})=mu _{0}J^{beta }end{aligned}}}$
Potentials (Gauge Lorenz) en tiempo espacial (con restricciones topológicas)	${displaystyle F_{alpha beta }=2partial _{[alpha }A_{beta ]}}$ $nabla_alpha A^{alpha} = 0$	${displaystyle nabla _{alpha }nabla ^{alpha }A^{beta }-R^{beta }{}_{alpha }A^{alpha }=mu _{0}J^{beta }}$

Formas diferenciales
Formulación	Ecuaciones homogéneas	Ecuaciones inhomogéneas
Campos en tiempo espacial	$mathrm {d} F=0$	${displaystyle mathrm {d} {star }F=mu _{0}J}$
Potenciales (cualquier calibre) en tiempo espacial (con restricciones topológicas)	$F=mathrm {d} A$	${displaystyle mathrm {d} {star }mathrm {d} A=mu _{0}J}$
Potentials (Gauge Lorenz) en tiempo espacial (con restricciones topológicas)	${displaystyle F=mathrm {d} A}$ ${displaystyle mathrm {d} {star }A=0}$	${star }Box A=mu _{0}J$

En la formulación del cálculo del tensor, el tensor electromagnético $F αβ$ es un covariante antisimétrico orden 2 tensor; el cuatro-potencial, $A α$ , es un vector covariante; la corriente, $J α$ , es un vector; los soportes cuadrados, $[ ]$ , denote antisymmetrization of indices; $\partial α$ es el derivado parcial con respecto a la coordinación, $x α$ . En Minkowski se eligen coordenadas espaciales con respecto a un marco inercial; $() x α) = ct, x, Sí., z)$ , por lo que el tensor métrico utilizado para elevar y bajar índices es $. αβ = diag(1, -1, -1, -1)$ . El operador de d'Alembert en el espacio de Minkowski es $latitud = α \partial α$ como en la formulación vectorial. En las horas espaciales generales, el sistema de coordenadas $x α$ es arbitrario, el derivado covariante $Silencio α$ , el tensor Ricci, $R αβ$ y la elevación y reducción de índices se definen por la métrica Lorentziana, $g αβ$ y el operador d'Alembert se define como $latitud = α Silencio α$ . La restricción topológica es que el segundo grupo real de cohomología del espacio desaparece (ver la formulación de forma diferencial para una explicación). Esto es violado para el espacio de Minkowski con una línea eliminada, que puede modelar una (flat) tiempo espacial con un monopolio de punto en el complemento de la línea.
En la formulación de forma diferencial sobre tiempos espaciales arbitrarios, $F = 1 / 2 F αβ d x α \land d x β$ es el tensor electromagnético considerado como un 2-forma, $A = A α d x α$ es el potencial 1-form, ${displaystyle J=-J_{alpha }{star }mathrm {d} x^{alpha }}$ es el 3-form actual, $d$ es el derivado exterior, y ${displaystyle {star }}$ es la estrella Hodge en formas definidas (hasta su orientación, es decir, su signo) por la métrica Lorentziana de tiempo espacial. En el caso especial de 2 formas como F, la estrella Hodge ${displaystyle {star }}$ depende del tensor métrico sólo para su escala local. Esto significa que, como está formulado, las ecuaciones de campo de forma diferencial son conformamente invariantes, pero la condición de medidor Lorenz rompe la invariancia conformacional. El operador ${displaystyle Box =(-{star }mathrm {d} {star }mathrm {d} -mathrm {d} {star }mathrm {d} {star })}$ es el operador d'Alembert–Laplace–Beltrami en 1-formas en una hora espacial Lorentziana arbitraria. La condición topológica es otra vez que el segundo grupo real de cohomología es "trivial" (que significa que su forma sigue de una definición). Por el isomorfismo con la segunda cohomología de Rham esta condición significa que cada dos formas cerradas es exacta.

Otros formalismos incluyen la formulación del álgebra geométrica y una representación matricial de las ecuaciones de Maxwell. Históricamente, se utilizó una formulación cuaterniónica.

Soluciones

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan los campos eléctricos y magnéticos entre sí y con las cargas y corrientes eléctricas. A menudo, las cargas y las corrientes dependen de los campos eléctricos y magnéticos a través de la ecuación de fuerza de Lorentz y las relaciones constitutivas. Todos estos forman un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que a menudo son muy difíciles de resolver: las soluciones abarcan todos los diversos fenómenos del electromagnetismo clásico. Siguen algunas observaciones generales.

Como en cualquier ecuación diferencial, las condiciones de contorno y las condiciones iniciales son necesarias para una solución única. Por ejemplo, incluso sin cargas ni corrientes en ningún lugar del espacio-tiempo, existen soluciones obvias para las cuales E y B son cero o constantes, pero también hay soluciones no triviales soluciones correspondientes a ondas electromagnéticas. En algunos casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en todo el espacio y las condiciones de contorno se dan como límites asintóticos en el infinito. En otros casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en una región finita del espacio, con condiciones apropiadas en el límite de esa región, por ejemplo, un límite de absorción artificial que representa el resto del universo, o condiciones de límite periódicas, o paredes que aislar una pequeña región del mundo exterior (como con una guía de ondas o un resonador de cavidad).

Las ecuaciones de Jefimenko (o los potenciales de Liénard-Wiechert estrechamente relacionados) son la solución explícita a las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctricos y magnéticos creados por cualquier distribución dada de cargas y corrientes. Asume condiciones iniciales específicas para obtener la llamada "solución retardada", donde los únicos campos presentes son los creados por las cargas. Sin embargo, las ecuaciones de Jefimenko no son útiles en situaciones en las que las cargas y las corrientes se ven afectadas por los campos que crean.

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales se pueden usar para calcular soluciones aproximadas de las ecuaciones de Maxwell cuando las soluciones exactas son imposibles. Estos incluyen el método de elementos finitos y el método de dominio de tiempo de diferencias finitas. Para obtener más detalles, consulte Electromagnetismo computacional.

Sobredeterminación de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell parecen sobredeterminadas, ya que implican seis incógnitas (los tres componentes de $E$ y $B$ ), sino ocho ecuaciones (una para cada una de las dos leyes de Gauss, tres componentes vectoriales para cada una de las leyes de Faraday y leyes de Ampere). (Las corrientes y las cargas no son incógnitas, pueden especificarse libremente y están sujetas a la conservación de la carga). Esto está relacionado con un cierto tipo limitado de redundancia en las ecuaciones de Maxwell: se puede demostrar que cualquier sistema que satisfaga la ley de Faraday y la ley de Ampere automáticamente también satisface las dos leyes de Gauss, siempre que lo haga la condición inicial del sistema, y suponiendo conservación de la carga y la inexistencia de monopolos magnéticos. Esta explicación fue presentada por primera vez por Julius Adams Stratton en 1941.

Aunque es posible simplemente ignorar las dos leyes de Gauss en un algoritmo numérico (aparte de las condiciones iniciales), la precisión imperfecta de los cálculos puede conducir a violaciones cada vez mayores de esas leyes. Al introducir variables ficticias que caracterizan estas violaciones, después de todo, las cuatro ecuaciones no quedan sobredeterminadas. La formulación resultante puede conducir a algoritmos más precisos que tengan en cuenta las cuatro leyes.

Ambas identidades ${displaystyle nabla cdot nabla times mathbf {B} equiv 0,nabla cdot nabla times mathbf {E} equiv 0}$ , que reduce ocho ecuaciones a seis independientes, son la verdadera razón de la sobredeterminación.

De manera equivalente, se puede considerar que la sobredeterminación implica la conservación de la carga eléctrica y magnética, ya que se requieren en la derivación descrita anteriormente pero están implícitas en las dos leyes de Gauss.

Para ecuaciones algebraicas lineales, uno puede hacer 'bien' Reglas para reescribir las ecuaciones e incógnitas. Las ecuaciones pueden ser linealmente dependientes. Pero en las ecuaciones diferenciales, y especialmente en las PDE, se necesitan condiciones de contorno apropiadas, que dependen de formas no tan obvias de las ecuaciones. Más aún, si uno las reescribe en términos de vector y potencial escalar, entonces las ecuaciones están subdeterminadas debido a la fijación de calibre.

Las ecuaciones de Maxwell como límite clásico de QED

Las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz (junto con el resto del electromagnetismo clásico) son extraordinariamente exitosas para explicar y predecir una variedad de fenómenos. Sin embargo, no tienen en cuenta los efectos cuánticos, por lo que su campo de aplicación es limitado. Las ecuaciones de Maxwell se consideran el límite clásico de la electrodinámica cuántica (QED).

Algunos fenómenos electromagnéticos observados son incompatibles con las ecuaciones de Maxwell. Estos incluyen la dispersión fotón-fotón y muchos otros fenómenos relacionados con fotones o fotones virtuales, "luz no clásica" y entrelazamiento cuántico de campos electromagnéticos (ver Óptica cuántica). P.ej. la criptografía cuántica no puede ser descrita por la teoría de Maxwell, ni siquiera aproximadamente. La naturaleza aproximada de las ecuaciones de Maxwell se vuelve cada vez más evidente cuando se entra en el régimen de campo extremadamente fuerte (ver Euler-Heisenberg Lagrangian) o a distancias extremadamente pequeñas.

Por último, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar ningún fenómeno relacionado con la interacción de fotones individuales con la materia cuántica, como el efecto fotoeléctrico, la ley de Planck, la ley de Duane-Hunt y los detectores de luz de un solo fotón. Sin embargo, muchos de estos fenómenos pueden aproximarse utilizando una teoría de la materia cuántica a medio camino acoplada a un campo electromagnético clásico, ya sea como un campo externo o con el valor esperado de la corriente de carga y la densidad en el lado derecho de las ecuaciones de Maxwell.

Variaciones

Las variaciones populares de las ecuaciones de Maxwell como teoría clásica de los campos electromagnéticos son relativamente escasas porque las ecuaciones estándar han resistido la prueba del tiempo notablemente bien.

Monopolos magnéticos

Las ecuaciones de Maxwell postulan que hay carga eléctrica, pero no carga magnética (también llamada monopolo magnético), en el universo. De hecho, nunca se ha observado carga magnética, a pesar de búsquedas exhaustivas, y es posible que no exista. Si existieran, tanto la ley de Gauss para el magnetismo como la ley de Faraday tendrían que modificarse, y las cuatro ecuaciones resultantes serían completamente simétricas bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos.

Notas explicativas

^ Electricidad y magnética campos, según la teoría de la relatividad, son los componentes de un solo campo electromagnético.
^ En la relatividad general, sin embargo, deben entrar, a través de su tensor de energía estresante, en las ecuaciones de campo de Einstein que incluyen la curvatura del espacio.
^ La ausencia de sumideros/fuentes del campo no implica que las líneas de campo deben estar cerradas o escapar a la infinidad. También pueden envolverse indefinidamente, sin autointersecciones. Además, alrededor de puntos donde el campo es cero (que no puede ser intersectado por líneas de campo, porque su dirección no se definiría), puede haber el inicio simultáneo de algunas líneas y el final de otras líneas. Esto sucede, por ejemplo, en el medio entre dos imanes cilíndricos idénticos, cuyos polos norte se enfrentan entre sí. En el medio entre esos imanes, el campo es cero y las líneas de campo axial que vienen del extremo de los imanes. Al mismo tiempo, un número infinito de líneas divergentes emanan radialmente desde este punto. La presencia simultánea de líneas que terminan y comienzan alrededor del punto preserva el carácter libre de divergencia del campo. Para una discusión detallada de líneas de campo no cerradas, véase L. Zilberti "El error de las líneas de flujo magnético cerrado", IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.
^ La cantidad que llamaríamos ahora $1/ \sqrt ε 0 μ 0$ , con unidades de velocidad, se midió directamente antes de las ecuaciones de Maxwell, en un experimento de 1855 de Wilhelm Eduard Weber y Rudolf Kohlrausch. Cargaron un frasco leyden (una especie de condensador), y midieron la fuerza electrostática asociada con el potencial; entonces, lo descargaron mientras midían la fuerza magnética de la corriente en el alambre de descarga. Su resultado fue 3.107×10⁸m/s, notablemente cerca de la velocidad de la luz. Véase Joseph F. Keithley, La historia de las mediciones eléctricas y magnéticas: de 500 a.C. a la década de 1940, p. 115.
^ Hay casos (dispersión anómala) donde la velocidad de fase puede exceder $c$ , pero la "velocidad de señal" seguirá siendo $. c$
^ En algunos libros —por ejemplo, en la Física Teórica Básica de U. Krey y A. Owen (Springer 2007)— el término cargo efectivo se utiliza en lugar de total, mientras gratis es simplemente llamado cargo.
^ Vea el monopolio magnético para una discusión de búsquedas monopolísticas. Recientemente, los científicos han descubierto que algunos tipos de materia condensada, incluyendo hielo de giro y aislantes topológicos, que muestran emergente comportamiento parecido a los monopolios magnéticos. (Ver sciencemag.org y nature.com.) Aunque estos fueron descritos en la prensa popular como el esperado descubrimiento de los monopolios magnéticos, sólo están superficialmente relacionados. Un monopolio magnético "verdadero" es algo donde $\cdot \cdot B ل 0$ , mientras que en estos sistemas de materia condensada, $\cdot \cdot B = 0$ mientras $\cdot \cdot H ل 0$ .

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