Ecuaciones de Euler (rígidos)

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En mecánica clásica, las ecuaciones de rotación de Euler son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cuasilineales vectoriales que describen la rotación de un cuerpo rígido, utilizando un marco de referencia giratorio con sus ejes fijos al cuerpo y paralelos a los ejes principales de inercia del cuerpo. Su forma general es: ${displaystyle mathbf {I} {dot {boldsymbol {omega }}}+{boldsymbol {omega }}times left(mathbf {I} {boldsymbol {omega }}right) =mathbf{M}.}$

donde M son los pares aplicados, I es la matriz de inercia y ω es la velocidad angular alrededor de los ejes principales.

En coordenadas ortogonales principales tridimensionales, se convierten en: ${begin{alineado}I_{1}{dot {omega }}_{{1}}+(I_{3}-I_{2})omega_{2}omega_{3}&= M_{{1}}\I_{2}{dot {omega }}_{{2}}+(I_{1}-I_{3})omega_{3}omega_{1} &=M_{{2}}\I_{3}{dot {omega }}_{{3}}+(I_{2}-I_{1})omega_{1}omega_{ 2}&=M_{{3}}end{alineado}}$

donde M _k son las componentes de los pares aplicados, I _k son los momentos principales de inercia y ω _k son las componentes de la velocidad angular alrededor de los ejes principales.

Motivación y derivación

A partir de la segunda ley de Newton, en un marco de referencia inercial (subíndice "in"), la derivada temporal del momento angular L es igual al par aplicado ${displaystyle {frac {dmathbf {L}_{text{in}}}{dt}} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {d}{dt }}left(mathbf {I} _{text{en}}{boldsymbol {omega }}right)=mathbf {M}_{text{en}}}$

donde I _in es el momento de inercia tensor calculado en el marco inercial. Aunque esta ley es universalmente cierta, no siempre es útil para resolver el movimiento de un cuerpo rígido giratorio general, ya que tanto Iin como ω _puedencambiar durante el movimiento.

Por lo tanto, cambiamos a un marco de coordenadas fijo en el cuerpo giratorio, y escogido para que sus ejes estén alineados con los ejes principales del tensor de momento de inercia. En este marco, al menos el momento de inercia tensor es constante (y diagonal), lo que simplifica los cálculos. Como se describe en el momento de inercia, el momento angular L se puede escribir ${mathbf{L}}{stackrel{{mathrm{def}}}{=}}L_{{1}}{mathbf{e}}_{{1}}+L_{{2} }{mathbf{e}}_{{2}}+L_{{3}}{mathbf{e}}_{{3}}=I_{{1}}omega_{{1}}{ mathbf{e}}_{{1}}+I_{{2}}omega_{{2}}{mathbf{e}}_{{2}}+I_{{3}}omega_ {{3 }}{mathbf{e}}_{3}}$

donde M _k, I _k y ω _k son como arriba.

En un marco de referencia giratorio, la derivada del tiempo debe reemplazarse con (ver derivada del tiempo en el marco de referencia giratorio) $left({frac {d{mathbf{L}}}{dt}}right)_{{mathrm{rot}}}+{ballsymbolomega}times{mathbf{L}}= {mathbf{M}}$

donde el subíndice "rot" indica que se toma en el marco de referencia giratorio. Las expresiones para el momento de torsión en los marcos rotatorio e inercial están relacionadas por ${mathbf {M}}_{{{text{en}}}}={mathbf {Q}}{mathbf {M}},$

donde Q es el tensor de rotación (no la matriz de rotación), un tensor ortogonal relacionado con el vector de velocidad angular por ${boldsymbol omega }times {boldsymbol {v}}={dot {{mathbf {Q}}}}{mathbf {Q}}^{{-1}}{boldsymbol {v}}$

para cualquier vector v.

En general se sustituye L = Iω y se toman las derivadas temporales teniendo en cuenta que el tensor de inercia, y por tanto los momentos principales, no dependen del tiempo. Esto lleva a la forma vectorial general de las ecuaciones de Euler ${displaystyle mathbf {I} {dot {boldsymbol {omega }}}+{boldsymbol {omega }}times left(mathbf {I} {boldsymbol {omega }}right) =mathbf{M}.}$

Si la rotación del eje principal $L_{{k}} {stackrel {{mathrm {def}}}{=}} I_{{k}}omega_{{k}}$

se sustituye, y luego tomando el producto vectorial y usando el hecho de que los momentos principales no cambian con el tiempo, llegamos a las ecuaciones de Euler en componentes al comienzo del artículo.

Soluciones sin par

Para los RHS iguales a cero hay soluciones no triviales: precesión sin torque. Note que como I es constante (porque el tensor de inercia es una matriz diagonal de 3×3 (vea la sección anterior), porque trabajamos en el marco intrínseco, o porque el torque impulsa la rotación alrededor del mismo eje $mathbf {sombrero {n}}$ , por lo que I no es cambiando) entonces podemos escribir ${displaystylemathbf{M}{stackrel{mathrm{def}}{=}}I{frac{domega}{dt}}mathbf{hat{n}}=Ialpha ,mathbf{sombrero{n}}}$

dóndeα se denomina aceleración angular (o aceleración de rotación) sobre el eje de rotación $mathbf {sombrero {n}}$ .

Sin embargo, si I no es constante en el marco de referencia externo (es decir, el cuerpo se mueve y su tensor de inercia no es constantemente diagonal), entonces no podemos sacar I fuera de la derivada. En este caso tendremos precesión sin torque, de tal manera que I (t) y ω (t) cambian juntos de manera que su derivada es cero. Este movimiento se puede visualizar mediante la construcción de Poinsot.

Generalizaciones

También es posible utilizar estas ecuaciones si los ejes en los que $left({frac {d{mathbf {L}}}{dt}}right)_{{mathrm {relativa}}}$

se describe no están conectados al cuerpo. Entonces ω debe reemplazarse con la rotación de los ejes en lugar de la rotación del cuerpo. Sin embargo, todavía se requiere que los ejes elegidos sigan siendo ejes principales de inercia. Esta forma de las ecuaciones de Euler es útil para objetos con rotación simétrica que permiten elegir libremente algunos de los ejes principales de rotación.

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